A SEQUNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI A

A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA (ILUSTRAÇÕES) Uma palestra do Projeto Embaixadores da Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP Valdemar W. Setzer Dept. de Ciência da Computação do IME www. ime. usp. br/~vwsetzer V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 1

ONE-MINUTE PAPER: NO FIM DA PALESTRA, ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE? 2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU? 3. COMENTÁRIOS V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 2

Cursos de graduação do IME Matemática (pura) Matemática aplicada Licenciatura em matemática Estatística Ciência da computação Matemática aplicada e computacional V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 3

Desenhar uma espiral qualquer V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 4

Espiral de Arquimedes (passo constante) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 5

Vamos aprender a desenhar uma outra espiral V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 6

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Espiral de Fibonacci V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 8

A sequência de Fibonacci (1170 -1250? ) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987. . . Fórmula que gera a sequência F 1 = 1 F 2 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 9

Fibonacci, de autor desconhecido V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 10

Arte medieval (ca. 1150) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 11

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 Trecho do original do Liber Abaci V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 12

Essa sequência já era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI. Fibonacci escreveu a sequência até o 13º elemento, 377. No livro, na página vista, ele descreveu e resolveu o problema da multiplicação dos coelhos, com as seguintes regras fictícias: 1. No início, há um casal de coelhos recémnascido. 2. Os coelhos nascidos levam 1 mês para atingir a maturação sexual e se acasalarem. 3. O tempo de gestação é de 1 mês. 4. Cada casal maduro produz um casal de novos coelhos a cada mês. V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 13

1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8

Expressão matemática dos coelhos Casal recém-nascido (cinza) : 0 Casal maduro (rosa): 1 Regras de substituição depois de 1 mês (uma nova linha): 0 1 (casal recém-nascido fica maduro) 1 10 (casal maduro continua maduro – não morre – e dá cria a um casal recém-nascido) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 15

Expressão matemática dos coelhos (cont. ) Mês N Total 0 s 1 s 1 0 1 2 1 1 1 3 10 2 1 1 4 101 3 1 2 5 10110 5 2 3 6 10110101 8 3 5 7 10110110 13 5 8 8 1011010110101 21 8 13 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 16

Expressão matemática dos coelhos (cont. ) ] Notar como o simbolismo matemático ajuda a perceber relações entre objetos: Cada linha é a concatenação das duas linhas anteriores ] ATENÇÃO: não foi provado que a substituição 0 1 e a 1 01 gera a sequência de Fibonacci! Foram dados EXEMPLOS. Parece que funciona, mas é preciso PROVAR matematicamente ] Será que outras regras também funcionam? Ex. : 1 0, 0 01; 0 11; 1 101 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 17

Por que Fibonacci tornou-se muito famoso? ] Porque introduziu na Europa os números indo-arábicos Antes, anotavam-se dados e resultados em algarismos romanos e os cálculos eram feitos com ábacos V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- Ábaco romano (3. 485. 363) 10/11/19 18

Por que Fibonacci tornou-se muito famoso? ] Fibonacci tornou-se um visitante do imperador Frederico II, que gostava de matemática e ciência. Em 1240 a República de Pisa deu a ele um salário, referindo-se a ele como Leonardo Bigollo. ] O asteroide 6. 765 recebeu o nome de Fibonacci. V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 19

Estátua no Camposanto, em Pisa (1863) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 20

Camposanto, Pisa V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 21

Piazza del Duomo ou Campo dei Miracoli V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 22

Que triângulo é esse? 0: 1 1: 1 1 2: 1 2 1 3: 1 3 3 1 4: 1 4 6 4 1 5: 1 5 10 10 5 1 6: 1 6 15 20 15 6 1 Triângulo de Pascal! Para que serve? (a+b)4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 23

A sequência de Fibonacci aparece em muitas áreas da matemática, como no triângulo de Pascal: V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 24

Outra propriedade Sejam 4 elementos consecutivos de uma sequência de Fibonacci: 2 x Fn , Fn+1 , Fn+2 , Fn+3 x Então (Fn x Fn+3)2 + (2 x Fn+1 x Fn+2)2 = m 2 onde m é um inteiro (natural) Ex: 3, 5, 8, 13 (3 x 13)2 + (2 x 5 x 8)2 = 392 + 802 = 1521 + 6400 = = 7921 = 892 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 25

Prova: 2 x a, b, a+2 b x [a(a+2 ab)]2 + [2 b(a+b)]2 = (a 2 + 2 ab + 2 b 2)2 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 26

Mais uma propriedade (invariante) Fn , Fn+1 , Fn+2 , Fn+3 Fn x Fn+3 – Fn+1 x Fn+2 = (– 1)n+1 Ex: 8, 13, 21, 34 8 x 34 – 13 x 21 = 272 – 273 = – 1 34, 55, 89, 144 34 x 144 – 55 x 89 = 4896 – 4895 = 1 233, 377, 610, 987 233 x 987 – 377 x 610 = 229971 – 229970 = 1 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 27

Outra propriedade F 2 n = (Fn+1)2 – (Fn-1)2 Ex: n = 5, F 10 = 55, F 6 = 8, F 4 = 3 55 = 82 – 32 = 64 – 9 n = 8, F 16 = 987, F 9 = 34, F 7 = 13 987 = 342 – 132 = 1156 – 169 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 28

Agora vamos ver a propriedade que considero a mais interessante: ] O que acontece se dividirmos cada elemento da sequência de Fibonacci pelo elemento anterior? V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 29

1, 6180. . . Convergência das curvas (exponenciais!) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 30

Considerando as duas curvas, na verdade há uma oscilação em torno do valor de convergência “oscilação amortecida”). Ex: amortecedor. 1, 6180. . . V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 31

b a+b ––– = –––– = φ a b 1+√ 5 1 φ = 1 + ––– φ __ φ = –––––– 2 __ √ 5 = 2, 2360667977896964091736687313. . . φ = 1, 6180332989948482045868343606. . . V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 32

O φ não vem de Fibonacci. Mark Barr, matemático americano usou o φ em 1909 em homenagem ao escultor grego Fídias (490 -430 a. C. ), o mais famoso da antiga Grécia, que supervisionou a construção do Partenon em Atenas e foi o autor de estátuas famosas. Mas por que Barr usou o φ em homenagem ao Fídias? Veremos mais tarde. V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 33

Partenon (432 a. C. ) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações Atena Partenos (447 a. C), Restaurada no séc. II 10/11/19 34

Quem provou que Fn ––––– Fn-1 quando o n vai crescendo aproxima-se de φ foi o matemático escocês Robert Simpson em 1753. V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 35

Quem primeiro mencionou a razão áurea foi Euclides (325 -265 a. C. ), em seu Elementos (ca. 300 a. C. ): “Uma linha reta é dita ter sido seccionada na razão extrema e média quando a linha toda está para o segmento maior assim como o maior para o menor. ” O primeiro a usar a expressão “seção áurea” (goldener Schnitt) parece ter sido Martin Ohm em 1835, e aparece na Enciclopaedia Britannica na 9ª edição de 1875. Mas por que “razão áurea”? V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 36

https: //www. youtube. com/watch? v=k. KWV-u. U_So. I (Acionar vídeo) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 37

V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 38

Aparelho usado por pintores V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 39

a a' • b b' α a' • a' α α • • a Dois triângulos isóceles com os lados iguais proporcionais (a/a') e um ângulo igual (α) são semelhantes. Portanto a/a' = φ b/b'= φ V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 40

Aparelho usado por dentistas para deduzir o tamanho de implante V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 41

Aparelho de dentista; também para sobrancelhas V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 42

Meu aparelho para verificar a razão áurea b a c c' ɵ( ● )ɵ a b b/a = φ c/c' = φ (por semelhança de triângulos) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 43

Há objeções às proporções áureas no corpo humano, mas o fato é que não dá 1, 2 ou 1, 9, e sim sempre próximo de 1, 6. V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 44

György Doczi, O Poder dos Limites, pp. 58 -59 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 45

Não é só no corpo humano. . . Proporções áureas no pentágono e no pentagrama: vermelho verde azul ––––––––– = –––– = φ amarelo verde azul magenta V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 46

Partindo-se de um segmento dividido na razão áurea a+b b a+b = φ = a b a b Adicionando-se o segmento todo, temos mais uma razão áurea: a+b a b a+2 b a+b b a a+b = + =φ = = 1+ a+b b b V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 47

Como desenhar um segmento na razão áurea em relação a um outro dado: Dado: ____ __ a 2 = 12 + ½ 2 = 1 + ¼= 5/4 a = √ 5/4 a = ½√ 5 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 48

Como dividir um segmento dado na razão áurea: ½ ½ 1 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 49

Dividir um segmento na razão áurea (cont. ) a b ½ 1/φ 1 ____ __ a 2 = 12 + ½ 2 = 1 + ¼= 5/4 a = √ 5/4 a = ½√ 5 b = a – ½ = ½√ 5 – ½ = (√ 5 – 1)/2 = (1+√ 5 )/2 – 1 = φ – 1 b = 1/φ V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 50

Retângulo áureo, com lados proporcionais a 1 e Φ, aproximadamente 5 e 8, ou a 8 e 13. Proporções agradáveis? Por que? 1; 5; 8 Φ (1, 618. . . ); 8; 13 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 51

5, 35 cm 8, 6/5, 35 = 1, 607 Cartão magnético V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 52

Construção de retângulos áureos a partir de um retângulo áureo adicionando-se quadrados: 2+3φ φ 1+φ 1 2+3φ 1+2φ 3+5φ V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 53

Por que os retângulos, adicionando-se quadrados, são sempre áureos? Os lados são φ φ 1+φ 1+2φ 2+3φ 3+5φ φ 1+φ 1 = + 1 = φ φ φ 1+2φ 1+φ φ 1 = + = 1 + = φ etc. 1+φ 1+φ φ V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 54

Partenon, Atenas, com retângulos áureos V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 55

Espiral com retângulos áureos V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 56

Desenhar uma espiral logarítmica de razão 2 a cada 180° V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 57

Espiral logarítmica de razão 2 a cada 180° V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 58

Espiral áurea: Uma espiral logarítmica de razão φ V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 59

Verde: espiral com arcos de círculo; vermelha: espiral áurea; amarelo: coincidentes. V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 60

Propriedades das espirais logarítmicas ] Crescimento proporcional V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 61

Crescimento proporcional (em P. G. ) – fator 1, 2 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 62

Espiral logarítmica: crescimento proporcional V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 63

Propriedade equiangular V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 64

Propriedade de osculação V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 65

Quem estudou as espirais logarítmicas foi Jakob Bernoulli (1665 -1705). Foi um grande matemático, catedrático na universidade de Basel. Com seu irmão Johann introduziu o Cálculo das Variações. Introduziu a Lei dos Grandes Números, que levou ao cálculo de probabilidades. Estudando os juros compostos, descobriu o número e (número de Euler [1707 -1783], e ≈ 2. 71828) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 66

Bernoulli chamou a espiral logarítmica de Spira Mirabilis. Ele escreveu o seguinte: “[A espiral logarítmica] pode ser usada como um símbolo para o corpo humano, na força de espírito e constância na adversidade, o qual depois de todas suas mudanças, mesmo depois da morte, é restaurado para seu ‘si próprio’ (self), exato e perfeito. ” Ele quis que se colocasse em seu túmulo uma espiral logarítmica e se escrevesse a frase “Eadem mutata resurgo” (“Apesar de mudada, ressurjo”). Isso foi feito, mas foi em volta de uma espiral de Arquimedes (passo constante). V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 67

Selo suíço “EADEM MUTATA RESSURGO” “Apesar de mudada, ressurjo” Lápide do túmulo de Jacob Bernoulli († 1705), na catedral de Basel, Suíça V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 68

Um triângulo áureo: φ 1 A partir dele pode-se adicionar novos triângulos, construindo uma sequência de triângulos áureos V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 69

Uma sequência de triângulos áureos: 5+8 φ 3+5φ 1 2φ 1+ 1+φ φ φ 2+3 A partir dessa sequência pode-se construir uma espiral áurea, ligando-se um vértice de cada base V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 70

Espiral quase áurea com triângulos áureos (as setas mostram os raios das circunferências) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 71

Caramujos do Rio Tapajós (Notar as espirais logarítmicas – mesmas proporções) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 72

Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 73

Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 74

Nautilus pompilius Notar a mesma forma das câmaras (dimensões proporcionais) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 75

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Margarida V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 77

← 34 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 21 → (Margarida) 10/11/19 78

V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ← 55 34 → (Girassol) 10/11/19 79

V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ← 8 13 → 10/11/19 80

Brócoli Romanesco V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 81

Brócoli Romanesco – 13 espirais nos dois sentidos V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 82

← 34 55 → V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- Pinha de Araucária 10/11/19 83

13 8 V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 84

Furacão V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 85

Furacão V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 86

Galáxia V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 87

ONE-MINUTE PAPER ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE? 2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU? 3. COMENTÁRIOS V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 88

Exercício. Prestar atenção nas plantas e descobrir as espirais e números de Fibonacci na natureza. Dessa maneira desenvolve-se uma admiração, um respeito, uma veneração pela natureza, a única maneira de preservá-la e cultivá-la. Qual a maior maravilha física na natureza? O corpo humano! V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 89

V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 90

ATENÇÃO: Nem tudo na natureza segue ] a sequência de Fibonacci; ] a espiral de Fibonacci; ] a razão áurea; ] uma espiral logarítmica. Mas podemos reconhecer em muitos casos regularidades, tanto matemáticas quando não matemáticas. Exs: Costela de Adão V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações Adelpha capucinus velia 10/11/19 91

Na Praia do Pulso, Ubatuba V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 92

Dália V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- 10/11/19 93

Se gostarem de matemática, venham estudar no IME! V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 94

F I M A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA (ILUSTRAÇÕES) Uma palestra do Projeto Embaixadores da Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP Valdemar W. Setzer Dept. de Ciência da Computação do IME www. ime. usp. br/~vwsetzer V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 95

PARA OS PROFESSORES Por que essa aula foi tão interessante, quem sabe entusiasmando os alunos? Ingredientes básicos para uma aula interessante: 1. Ter algo estético, mexendo com os sentimentos: só a geometria faz isso. (No caso, desenhar as espirais. ) A álgebra é puramente simbólica, morta. V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 96

2. A aula deve ter atividade dos alunos (no caso, desenhar, calcular as razões). Muito importante: dar uma aula idealmente sempre com ritmo de inspiração (alunos absorvem algo) e expiração (alunos fazem algo, põem para fora). Perguntar aos alunos com frequência, pelo nome deles. 3. A aula deve conter algo da história da matéria, inclusive biografias, pois isso traz realidade. (Fibonacci, Bernoulli. ) V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 97

4. 5. 6. 7. A aula deve relacionar o que é visto com a realidade, eventualmente com a natureza. (No caso, plantas, galáxias, furacões, corpo humano. ) Não dar aulas exclusivamente corretas. Avisar que se vai cometer alguns erros e pedir para ver quem os descobre. Abordar vários tópicos da matemática, e não um só. Dar aulas com entusiasmo, admiração pela matéria. Isso se transmite aos alunos. V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 98

8. 9. 10. Contar vivências próprias (caso da lápide do Bernoulli, observar as espirais nas orelhas). Usar projetor apenas para ilustrações. Fazer todo o desenvolvimento matemático no quadro negro, pois aí a velocidade é a do raciocínio. Aprender o nome dos alunos. Isso dá um contato pessoal com cada um. V. W. Setzer – Espirais, Fibonacci e a razão áurea -- ilustrações 10/11/19 99