ACTIVITE ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE Dfinitions

ACTIVITE : ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE Définitions Découverte Propriété 1 Découverte Propriété 2 Démonstration Propriété 1 Cas n° 2 Cas n° 3 Démonstration Propriété 2

Définitions Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés coupent ce cercle. M Angle inscrit B A

Définitions Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle. O A B Angle au centre

1. A la découverte des deux propriétés a)Tracer un cercle C de centre O. Placer trois points A, B, M et N sur C. b)Tracer l’angle inscrit AMB et l’angle au centre AOB. Mesurer AMB et AOB. Quelle remarque peut-on faire ?

Angle inscrit M O A B Angle au centre Arc de cercle intercepté par les deux angles

AMB = 2 AOB M O B Propriété 1 (Propriété de A l’angle inscrit) Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de l’angle au centre.

d)Tracer l’angle inscrit. e)Que peut-on dire M des angles AMB et ANB? AMB = ANB Propriété 2 N O B A Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.

2. Démonstration des deux propriétés Propriété 1 Cas n° 1 : [MB] est un diamètre de C. a) Démontrer que OMA est isocèle. M b) Démontrer que AOM = 180 – 2 OMA O c) En déduire que : AOB = 2 AMB A B

1. a) Démontrer que OMA est isocèle. [OA] et [OM] sont deux rayons du cercle C donc OA = OB. OA = OM donc OMA est isocèle en O. M O A B

b) Démontrer que : AOM = 180 – 2 OMA. M OMA est isocèle en O donc les angles à la base OMA et OAB sont égaux. O A Or AOM = 180° - (OMA + OAB) Donc AOM = 180° - 2 OMA B

M c) En déduire que : AOB = 2 AMB. OAB et AOM sont supplémentaires donc AOB = 180° - AOM. A Or AOM = 180° - 2 OMA O Donc AOB = 180° - (180° - 2 OMA) AOB = 180° - 180° + 2 OMA Donc AOB = 2 AMB. B

2. Démonstration des deux propriétés Cas n° 2 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n° 1, Démontrer que : M AOB = 2 AMB O B A C

Cas n° 2 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n° 1, Démontrer que : M AOB = 2 AMB [MC] est un diamètre O de C donc d’après la question a) : AOC = 2 AMC et COB = 2 CMB A Or AOB = AOC + COB Or AOB = 2 AMC + 2 CMB = 2 AMB B C

2. Démonstration des deux propriétés Cas n° 3 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n° 1, M Démontrer que : AOB = 2 AMB O B A C

Cas n° 3 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n° 1, Démontrer que : M AOB = 2 AMB [MC] est un diamètre O de C donc d’après la question a) : AOC = 2 AMC et BOC = 2 BMC B A Or AOB = BOC - AOC Or OAB = 2 BMC – 2 AMC = 2 AMB C

2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. N M AMB et AOB interceptent le même O arc de cercle donc AMB = AOB : 2 B A

2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. N M ANB et AOB interceptent le même O arc de cercle donc ANB = AOB : 2 B A

2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. N AMB = AOB : 2 M et ANB = AOB : 2 O donc AMB = ANB A B

Fin