Aadaki ekillerde alanlarn kaar birim kare olduklarn bulalm

Aşağıdaki şekillerde alanların kaçar birim kare olduklarını bulalım. 25 br 2 28 br 2

Birim Karelerin Hangisi? *Aşağıda verilen aynı büyüklükteki masaların yüzeyleri, farklı boyutlardaki karelerle kaplanmıştır. 6 br 2 12 br 2 24 br 2 * 3 işlemde de aynı bölgenin alanını doğru olarak ölçmemize rağmen, farklı sonuçlarla karşılaştık. Neden? * Çünkü herkes için geçerli olan, standart bir ölçme

*Standart bir ölçme birimi ile ölçme yapılırsa, herkes için daha anlaşılır olur. * Standart alan ölçme birimi olarak cm 2 ve m 2 kullanılır. • Kenar uzunluğu 1 cm olan karenin alanı 1 cm 2 dir. “ Bir santimetre kare” biçiminde okunur. • Kenar uzunluğu 1 m olan karenin alanına ise 1 m 2 denir. “ Bir metre kare” biçiminde okunur. ***Eğer masamızın alanını bulurken, standart ölçme birimleri olan cm yada m kullansaydık, bulduğumuz sonuçlar aynı çıkardı.

ØŞekillerde karelerin birer kenar uzunlukları verilmiştir. v. Alanlarını bulmaya çalışalım. 6 cm 5 cm 10 cm 9 cm 3 cm

ØÖlçümlerimizi tablo halinde gösterelim. Kenarı Alanı üHer karenin bir kenarının uzunluğu ile alanı arasında 2 Kareler (cm) ( cm ) 1. Kare 3 2. Kare 5 3. Kare 6 4. Kare 9 5. kare 10 9 25 36 81 100 nasıl bir ilişki vardır? v. Karenin alanı bir kenarının kendisi ile çarpımıdır. Örnek : Karenin bir kenarı 3 cm ise, Karenin Alanı ; ( A ) = 3 x 3 = 32 = 9 cm 2 dir. üKarenin bir kenar uzunluğuna a dersek , alanını nasıl gösteririz? v. Karenin bir kenar uzunluğuna Alan ( a olursa ; A ) = a x a = a 2 şeklinde formülleşir.

qŞekillerde dikdörtgenlerin uzunlukları ve genişlikleri belirtilmiştir. q. Alanlarını bulmaya çalışalım. 6 cm 5 cm 4 cm 8 cm 9 cm 11 cm 9 cm 7 cm 5 cm 3 cm

ØÖlçümlerimizi yine tablo halinde görelim. Dikdörtgenler 1. Dikdörtgen 2. Dikdörtgen Genişliği ( cm ) Uzunluğu ( cm ) Alanı ( cm 2 ) 3 5 4 9 15 36 55 48 63 3. Dikdörtgen 5 11 4. Dikdörtgen 6 8 7 9 5. Dikdörtgen üHer dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği ile alanı arasında nasıl bir ilişki vardır? v. Dikdörtgenin alanı, uzunluğu ile genişliği çarpılarak bulunur. Örnek : Dikdörtgenin uzunluğu 11 cm, genişliği 5 cm ise; Dikdörtgenin Alanı; ( A ) = 11 x 5 = 55 cm 2 dir. üBir dikdörtgenin genişliğine a , uzunluğuna b dersek ; alanını nasıl gösteririz? v. Dikdörtgenin genişliği a , uzunluğuna b olursa ; Alanı ( A ) = a x b şeklinde formülleşir.

M a L N c a c K v. Dikdörtgensel bölgenin alanı, uzunluğu ile genişliğinin çarpımına eşittir. A(KLMN) = a x c ØBir kenarı yükseklik olarak düşünürsek; Dikdörtgenin alanı, “bir kenarının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir”, diyebiliriz.

F a C S a a a E v. Karesel bölgenin alanı; iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir. A(FSEC) = a x a = a 2 ØBir kenarı yükseklik olarak düşünürsek; Karesel bölgenin alanı; “bir kenarının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir” , diyebiliriz.

Ø Şekil üzerinde, alanı 12 cm 2 olan dikdörtgenler çizmeye çalışalım. ØAlanı 12 cm 2 olan kaç dikdörtgen çizebiliriz? 2 cm 3 cm 6 cm 4 cm A = 3 x 4 = 12 cm 2 A = 2 x 6 = 12 cm 2 12 cm 1 cm A = 1 x 12 = 12 cm 2 §Bunun gibi başka dikdörtgenler çizebilir

Şekilde iki nokta arası 2 cm’dir. Buna göre şeklin çevresi kaç santimetredir? Kaç tane nokta aralığı olduğunu bulur ve 2 ile çarparız. Toplam : 20 tane Çevre = 20 x 2 = 40 cm Şeklimizin kenarlarını kes-yapıştır yöntemiyle dikdörtgene tamamlar ve çevresini hesaplarız. Oluşan dikdörtgenin; Kısa kenarı = Uzun Kenarı = 6 cm 14 cm Çevresi =

Aynı şeklin bu kez de alanını hesaplayalım. ( iki nokta arası yine 2 cm) ØŞekil üzerinde çizimler yaparak, şeklimizi dikdörtgensel ve karesel bölgelere ayırmaya çalışalım. Ø 1 dikdörtgensel ve 2 karesel bölge oluşturduk. Şimdi bu bölgelerin kenar uzunluklarını bulalım. ( iki nokta arası 2 cm idi. ) 8 cm 4 cm 6 cm 4 cm 2 cm

ØAyrı alanları hesaplayıp ve daha sonra hepsini toplayarak , tüm şeklin alanını bulalım. 8 cm 6 cm 48 cm 2 2 4 cm 16 cm 2 cm 4 cm 2 A = 6 x 8 = 48 cm 2 A = 4 x 4 = 16 cm 2 2 cm A = 2 x 2 = 4 cm 2 Şeklimizin toplam alanı;

q. Aşağıdaki dikdörtgenlerin önce çevre uzunluklarını, daha sonra alanlarını hesaplayınız. 6 cm 7 cm 12 cm 11 cm Dikdörtgenin çevresini ; bir uzun ve bir kısa kenarını toplayıp, sonra 2 ile çarparak bulduğumuzu hatırlayın. İki dikdörtgende de çevre uzunlukları eşit ve 36 cm çıktı. Şimdi alanlarını bulalım. Bakalım alanları da eşit çıkacak mı? Bu dikdörtgenler için, “çevreleri eşitse; alanları da eşittir. ” diyebilir miyiz?

• Dikdörtgenlerimizin alanlarını ayrı hesaplayalım. 6 cm 7 cm 12 cm 11 cm Görüldüğü gibi dikdörtgenlerin alanları birbirinden farklı çıktı. • Bu ve buna benzer dikdörtgenler için; “çevreleri eşitse, alanları da eşittir” yada “alanları eşitse, çevreleri de eşittir” şeklinde bir kural koyamayız. • Verilen şeklin kenar uzunluklarına göre , çevre ve alanları hesaplamamız gerekir.

• Bazen öyle sorularla karşılaşırız ki, bize alanın bir kısmı verilir, bizden alanın tamamı istenir. • Bunun tersi de olabilir tabi ki : Alanın tamamı verilir, taralı alanı bulmamız istenir. • Yada “taralı alan şu kadarsa, şeklin çevresi ne kadardır? ” gibi çevre soruları da olabilir. Şimdi , örnekler üzerinde bununla ilgili çalışmalar yapalım.

Çevresinin uzunluğu 24 cm olan karesel bölgenin alanı kaç cm 2 dir? ØÇevre ve alan hesaplamaları yaparken, şeklin kenar uzunluklarının bilinmesi gerekmektedir. üKarede dört eşit kenar bulunduğundan çevre uzunluğunu dörde bölerek, bir kenarını hesaplarız Ç = 24 cm üKarenin alanını, bir kenar uzunluğunu kendisi ile çarparak buluyorduk.

Bir uzun kenarı 40 m olan dikdörtgenin çevresi 120 m’dir. Bu dikdörtgenin alanı kaç m 2 dir? ØÇevresi ve bir uzun kenarı verilen dikdörtgenin, kısa kenarını da bulmamız gerekmektedir. üDikdörtgenin uzun kenarları toplamı 80 m olur. Ç = 120 m 40 + 40 = üÇevresinden uzun kenarlar toplamını çıkararak , kısa kenarların toplamını buluruz. 120 – 80 = 40 m (kısa kenarlar toplamı) üBir kısa kenar uzunluğu ise; 40 : 2 = 20 m olur İki kenar da belli olduğuna göre; şimdi alanını bulabiliriz.

Uzun kenarı 160 m, kısa kenarı 40 m olan dikdörtgensel bir bahçenin alanı; karesel bir bahçenin alanına eşittir. Bu karesel bahçenin çevresi kaç m’dir? • Öncelikle problemi anlamaya çalışalım. Şekillerini çizelim. • Verilenleri ve isteneni listeleyelim. • Dikdörtgen biçimindeki bahçenin; Uzun kenarı : 160 m Kısa Kenarı : 40 m • Dikdörtgenin alanı, karenin alanına eşit. Kare şeklindeki bahçenin çevresi

• Dikdörtgensel bahçenin kısa kenarı 40 m, uzun kenarı 160 m. • Dikdörtgenin alanını hesaplayıp, karenin alanı ile eşleyelim. 40 m 160 m • Dikdörtgensel bahçenin alanı 6400 m 2 olursa, karesel bahçenin alanı da 6400 m 2 olacak. • Ancak soruda bizden karesel bahçenin çevresi isteniyor.

ØBizden istenen karenin çevresi olduğu için, karenin alanı olan 6400 m 2 den yola çıkarak , karenin bir kenarını bulmamız gerekir. ØBir sayıyı kendisi ile çarparak 6400 sayısını bulacağız. Bu sayı kaç olabilir? 8 x 8 = 64 ise 80 x 80 = 6400 olur. ØÖyle ise karesel bahçenin bir kenarı 80 m’dir. Şimdi çevresini hesaplayabiliriz.

ABCD karesinde taralı bölge 72 cm 2 ise, şeklin tüm alanı kaç cm dir? 2’ 72 cm 2 ØKarede komşu olmayan iki köşeyi birleştiren, iki doğru parçası vardır. Bunlara köşegen diyoruz. ØAC ve BD köşegenleri ØKöşegenler kareyi eş parçalara ayırır. Şimdi AC köşegenini çizelim. ØKare iki eş parçaya ayrıldı. ØTaralı bölge 72 cm 2 ise, diğer bölgede 72 cm 2’dir. ØŞeklin toplam alanı ise;

üKarenin 2 köşegeni vardır. üBir köşegen kareyi iki eş parçaya; üİki köşegen ise dört eş parçaya (üçgene) ayırır. ØKarenin köşegenleri birbirini ortalar. ØYani birbirlerini eş parçalara ayırırlar. ØI AO I = I OC I = I BO I = I OD I

Şekilde KLMN karesel bir bölgedir. I LO I ve I NO I uzunlukları birbirine eşit ve KLO üçgeninin alanı 45 cm 2 ise, tüm şeklin alanı kaç cm 2’dir?

** ILNI doğru parçası karenin bir köşegenidir. ** I NO I = I LO I olduğu için I LN I köşegeni ortalanmış durumdadır. *** Bu nedenle MO noktalarını birleştirdiğimizde, karenin diğer köşegeni olan I KM I köşegenini elde ederiz. *** Böylelikle karemiz 4 eş parçaya ayrılmış oldu. Taralı alan 45 cm 2 ise; Diğer parçalar da 45 cm 2’dir. 45 cm 2

25 m Şekilde verilenlere göre EFGH dikdörtgeninin çevresi kaç metredir? 75 m 2 üDikdörtgenin bir kenarı ile alanının bir kısmı verilmiş, bizden çevresini bulmamız isteniyor. üÇevresini bulmak için dikdörtgenin diğer kenarını da bulmamız gerekir. üBunu nasıl yapabiliriz? Biraz düşünün bakalım. • Dikdörtgenin alanı , kısa kenar ile uzun kenarın çarpımı ile bulunuyordu. • Alanının tamamını bulabilirsek , verilmeyen kenarı da bulabiliriz.

25 m 75 m 2 § Karede olduğu gibi dikdörtgende de köşegenler , alanı birbirine eşit parçalara ayırırlar. şekilde köşegenler , dikdörtgeni 4 eş parçaya ayırmıştır. § Verilen §Taralı kısım 75 m 2 ise , diğer parçalarda 75 m 2’dir.

ØBulduğumuz alanı yerine yazalım. 25 m 12 m • Ancak bizden istenen alan değil, dikdörtgenin çevresiydi. • Bunun için de alan formülü kullanarak, kısa kenarı bulmamız gerekir. Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar x Uzun kenar • Son işlem ; kısa ve uzun kenarları belli olan dikdörtgenimizin çevresini bulalım.

Şekildeki PRSŞ dikdörtgeninde IPRI kenarı dört eşit parçaya ayrılmıştır. Dikdörtgenin tüm alanı 200 cm 2 ise, taralı alan kaç cm 2’dir?

** *Dikdörtgen üzerinde köşegenleri çizerek, dikdörtgeni eş parçalara ayıralım. *** ŞR köşegeni çizildiğinde taralı alanın kesildiği görülmektedir. **** Bu yüzden ŞR köşegenini kullanmamız doğru olmaz. *** Sadece SP köşegenini çizerek dikdörtgenimizi 2 eş parçaya ayırırız. *** Toplam alan 200 cm 2 olduğundan, iki eş parçadan her biri 100 cm 2 olur. 100 cm 2

v. Sadece taralı alanın yer aldığı parçayı, dikdörtgenden ayıralım. v. Bu şeklin tüm alanı 100 cm 2 olmuştu. 2 2 100100 cmcm v. IPRI doğru parçasının 4 eş parçaya ayrıldığı, soruda belirtilmişti. v. Birleştirilmeyen diğer noktayı da, S köşesi ile birleştirelim. v. Alanları birbirine eşit olan v. Bu şeklin tamamı 100 4 tane üçgen elde ederiz. cm 2 ise ;

Şekildeki ABCD dikdörtgeni içerisinde, birbirine eş 10 kare BC kenarı 12 m ise, taralı alan kaç m 2 olur? bulunmaktadır. 12 m § Taralı alanı bulmak için, ABCD dikdörtgeninin alanından , birbirine eş 10 karenin alanını çıkarmamız gerekiyor. §Bunun için öncelikle dikdörtgenin ve karelerin kenar uzunluklarını hesaplamalıyız.

• BC kenarının ölçüsü olan 12 m yi kullanarak , karenin bir kenarını bulalım. • BC kenarını 4 kare ile oluşturduk. Öyleyse karelerin bir kenarı; • Böylelikle bütün karelerin alanlarını hesaplayabiliriz. 3 3 12 m

üKısa kenarı 12 cm olan ABCD dikdörtgenin uzun kenarını bulalım. üDikdörtgenin uzun kenarı 6 kareden oluştu. Karenin bir kenarı 3 dikdörtgenin uzun kenarı; cm olduğu için, üŞimdi kısa ve uzun kenarı belli olan ABCD dikdörtgenin alanını bulabiliriz. 12 m 18 m

12 m 3 18 m