administrao amintas paiva afonso MATEMTICA FINANCEIRA DESCONTO COMPOSTO

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MATEMÁTICA FINANCEIRA DESCONTO COMPOSTO

Desconto Bancário O desconto simples, racional ou comercial são aplicados somente aos títulos de curto prazo, geralmente inferiores a 1 ano. Quando os vencimentos têm prazos longos, não é conveniente transacionar com esses tipos de descontos, porque podem conduzir a resultados que ferem o bom senso. Observe o exemplo:

EXEMPLO Calcular o desconto comercial de um título de R$ 100. 0000, 00 com resgate para 5 anos, à taxa de 36% ao ano. SOLUÇÃO Fórmula: d = VF x i x n d = 100. 0, 36. 5 = desconto de $ 180. 000 Como vemos, o valor do desconto é superior ao valor nominal do título, o que é um absurdo!!!

Desconto simples x Desconto composto É por esse motivo que, em casos como o apresentado, adotamos o regime de juros compostos, que jamais darão resultados desse tipo. Temos duas formas de desconto composto: desconto comercial, bancário ou por fora desconto racional ou por dentro.

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO OU POR FORA Como o desconto comercial simples, o desconto comercial composto é calculado sobre o valor nominal do título. O valor atual (VP) é obtido por meio de uma sucessão de descontos sobre o valor nominal, nominal isto é, sobre o valor expresso no título. Assim, Instante n: valor do título é VN = VF Instante (n – 1) (ou 1 período anterior): valor do título era VN – i VN = VN (1 - i) Instante (n – 2): valor do título era (VN – i VN) - i (VN – i VN) = (VN – i VN) [1 - i] = VN (1 - i) [1 - i] = VN (1 – i ) 2 e, assim sucessivamente, n períodos antes do vencimento o valor do título era: VP = VF (1 – i) n

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO OU POR FORA O desconto comercial é a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor atual. Assim, d = VF – VP VP = VF (1 – i) n d = VF – VF (1 – i) n d = VF [ 1 – (1 - i) n ]

EXEMPLO 1 Calcular o valor atual de um título de R$ 20. 000, 00 descontado um ano antes do vencimento à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. SOLUÇÃO VP =? VF = R$20. 000, 00 i = 5% a. t. = 0, 05 a. t. n = 1 ano = 4 trimestres VP = VF (1 - i)n = 20. 000 (1 - 0, 05)4 = 20. 000. 0, 814506 = 16. 290, 13

EXEMPLO 1

EXEMPLO 2 Qual é o valor nominal de um título que foi resgatado 1 ano antes de seu vencimento por R$ 16. 290, 13, à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizados trimestralmente? SOLUÇÃO N = ? A = R$ 16. 290, 13 1 ano = 4 trimestres Pela fórmula, temos: i = 5% a. t. n =

EXEMPLO 2

EXEMPLO 3 Calcular o valor do desconto bancário composto de um título de R$ 20. 000, 1 ano antes do vencimento à taxa de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. SOLUÇÃO N = R$ 20. 000, 00 d = ? i= 5% a. t. n = 4 trimestres Pela fórmula temos: d= N [1 - (1 - i)n] = 20000[1 - (1 0, 05)4] = 20000. 0, 185494 = 3. 709, 88

EXEMPLO 3

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcular a taxa de desconto bancário composto de um título de R$ 20. 000, descontado 4 meses antes do vencimento, recebendo líquido o valor de R$ 16. 290, 13. Resp: 5% 2. Um título de R$ 20. 000, 00 foi descontado num banco, pelo desconto bancário composto, à taxa de 5% a. m. , sendo creditada, na conta do cliente, a importância de R$ 16. 290, 13. Quanto tempo antes do vencimento foi descontado este título? Resp : 4 meses

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU POR DENTRO O valor do desconto é calculado sobre o valor atual, como também o é em desconto racional simples, divergindo apenas por agora considerarmos uma capitalização, ou seja, usarmos potenciação como em capitalização composta. O valor nominal é o valor que consta no título e é dado por:

VALOR ATUAL RACIONAL O valor atual é o valor de resgate, valor presente ou valor líquido de um título descontado antes do seu vencimento. É dado por:

DESCONTO RACIONAL O desconto racional é a diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título que foi saldado antes do seu vencimento

EXEMPLO 1 Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% a. m. , capitalizável mensalmente, determinou um valor de resgate de R$ 12. 400, 00? Solução A’= 12. 400, 00 N’= ? i = 10% a. m. n = 3 meses N’= A’ (1 +i)n = 12. 400. (1 + 0, 1)3 = 12. 400. 1, 331000 = 16. 504, 40

EXEMPLO 2 Qual o valor de resgate de um título de R$ 16. 504, 40 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 46, 41% a. a. capitalizável trimestralmente? Solução i = 46, 41% a. a. N’= 16. 504, 40 A’ = ? n = 9 meses = 3 trimestres Precisamos primeiro estabelecer a equivalência de taxas. Assim A’ (1 + i’ ) = A’ (1 + i )4. . . os valores futuros devem ser iguais. (1 + 0, 4641) = (1 + i)4 = 0, 1 a. t. 1 + i = (1, 4641)1/4 i = 1, 10000 - 1 Sabendo todos os dados, podemos, agora, calcular o valor que o título foi descontado antes do vencimento. A’= N’/(1 + i)n = 16. 504, 40/(1 + 0, 1)3 = 16. 504, 40/1, 331000 = 12. 400, 00

EXEMPLO 2 Cálculo de A´

EXEMPLO 3 Determinar o valor do desconto racional composto de um título de R$ 16. 504, 40, descontado 9 meses antes do seu vencimento à taxa efetiva de desconto racional composto de 46, 41% a. a. , capitalizável trimestralmente. SOLUÇÃO N’= R$16. 504, 40 d’= ? i = 46, 415 a. a. n = 3 trimestres Do exercício anterior temos que a taxa efetiva é de 10% a. t. . Pela fórmula temos: d’= N’[1 - (1 + i)-n] = 16. 504, 40 [1 - (1 + 0, 1)-3] = 16. 504, 40 [1 - 0, 751315]= 16. 504, 40. 0, 248685 = 4. 104, 40

EXEMPLO 3

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