ACM ICPC Praktikum Kapitel 6 Kombinatorik bersicht Grundlegendes

ACM ICPC Praktikum Kapitel 6: Kombinatorik

Übersicht • • • Grundlegendes Zählen Binomialkoeffizienten Wichtige Folgen Rekurrenzgleichungen Rekursion und Induktion

Grundlegendes Zählen • Produktregel: - a Möglichkeiten für Menge A - b Möglichkeiten für Menge B ) a ¢ b Möglichkeiten für A £ B A: 1 1 2 2 2 A £ B: B: 1 2

Grundlegendes Zählen • Summenregel: - a Möglichkeiten für Menge A - b Möglichkeiten für Menge B - A und B disjunkt ) a+b Möglichkeiten für A [ B A: 1 2 A [ B: B: 3 4 1 2 3 4

Grundlegendes Zählen • Inklusion-Exklusion-Prinzip: Für beliebige Mengen A und B gilt: |A [ B| = |A| + |B| - |A Å B| Allgemein gilt für A 1, …, An: |A 1 [ … [ An| = k=1 n (-1)k+1 i 1<i 2<…<ik |Ai 1 Å … Å Aik|

Grundlegendes Zählen • Bijektion: Finde Abbildung f: M ! N von einer zu zählenden Menge M zu einer bekannten Menge N, so dass - für jedes y 2 N höchstens ein x existiert mit f(x)=y (f injektiv) - für jedes y 2 N mindestens ein x existiert mit f(x)=y (f surjektiv) Dann heißt f auch bijektiv.

Grundlegendes Zählen • Anzahl Permutationen auf n Zahlen: n! = 1 ¢ 2 ¢ … ¢ n • Anzahl aller Teilmengen von n Zahlen: 2 n • Anzahl aller k-elementigen Folgen aus n Zahlen (ohne Zurücklegen): n!/(n-k)! • Anzahl aller k-elementiger Teilmengen von n n Zahlen: ( k ) = n!/((n-k)! k!)

Grundlegendes Zählen • Anzahl der k-elementigen Folgen von n Zahlen mit Zurücklegen und Beachtung der Reihenfolge: nk • Anzahl der k-elementigen Folgen von n Zahlen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge: n-1+k ( k )

Binomialkoeffizienten n 0 n k • ( ) = 1, ( ) = 0 für alle k>n n-1 • ( nk ) = ( n-1 ) + ( k-1 k ) • Für beliebige a und b gilt: (a+b)n = i=0 n ( ni ) ai bn-I n k • Berechnung von ( ): rekursive Formel oben (Pascal Dreieck) n oder ( k ) = i=0 k-1 (n-i)/(k-i)

Rekurrenzgleichungen • a 1 = 1 und an = an-1+1: an = n • a 1 = 2 und an = 2 an-1: an = 2 n • a 1 = 1 und an = n an-1: an = n! • a 1 = 2 und an = (an-1)2: n 2 an = 2

Rekurrenzgleichungen • Fibonacci Zahlen: F 0 = 0, F 1 = 1, Fn = Fn-1+Fn-2 Fn = (1/ 5 ) ( 1+ 5 ( 2 )n –( 1 - 5 2 )n ) • Catalan Zahlen: C 0 = 1, Cn = k=0 n-1 Ck Cn-1 -k Cn = 1/(n+1) ¢ (2 n n ) Zählen z. B. Anzahl Möglichkeiten für n ()Klammerungen. n=3: ((())), ()(()), (())(), (()()), ()()()

Rekurrenzgleichungen • Eulersche Zahlen: n-1 h nk i = k hn-1 i + (n-k+1) h k k-1 i Zählen die Anzahl der Permutationen über n Zahlen mit k aufsteigenden Sequenzen. • Anzahl ganzzahliger Partitionen: P(1, 1)=1, P(n, k) = 0 für k>n P(n, k) = P(n-k, k)+P(n, k-1) Zählen die Anzahl ganzahliger Partitionen mit größtem Teil k.

Rekurrenzgleichungen • Stirling Zahlen erster Ordnung: n n-1 [ k ] = [ n-1 ] + (n-1) [ k-1 k ] Zählen die Anzahl der Permutationen auf n Zahlen mit genau k Kreisen. • Stirling Zahlen zweiter Ordnung: n-1 { nk } = k { n-1 } + { k k-1 } Zählen die Anzahl der Möglichkeiten, n Elemente in k Teilmengen aufzuteilen.

Rekursion und Induktion • Aufzählen kombinatorischer Strukturen: verwende rekursive Verfahren • Korrektheitsbeweis rekursiver Verfahren: üblicherweise viel einfacher als für nichtrekursive Verfahren, da Korrektheit rekursiver Verfahren durch vollständige Induktion bewiesen werden kann.

Rekurrenzen aufspüren • Oftmals sind kombinatorische Probleme nur schwer direkt zu lösen. • Vorgehen dann: zunächst einfache Beispiele betrachten und Lösung berechnen. • Dann Rekurrenzgleichung herleiten und ggf. Korrektheit beweisen.