A SEQUNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI A

A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA (ROTEIRO) Uma palestra do Projeto Embaixadores da Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP Valdemar W. Setzer Dept. de Ciência da Computação do IME www. ime. usp. br/~vwsetzer V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 1

ONE-MINUTE PAPER: NO FIM DA PALESTRA, ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE? 2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU? 3. COMENTÁRIOS V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 2

Chamar alguns alunos para desenharem uma espiral no quadro negro. Em geral vão desenhar uma de Arquimedes (passo constante) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 3

Desenhar no quadro negro a Espiral de Fibonacci com sequência de quadrados, e pedir para os alunos desenharem-na na folha de papel almaço quadriculada, tudo a mão livre. Chamar a atenção para o fato de o ser humano ser capaz de verificar se o desenho está razoável, bonito e portanto próximo do correto geométrico (quadrados – dizer para conterem os lados apenas depois de desenharem, para verificar –, arcos de círculo). V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 4

Fazer os alunos desenharem os quadrados consecutivos da sequência de Fibonacci, usando papel quadriculado (preferífel: 0, 5 cm de lado) Desenhar a espiral V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 5

Espiral de Fibonacci V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 6

Colocar o tamanho dos lados quadrados numa sequência bem em cima no quadro negro, deixando espaço acima para o que vem a seguir 1 1 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 Denominar de Sequência de Fibonacci V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 7

Numerar os elementos 1 2 3 4 5 6 7. . . (Deixar espaço para as razões) 1 1 2 3 5 8 13. . . Colocar n e Fn : n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16. . . Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987. . . Perguntar se todos entendem essa notação. Pedir para indicarem o valor de f 7, f 13 etc. Mostrar como se expressa a sequência, inicialmente sem os valores iniciais: F 1 = 1 F 2 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 8

Sem os valores iniciais, perguntar se dá para gerar a sequência. Colocar os valores iniciais. Mostrar por exemplo F 16 = F 15 + F 14 Perguntar outros. Essa é uma fórmula de recorrência e permite calcular subsequentemente todos os elementos da sequência. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 9

Essa é a Sequência de Fibonacci. Contar a história do Fibonacci, Leonardo Pisano Bigollo, (1170 -? 1250), filho de Guiglielmo Bonacci, “Filius Bonacci”, daí seu conhecido nome. Outro nome: Leonardo Pisano (de Pisa). V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 10

Fibonacci, de autor desconhecido V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 11

Arte medieval (ca. 1150) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 12

Guiglielmo era um rico mercador italiano; dirigia um posto comercial em Bugia, um porto no Norte da África. Fibonacci viajou muito, encontrando mercadores e aprendendo seus sistemas de fazer contas. Logo percebeu as vantagens do sistema de numeração hindu-arábico. Escreveu então seu livro Liber Abaci (“O Livro dos Cálculos”) de 1202, quando introduziu os números hindo-arábicos e a notação decimal na Europa, cuja principal propriedade é ser posicional, isto é, 243 = 2 x 100 + 4 x 10 + 3 x 1 Motrar como isso simplifica, por exemplo, uma soma. Basta somar cada algarismo na posição correspondente e eventualmente “ir 1”. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 13

Mostrar a compliqueira que seria somar ou subtrair dois números em algarismos romanos, p. ex. (perguntar se alguém tem 23 anos) 2019 MMXV - 21 - XXI 1998 MCMXCIX V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 14

O que se fazia era usar ábacos para calcular e anotar dados e resultados em algarismos romanos. Ábaco romano (3. 485. 363) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 15

No Liber Abacci, Fibonacci, mostrou também os números decimais e como se poderia usar esse sistema em contabilidade, conversão de pesos e medidas, cálculo de juros, câmbio de moedas e outras aplicações. No livro, introduz sua sequência na margem direita: V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 16

Trecho do original do Liber Abaci V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 17

Essa sequência já era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI. Fibonacci escreveu a sequência até o 13º elemento, 377. No livro, na página vista, ele descreveu e resolveu o problema da multiplicação dos coelhos, com as seguintes regras fictícias: 1. No início, nasce um casal de coelhos. 2. Os coelhos nascidos levam 1 mês para atingir a maturação sexual e se acasalarem. 3. O tempo de gestação é de 1 mês. 4. Cada casal maduro produz um casal de novos coelhos a cada mês. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 18

1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 19

Expressão matemática dos coelhos Mês N Total 0 s 1 s 1 0 1 2 1 1 1 3 10 2 1 1 4 101 3 1 2 5 10110 5 2 3 6 10110101 8 3 5 7 10110110 13 5 8 8 1011010110101 21 8 13 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 20

Fibonacci tornou-se um visitante do imperador Frederico II, que gostava de matemática e ciência. Em 1240 a República de Pisa deu a ele um salário, referindo-se a ele como Leonardo Bigollo. Mostrar a estátua dele no Campo Santo, em Pisa (feita em 1863, nada a ver com ele. . . ). O asteroide 6. 765 recebeu o nome de Fibonacci. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 21

Estátua no Camposanto, em Pisa (1863) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 22

Camposanto, Pisa V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 23

Piazza del Duomo ou Campo dei Miracoli V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 24

Que triângulo é esse? 0: 1 1 2: 1 2 1 3: 1 3 3 1 4: 1 4 6 4 1 5: 1 5 10 10 5 1 6: 1 6 15 20 15 6 1 Triângulo de Pascal! Para que serve? (a+b)4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 25

A sequência de Fibonacci aparece em muitas áreas da matemática, como no triângulo de Pascal: 1, a+b, (a+b)2=a 2+2 ab+b 2, (a+b)3=a 3+3 a 2 b+3 ab 2+b 3 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 26

Outra propriedade Sejam 4 elementos consecutivos de uma sequência de Fibonacci: 2 x Fn , Fn+1 , Fn+2 , Fn+3 x Então (Fn x Fn+3)2 + (2 x Fn+1 x Fn+2)2 = m 2 onde m é um inteiro (natural) Ex. : 3, 5, 8, 13 (3 x 13)2 + (2 x 5 x 8)2 = 392 + 802 = 1521 + 6400 = = 7921 = 892 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 27

Prova: a, b, a+2 b [a(a+2 b)]2 + [2 b(a+b)]2 = (a 2 + 2 ab + 2 b 2)2 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 28

Mais uma propriedade (invariante) Fn , Fn+1 , Fn+2 , Fn+3 Fn x Fn+3 – Fn+1 x Fn+2 = (– 1)n+1 Ex: 8, 13, 21, 34 8 x 34 – 13 x 21 = 272 – 273 = – 1 34, 55, 89, 144 34 x 144 – 55 x 89 = 4896 – 4895 = 1 233, 377, 610, 987 233 x 987 – 377 x 610 = 229971 – 229970 = 1 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 29

Outra propriedade F 2 n = (Fn+1)2 – (Fn-1)2 Ex. : n = 5: F 10 = 55, F 6 = 8, F 4 = 3 55 = 82 – 32 = 64 – 9 n = 8, F 16 = 987, F 9 = 34, F 7 = 13 987 = 342 – 132 = 1156 – 169 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 30

Outra propriedade Agora vamos ver a aplicação mais interessante da sequência de Fibonacci. O que acontece se dividirmos cada elemento da sequência de Fibonacci pelo elemento anterior? V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 31

Pedir para os alunos calcularem as razões de cada 2 consecutivos: 2 1, 666 1, 625 1, 619 1, 61818 1, 618035 1, 618025 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1 1, 5 1, 615 1, 6176 1, 61797 1, 61805 1, 618032 Desenhar as duas curvas, a de baixo e a de cima em um gráfico cartesiano, com uma reta no meio, mostrando que elas convergem. Perguntar: (1) Será que as curvas convergem para um só valor, e daí para diante esse valor se repete? Nesse caso, há uma segunda questão: (2) qual é esse valor, que chamaremos de φ? Nesse caso, isso se chamaria de “convergência para φ”. Escrever no quadro negro Convergência. Já sabemos que φ ≈ 1, 6180. . . Marcar φ na reta do gráfico para onde as curvas convergem. Mostrar que as 2 curvas podem ser representadas numa só. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 32

1, 6180. . . Convergência das curvas (exponenciais!) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 33

Desenhando os valores numa só curva, há uma oscilação em torno do valor de convergência. Esta é uma curva de Oscilação Amortecida (falar do amortecedor do carro e se houvesse só mola): 1, 6180. . . V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 34

Pedir 2 números quaisquer, não muito grandes. Podem ser negativos, com um diferente de zero. Colocar os números dados como F 1 e F 2. Construir a sequência usando a regra de Fibonacci (cada elemento é a soma dos dois anteriores). Não é preciso colocar o número de ordem n. Pedir para calcularem as razões de cada dois consecutivos, e ir colocando em cima e abaixo da sequência. Cuidado para a razão de cima decrescer e a de baixo crescer. Trocar os primeiros (acima e abaixo) se necessário. Mostrar que as sequências convergem aparentemente para o mesmo número φ (escrever FI no quadro negro). V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 35

Vamos supor que, para n bem grande, haja convergência para um mesmo número. Vamos usar apenas a Regra de Fibonacci e supor que os números sejam a, b, a+b Nesse caso, b a+b b a b ––– = –––– = φ ou φ = ––– + ––– a b b b 1 1 ou φ = ––– + 1 ou φ = 1 + ––– a b φ –– a V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 36

Portanto, essa convergência aparentemente depende exclusivamente da regra Fn = Fn-1 + Fn-2 (“Regra de Fibonacci”) e não dos números iniciais F 1 e F 2 , desde que um deles seja diferente de 0. O que acontece se os dois forem 0? V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 37

Usando limites (pular nas aulas). Vamos supor que, para n bem grande, haja convergência: Fn Fn-1 –––– ≈ ––––– Fn-1 Fn-2 Isso se escreve, usando a abreviatura de “limite” (escrever no quadro negro): lim n→∞ Fn Fn-1 ––– = lim ––– = φ Fn-1 n→∞ Fn-2 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 38

Exemplo de limite: 1+n 1+∞ ∞ lim –––– = 1 n→∞ n ∞ ∞ Mostrar como gráfico, convergindo para o 1, mas nunca chegando nele, isto é, o limite de uma função pode não ser um dos valores dela. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 39

Mas pela regra de Fibonacci, Fn Fn-1 + Fn-2 1 ––– = ––––– = 1 + –––– = 1+ ––––––– Fn-1 –––– Fn-2 Então Fn 1 1 1 Φ = lim ––– = lim (1 + –––– ) = 1+ –––– = 1 + ––– n→∞ Fn-1 φ –––– lim –––– Fn-2 n→∞ Fn-2 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 40

Resta provar a convergência (as diferenças das razões vão diminuindo) Seja uma sequência Fn , Fn+1 , Fn+2 , Fn+3 de números quaisquer, seguindo a regra de Fibonacci, Fn+2 = Fn + Fn+1 Fn Fn + Fn-1 + Fn-2 –––– – –––– = –––– – ––––– = Fn Fn-1 Fn-2 = 1 + –––– – 1 – ––––– = ––––– – ––––– (#) Fn Fn-1 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 41

Fazendo Fn+1 Fn φn = –––– e portanto φn-1 = –––– , de (#): Fn Fn-1 1 1 φn-2 – φn-1 | φn – φn-1 | = | –––– – –––– | = | ––––– | φn-1 φn-2 Supondo φn-1 , φn-2 > 1 (a sequência sempre cresce em valor absoluto) então | φn – φn-1 | < | φn-2 – φn-1 | Isto é, a diferença entre razões consecutivas diminui e portanto há convergência. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 42

De 1 φ = 1 + ––– φ Tem-se φ2 = φ + 1 ou φ2 – φ – 1 = 0 _____ __ 1 ±√ 1 + 4 1 ±√ 5 φ = ––––––– 2 2 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 43

Queremos a raiz positiva, pois se fn-1 e fn forem negativos (para n grande sempre ou ambos são positivos, ou ambos são negativos), a razão também será positiva. __ 1 +√ 5 φ = –––––– 2 √ 5 = 2, 2360667977896964091736687313. . . é um número irracional (não pode ser expresso como a fração de dois inteiros, m/n), nunca acaba ou se repete. Portanto φ = 1, 618033988948482045868343606. . . é irracional e jamais será atingido na convergência das duas curvas. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 44

O φ não vem de Fibonacci. Parece ter sido usado pela primeira vez por Mark Barr, matemático americano, que usou o φ em 1909 em homenagem ao escultor grego Fídias (490430 a. C. ), o mais famoso da antiga Grécia, que supervisionou a construção do Partenon em Atenas e foi o autor de estátuas famosas. Mais tarde vamos ver por que Barr usou o φ como homenagem ao Fídias. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 45

Partenon (432 a. C. ) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais Atena Partenos (447 a. C), Restaurada no séc. II 10/11/19 46

Quem provou que Fn ––––– Fn-1 quando o n vai crescendo aproxima-se de φ foi o matemático escocês Robert Simon em 1753. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 47

Quem primeiro mencionou a razão áurea foi Euclides (325 -265 a. C. ), em seu Elementos (ca. 300 a. C. ): “Uma linha reta é dita ter sido seccionada na razão extrema e média quando a linha toda está para o segmento maior assim como o maior para o menor. ” O primeiro a usar a expressão “seção áurea” (goldener Schnitt) parece ter sido Martin Ohm em 1835, e aparece na Enciclopaedia Britannica na 9ª edição de 1875. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 48

Relações interessantes De 1 φ = 1 + ––– φ Tem-se φ2 = φ + 1 = 2, 6180. . . e 1 ––– = φ – 1 = 0, 6180. . . φ V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 49

Notar que 1 1 1 φ = 1 + –––––––––– =. . . = 1 + ––––––– φ 1 1 1 + –––––––––– φ 1 1 + –––––– 1 +. . . Essa fração é chamada de Fração Contínua. Supondo, por absurdo, que φ seja um número racional m/n, com m e n inteiros, obtém-se sucessivamente V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 50

m φ = –––– n 1 n m+n φ = 1 + –––– = –––––– φ m m n m + 2 n φ = 1 + ––––––– = ––––––– m+n 2 m + 3 n φ = –––– m + 2 n 3 m + 5 n φ = ––––– 2 m + 3 n (Notar as sequências de Fibonacci. ) Isso nunca acaba, portanto φ é irracional. Portanto √ 5 é irracional! V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 51

Como fórmula de recorrência: 1 φn+1 = 1 + –––– φn Se começarmos com φ1 = 1, temos a sequência, calculando com 16 algarismos significativos, 2; 1, 5; 1, 666. . . ; 1, 5999. . . ; 1, 625; 1, 619; 1, 6176; 1, 61818; 1, 61797. . . Isso mostra uma outra forma de calcular o φ V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 52

30. Ainda outra forma de calcular. De φ2 = φ + 1 _______ tem-se _____ / _____ / / _____ φ = √ 1 + φ = √ 1+. . . Usando como fórmula de recorrência _____ φn+1 = √ 1 + φn começando com φ1 = 1 tem-se a sequência 1; 1, 4142; 1, 5537; 1, 5980; 1, 6118; 1, 6161; 1, 6174; 1, 6178; 1, 6179; 1, 61802; 1, 618033; . . . V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 53

A sequência de Fibonacci para φ 1, φ, 1+2φ, 2+3φ, 3+5φ, 5+8φ, 8+13φ, 13+21φ, 21+34φ, . . . Cada parcela é uma sequência de Fibonacci, uma defasada em relação à outra. Isso vale para qualquer sequência em que cada termo é – a soma dos dois anteriores: a, b, a+2 b, 2 a+3 b, 3 a+5 b, 5 a+8 b, 8 a+13 b, 13 a+21 b, 21 a+34 b, . . . Isto é, a sequência de Fibonacci acaba imperando independentemente dos números iniciais! V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 54

φ é chamado de Razão Áurea. Um segmento de reta <–––– a+b–––> |-------------| a b é dividido na “razão áurea” sse b a+b ––– = ––––– a b o que dá o φ Notar que se a, b, a+b são 3 elementos de uma sequência de Fibonacci, estarão apenas aproximadamente na razão áurea. Mas Fibonacci não introduziu a razão áurea. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 55

Quem primeiro mencionou a razão áurea foi Euclides (325 -265 a. C. ), em seu Elementos (ca. 300 a. C. ): “Uma linha reta é dita ter sido seccionada na razão extrema e média quando a linha toda está para o segmento maior assim como o maior para o menor. ” Ela é chamada de Razão Áurea pois ocorre aproximadamente no corpo humano em várias proporções de partes deste. Os pintores usaram essas proporções. Um ser humano é considerado proporcional, bonito, se preserva as proporções da razão áurea. Mostrar a foto do rosto da garota com as proporções áureas. Mostrar o filme com as proporções. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 56

Retângulos áureos no rosto V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 57

Razões áureas no rosto https: //www. youtube. com/watch? v=k. KWV-u. U_So. I (Acionar vídeo) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 58

Aparelhos que geram a proporção áurea. Mostrar a foto de um deles verificando as proporções do rosto de uma mulher, e foto do aparelho de dentista (aplicação prática!). V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 59

Aparelho usado por pintores V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 60

a a' • b b' α a' • a' α α • • a Dois triângulos com dois lados proporcionais (a/a‘) e um ângulo igual (α) são semelhantes (lados proporcionais. Portanto a/a' = φ b/b'= φ V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 61

Aparelho de dentista para deduzir o tamanho de coroas na arcada toda V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 62

Aparelho de dentista V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 63

Vamos verificar se um de vocês é bonito. Para isso vamos usar o aparelho que eu construí. Mostrar meu aparelho (triângulos) de verificar a razão áurea. Explicar por que funcionam. Se os triângulos tiverem lados a, b, c e a', b', c' construí-os de tal modo que a/a' = b/b' = 1, 6; como os dois triângulos têm um mesmo ângulo (oposto pelo vértice do parafuso), então c/c' = 1, 6 Medir com o alguma proporção no rosto, por exemplo base do queixo até o nariz e até o lábio superior; com a trena, tamanho de um garoto e do pé ao umbigo, da perna toda e do pé até o joelho; braço e antebraço. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 64

O primeiro a usar a expressão “secção áurea” (goldener Schnitt) parece ter sido Martin Ohm em 1835, e aparece na Enciclopaedia Britannica na 9ª edição de 1875. Há objeções às proporções áureas no corpo humano, mas o fato é que não dá 1, 2 ou 1, 9, e sim sempre próximo de 1, 6. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 65

Partindo-se de um segmento dividido na razão áurea a+b b a = a+b b a b Adicionando-se o segmento todo, temos mais uma razão áurea: a+b a b V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais a+2 b 10/11/19 66

Prova: se b a = a+b b = φ então a+2 b a+b = a+b b + a+b V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais = 1+ a b = a+b b = φ 10/11/19 67

Retângulo áureo, com lados proporcionais a 1 e Φ, a 8 e 5, ou a 13 e 8. Proporções bonitas pois lembram as do corpo humano? 1; 5; 8 Φ (1, 618. . . ); 8; 13 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 68

5, 35 cm 8, 6/5, 35 = 1, 607 Cartão magnético V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 69

Lembrar a sequência áurea 1 φ 1+2φ 2+3φ 3+5φ. . . Notar a construção de retângulos áureos a partir de um retângulo áureo adicionando-se quadrados: 2+3φ φ 1+φ 1 2+3φ 1+2φ 3+5φ V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 70

Por que os retângulos, adicionando-se quadrados, são sempre áureos? Os lados são φ φ 1+φ 1+2φ 2+3φ 3+5φ φ 1+φ 1 = +1 =φ φ φ 1+2φ 1+φ φ 1 = + =1+ = φ etc. 1+φ 1+φ φ V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 71

Ou, lembrando que φ2 = 1+φ Temos (1+φ)φ = φ+φ2 = φ+1+φ = 1+2φ (1+2φ)φ = φ+2φ2 = φ+2(1+φ) = 2+3φ (2+3φ)φ = 2φ+3φ2 = 2φ+3(1+φ) = 3+5φ (3+5φ)φ = 3φ+5φ2 = 3φ+5(1+φ) = 5+8φ V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 72

Partenon, Atenas, com retângulos áureos, daí o φ de Fídias V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 73

Pode-se começar a espiral com um retân-gulo áureo; adicionando-se quadrados sempre se conserva a razão áurea entre os lados retângulos obtidos. Mostrar a espiral como fizemos com a primeira, de Fibonacci. A diferença para a espiral áurea será o uso de arcos de círculos em lugar de arcos de uma espiral áurea, mas a diferença é pequena nos primeiros quadrados. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 74

35. Verde: espiral com arcos de círlculos; vermelha: espiral áurea; amarelo: coincidentes. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 75

Se se quiser fazer uma caixa com proporções bonitas, usar as proporções áureas: um lado proporcional a 13, outro a 8 e o terceiro a 5; ou um lado com o retângulo áureo, com lados proporcionais a 13 e 8, e a outra face um quadrado. Algumas figuras geométricas já contêm a razão áurea. A proporção entre uma diagonal de um pentágono regular e um lado é φ. No pentagrama, o φ também aparece em várias proporções. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 76

vermelho verde azul ––––––––– = –––– = φ amarelo verde azul magenta V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 77

Como desenhar um segmento de reta dividido na proporção áurea: a 2 = 12 + ½ 2 = 1 + ¼= 5/4 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais ____ __ a = √ 5/4 a = ½√ 5 10/11/19 78

Como dividir um segmento dado na razão áurea: ½ ½ 1 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 79

Dividir um segmento na razão áurea (cont. ) a b ½ 1/φ 1 ____ __ a 2 = 12 + ½ 2 = 1 + ¼= 5/4 a = √ 5/4 a = ½√ 5 b = a – ½ = ½√ 5 – ½ = (√ 5 – 1)/2 = (1+√ 5 )/2 – 1 = φ – 1 b = 1/φ V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 80

Pedir aos alunos para desenharem uma espiral logarítmica (mostrar que deveria ser chamada de espiral exponencial), com passo de razão 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32) de 180º em 180º. Notar que a espiral de Fibonacci é desenhada colocando-se cada elemento da sequência a cada 90º. Chamar a atenção para que, quanto mais bonito o desenho, mais próximo se estará da espiral perfeita. Mostrar que a razão é a mesma para qualquer raio do foco, em qualquer ângulo. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 81

Espiral logarítmica de razão 2 a cada 180° V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 82

As espirais logarítmicas têm propriedades extraordinárias. Por exemplo, a tangente em qualquer ponto faz sempre o mesmo ângulo com o raio desse ponto até o foco da espiral. Isso também ocorre nas circunferências, mas com o ângulo de 90º; a circunferência é uma espiral particular. Qual é a razão do passo nesse caso? É 1. Se fizermos uma espiral logarítmica mover-se nos pontos correspondentes a uma outra espiral igual (isto é, sem escorregar) o foco traça novamente a mesma espiral. Mas o mais interessante é que elas conservam sempre as mesmas proporções, por exemplo num setor da espiral. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 83

Espiral logarítmica: crescimento proporcional V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 84

Crescimento proporcional (em P. G. ) – fator 1, 2 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 85

Propriedade equiangular V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 86

Propriedade de osculação V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 87

Quem estudou as espirais logarítmicas foi Jakob Bernoulli (1665 -1705). Foi um grande matemático, catedrático na universidade de Basel. Com seu irmão Johann introduziu o Cálculo das Variações. Introduziu a Lei dos Grandes Números, que levou ao cálculo de probabilidades. Descobriu o número e (número de Euler, e ≈ 2. 71828) estudando os juros compostos. Brigou com o irmão em uma disputa de quem seria o melhor matemático. Johann ficou muito bravo pelo fato de Jakob ter ganho a cátedra de matemática da Universidade de Basel, e ele teve que ir para a de Groningen, Holanda. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 88

Bernoulli chamou a espiral logarítmica de Spira Mirabilis. Ele escreveu o seguinte: “[A espiral logarítmica] pode ser usada como um símbolo para o corpo humano, na força de espírito e constância na adversidade, o qual depois de todas suas mudanças, mesmo depois da morte, é restaurado para seu ‘si próprio’ (self), exato e perfeito. ” Ele quis que se colocasse em seu túmulo uma espiral logarítmica e se escrevesse a frase “Eadem mutata resurgo” (“Apesar de mudada, ressurjo”). Isso foi feito, mas foi em volta de uma espiral de Arquimedes (passo constante). V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 89

“EADEM MUTATA RESSURGO” “Apesar de mudada, ressurjo” Lápide do túmulo de Jacob Bernoulli († 1705), na catedral de Basel, Suíça V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 90

Uma espiral logarítmica com passo de razão φ é uma Espiral Áurea. As distâncias do foco serão, calculando os resultados com 10 algarismos e arredondando para 2 algarismos: 1, 1, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 9, 11, 18, 29, 47, 76 Notar que acaba dando a regra de cada um ser a soma dos dois anteriores, como não poderia deixar de ser! Se for para trás, dá 1, 0, 6, 0, 4, 0, 2 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 91

Um triângulo áureo: φ 1 A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 92

Uma sequência de triângulos áureos: 5+8 φ 3+5φ 1 2φ 1+ 1+φ φ φ 2+3 A partir dessa sequência pode-se construir uma espiral áurea, ligando-se um vértice de cada base V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 93

Espiral quase áurea com triângulos áureos (as setas mostram os raios das circunferências) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 94

Ocorrência de espirais logarítmicas e números de Fibonacci na natureza: Caramujos, Girassol, Margarida, outras plantas, furacão, galáxia. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 95

Caramujos do Rio Tapajós (Notar as mesmas proporções) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 96

Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 97

Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 98

Nautilus pompilius Notar a mesma forma das câmaras (dimensões proporcionais) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 99

Margarida V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 100

← 34 21 → (Margarida, minha foto) V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 101

← 55 34 → V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais (Girassol) 10/11/19 102

V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais ← 8 13 → 10/11/19 103

Brócoli Romanesco V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 104

Brócoli Romanesco V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 105

← 34 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 55 → Pinha de Araucária 10/11/19 106

13 V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8 10/11/19 107

Furacão V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 108

Galáxia V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 109

Exercício. Prestar atenção nas plantas e descobrir as espirais e números de Fibonacci na natureza. Dessa maneira desenvolve-se uma admiração, um respeito, uma veneração pela natureza, a única maneira de preservá-la e cultivá-la. Qual a maior maravilha física na natureza? O corpo humano! V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 110

V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 111

ATENÇÃO: Nem tudo na natureza segue • • a sequência de Fibonacci; a espiral de Fibonacci; a razão áurea; uma espiral logarítmica. Mas podemos reconhecer em muitos casos regularidades, tanto matemáticas quando não matemáticas. Exs: Costela de Adão V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais Adelpha capucinus velia 10/11/19 112

Na Praia do Pulso, Ubatuba V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 113

Dália V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 114

Se gostarem de matemática, venham estudar no IME! V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 115

PARA OS PROFESSORES Por que essa aula foi tão interessante, quem sabe entusiasmando os alunos? Ingredientes básicos para uma aula interessante: 1. Ter algo estético (desenhar as espirais), que mexa com os sentimentos. Para isso, na matemática é necessário usar a geometria. A álgebra não tem estética, é morta. Exemplo de como ensinar a equação de 2º grau: 1. Começar com os alunos desenhando uma parábola como lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto e de uma reta (usar uma régua, um esquadro se movendo sobre a régua e um compasso). 2. Recordar as retas de equações lineares, desenhando algumas. 3. Pedir para desenharem a curva de y=x 2. Depois a de y=–x 2, y=x 2– 4. y=x 2+4. 5. Falar das raízes (y=0), generalizar para y=x 2– 6 x+8 (desenhar, achá-las graficamente). 5. Será que há alguma forma algébrica de se achar as raízes com exatidão? Deduzir a fórmula de Baskhara, falando de completar os quadrados em ax 2+bx+c=0: deve-se procurar uma forma (x + d)2 = e; para isso é preciso chegar a x 2+2 dx+d 2=e. Falar sobre o Baskhara I e o II. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 116

2. A aula deve ter atividade dos alunos (no caso, desenhar, calcular as razões). Muito importante: dar uma aula sempre com ritmo de inspiração (alunos absorvem algo) e expiração (alunos fazem algo, põem para fora). Perguntar aos alunos com frequência. 3. A aula deve conter algo da história da matéria, inclusive biografias. Estas últimas contêm sempre algo de realidade, algo que ocorreu. A história da matemática segue o desenvolvimento do pensamento matemático da humanidade. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 117

A aula deve relacionar o que é visto com a realidade, eventualmente com a natureza. Exemplo: dar áreas de figuras geométricas calculando quantas telhas é preciso comprar para construir um telhado com aquelas telhas. Contra-exemplos: movimento uniformemente acelerado de uma partícula elementar (ninguém nunca viu uma); dado um salto na Terra, calcular um salto na Lua, com gravidade menor (nunca ninguém saltou lá). 5. Não dar aulas exclusivamente corretas. Avisar que se vai cometer alguns erros e pedir para ver quem os descobre. 6. Dar aulas abordando vários tópicos da matemática, e não um só. 7. Dar aulas com entusiasmo, admiração pela matéria. Isso se transmite aos alunos. 8. Contar vivências próprias (caso da lápide do Bernoulli) 9. Usar projetor só para ilustrações. Desenvolvimento matemático no quadro negro 10. Aprender o nome dos alunos. Dá contato pessoal. 4. V. W. Setzer – Roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 10/11/19 118