A vettsek geometrija Pontok egyenesek krk s ezek

A vetítések geometriája Pontok, egyenesek, körök és ezek vetületei Készítette: Nagy Gábor Péter http: //www. math. u-szeged. hu/~nagyg

Geometriai alapfogalmak l l l Pont, egyenes, sík Egyenes vagy szakasz? Illeszkedés vagy tartalmazás: e f = P ? Távolság hossz, terület, szög mérése Közrefogás

Párhuzamos vetítés l l l Párhuzamosság a síkon és a térben Párhuzamossági axióma A párhuzamos vetítés megtartja az egyeneseket, a párhuzamosságot, az „arányokat” Nem tartja meg a távolságot, a szöget Párhuzamos szelők tétele Alkalmazás: műszaki rajz

Perspektív ábrázolás l l A XIV. századig nem törekedtek a tér valósághű ábrázolására A XIV-XV. században az olasz festők „feltalálják” a perspektívát „A párhuzamosok a végtelenben találkoznak” A térérzékelésünk, azaz a látásunk lényegében középpontos vetítés

A középpontos vetítés l l Középpontos vetítés a síkon és a térben A középpontos vetítés egyenestartó A középpontos vetítés nem tartja meg a párhuzamosságot, az arányt, a közrefogást Alkalmazás: 3 D-s számítógépes játékok csak vonalzóval rajzolható alakzatok

Ideális pontok és egyenesek l l l Minden egyeneshez hozzáképzelünk plusz egy ideális pontot Párhuzamos egyenesekhez ugyanazt az ideális pontot vesszük hozzá Az ideális pontok alkotják az ideális egyenest Két pontnak mindig van közös egyenese Két egyenesnek mindig van metszete

Másodfokú alakzatok l l l Elsőfokú alakzatok egyenes: y = 2 x – 3 (y = mx + b) sík: ax + by + cz = d Kúpszeletek ellipszis (ideértve a kört), parabola, hiperbola, A kanonikus alakuk másodfokú, kétismeretlenes egyenlet

Kúpszeletek vetületei l l l Kör párhuzamos vetülete ellipszis A párhuzamos vetítés megtartja az ellipszist, a parabolát és a hiperbolát Kör középpontos vetülete VAGY ellipszis, VAGY parabola VAGY hiperbola A forgáskúp síkmetszetei A középpontos vetítés megtartja a kúpszeleteket

Néhány tétel kúpszeletre l l l Kúpszeletek ideális pontjai Papposz tétele egyenesekre Pascal tétele körre Pascal tétele kúpszeletekre Kúpszeletek szerkesztése