A MECHANIKA TRGYA MEREV vagy SZILRD testek FOLYADK

  • Slides: 57
Download presentation

A MECHANIKA TÁRGYA MEREV vagy SZILÁRD testek, FOLYADÉK vagy GÁZ állapotú anyagok ill. ezek

A MECHANIKA TÁRGYA MEREV vagy SZILÁRD testek, FOLYADÉK vagy GÁZ állapotú anyagok ill. ezek részecskéi MOZGÁSÁLLAPOTÁNAK ill. ALAK- MÉRETVÁLTOZÁSÁNAK vizsgálata, elemzése, összefüggéseinek feltárása

A MECHANIKA ANYAGAI A MECHANIKA körében tárgyalt anyagok, és azok tárgyalásmódja MEREV SZILÁRD rugalmas

A MECHANIKA ANYAGAI A MECHANIKA körében tárgyalt anyagok, és azok tárgyalásmódja MEREV SZILÁRD rugalmas MEREV TESTEK STATIKÁJA FOLYÉKONY GÁZNEMŰ képlékeny SZILÁRDSÁGTAN, KÉPLÉKENYSÉGTAN RUGALMASSÁGTAN GÁZOK HIDRO MECHANIKA MECHANIKÁJA AERO HIDRO DINAMIKA

MEREV ANYAG – SZILÁRD ANYAG Az építőmérnöki gyakorlatban alkalmazott (tartó)szerkezetek legnagyobbrészt olyan (szilárd) anyagokból

MEREV ANYAG – SZILÁRD ANYAG Az építőmérnöki gyakorlatban alkalmazott (tartó)szerkezetek legnagyobbrészt olyan (szilárd) anyagokból készülnek, amelyek ALAKVÁLTOZÁSA a szerkezet méretéhez képest több nagyságrenddel KISEBB. Az ilyen szerkezetek viselkedése jól közelíthető a MEREV ANYAG modelljével, amikoris a (valóságban MINDIG keletkező!) ALAKVÁLTOZÁSOKAT teljesen figyelmen kívül hagyjuk.

IDEÁLISAN MEREV ANYAG A merev anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő vagy fajlagos

IDEÁLISAN MEREV ANYAG A merev anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő vagy fajlagos erő szakító szilárdság - törőszilárdság A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra CSAK (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

IDEÁLISAN RUGALMAS ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő

IDEÁLISAN RUGALMAS ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő vagy fajlagos erő szakító szilárdság törőszilárdság szakadónyúlástörési összenyomódás A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra egymással szigorúan arányban lévő (fajlagos) ERŐVEL ÉS (fajlagos) ELMOZDULÁSSAL reagál! Az ellenálló erő – a kialakuló alakváltozás elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

A MEREV-KÉPLÉKENY ANYAG A merev-képlékeny anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) A szerkezet, az anyag az

A MEREV-KÉPLÉKENY ANYAG A merev-képlékeny anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra a következő: erő vagy fajlagos erő folyási feszültség szakadónyúlástörési összenyomódás először (az anyagra jellemző folyási feszültség eléréséig) CSAK (fajlagos) ERŐVEL REAGÁL, alakváltozás, elmozdulás nélkül, majd e határ elérése után, az erő további növekedése NÉLKÜL egyenletesen növekvő, állandó SEBESSÉGŰ ELMOZDULÁS következik be. A tönkremenetel ilyen esetekben az anyag alakváltozási képességének kimerülésével következik be. elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

A RUGALMAS-KÉPLÉKENY ANYAG A rugalmas-képlékeny anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő vagy fajlagos

A RUGALMAS-KÉPLÉKENY ANYAG A rugalmas-képlékeny anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő vagy fajlagos erő folyási feszültség szakadónyúlástörési összenyomódás A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra CSAK (fajlagos) ELMOZDULÁSSAL reagál, (fajlagos) ERŐ egyáltalán nem ébred! Az ELMOZDULÁS elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

MEREV - KÉPLÉKENY ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő:

MEREV - KÉPLÉKENY ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő vagy fajlagos erő A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

RUGALMAS - KÉPLÉKENY ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő:

RUGALMAS - KÉPLÉKENY ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő vagy fajlagos erő A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

NEMLINEÁRISAN RUGALMAS ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő

NEMLINEÁRISAN RUGALMAS ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő vagy fajlagos erő A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

MECHANIKA STATIKA MEREV TESTEK STATIKÁJA SZILÁRD TESTEK STATIKÁJA

MECHANIKA STATIKA MEREV TESTEK STATIKÁJA SZILÁRD TESTEK STATIKÁJA

ALAPFOGALMAK STATIKA: a NYUGALOM tudománya MEREV TEST: a test MÉRETE, ALAKJA bármiféle hatás esetén

ALAPFOGALMAK STATIKA: a NYUGALOM tudománya MEREV TEST: a test MÉRETE, ALAKJA bármiféle hatás esetén VÁLTOZATLAN MARAD (idealizált állapot) SZILÁRD TEST: a test MÉRETE és/vagy ALAKJA az őt érő hatások nyomán a test méretéhez viszonyítva KISMÉRTÉKBEN VÁLTOZIK (valós állapot) ERŐ: a testek egymásra hatásának MÉRTÉKE

ERŐK Az anyagi testek egymásra hatásának Amértékéül testek az ERŐ fogalmát választottuk. egymásrahatása (tehát

ERŐK Az anyagi testek egymásra hatásának Amértékéül testek az ERŐ fogalmát választottuk. egymásrahatása (tehát az ERŐ) okozhat MOZGÁSÁLLAPOTVÁLTOZÁST

ERŐK Az anyagi testek egymásra A testek egymásrahatása hatásának mértékéül az ERŐ (tehát az

ERŐK Az anyagi testek egymásra A testek egymásrahatása hatásának mértékéül az ERŐ (tehát az ERŐ) okozhat ALAKfogalmát választottuk. VÁLTOZÁST (itt történetesen a MOZGÁSÁLLAPOT IS megváltozik, méghozzá elég drasztikusan)

ERŐK Az anyagi testek egymásra Végülhatásának a testek mértékéül az ERŐ egymásrahatása (tehát az

ERŐK Az anyagi testek egymásra Végülhatásának a testek mértékéül az ERŐ egymásrahatása (tehát az ERŐ) fogalmát választottuk. okozhat MÉRETVÁLTOZÁST. A folyadékba merülő (merülésre KÉNYSZERÍTETT) gömb alakú labda ALAKJA NEM változik, de MÉRETE IGEN.

AZ ERŐ: a testek egymásra hatásának MÉRTÉKE JELLEMZŐI: nagyság szabad kötött hatásvonal irány vektor

AZ ERŐ: a testek egymásra hatásának MÉRTÉKE JELLEMZŐI: nagyság szabad kötött hatásvonal irány vektor irányítás támadáspont

AZ ERŐ MEGADÁSA Az erő VEKTORát a síkban 2, a térben 3 összetevő (ill.

AZ ERŐ MEGADÁSA Az erő VEKTORát a síkban 2, a térben 3 összetevő (ill. vetület) határozza meg. Az erő TÁMADÁSPONTJÁT a síkban 2, a térben 3 koordináta határozza meg. Az ERŐ (nagyságát és helyét is egyértelműen rögzítő) meghatározásához tehát a síkban 4, a térben 6 adatra van szükségünk.

AZ ERŐ MEGADÁSA AZ ERŐ ADATAI • hatásvonal • irányítás • nagyság • VEKTOR

AZ ERŐ MEGADÁSA AZ ERŐ ADATAI • hatásvonal • irányítás • nagyság • VEKTOR • támadáspont • HELYHEZ KÖTÖTT VEKTOR Fz Fz z Fy x y Fy F Fx Fx • összetevő (komponens) • vetület

AZ ERŐ ADATAI-JELLEMZŐI HATÁSVONAL: az az egyenes, amelyben a vizsgált (erő)hatás jelentkezik, vagy összegezhető

AZ ERŐ ADATAI-JELLEMZŐI HATÁSVONAL: az az egyenes, amelyben a vizsgált (erő)hatás jelentkezik, vagy összegezhető IRÁNYÍTÁS: a hatásvonalon melyik irányban működik a(z erő) hatás NAGYSÁG: az (erő)hatás nagysága VEKTOR: az irány- és nagyság-információt együttesen tartalmazó, a teljes (erő) hatás megjelenítésére használt matematikai fogalom TÁMADÁSPONT: a hatásvonalnak az a pontja, ahol az erőhatás a vizsgált testet éri (merev testek esetében nincs jelentősége) ÖSSZETEVŐ (komponens): a teljes (erő)hatásnak a választott koordinátatengelyek irányába eső része (maga is vektor!) VETÜLET: a teljes (erő)hatásnak a választott koordináta-tengelyek irányába eső nagysága (ő maga skalármennyiség, de értéke megegyezik a megfelelő irányú komponens abszolút értékével: Fx = | Fx | vagy: Fx = Fx × i )

A FORGATÓNYOMATÉK Az ERŐk csoportja összegzett hatásában nemcsak eltoló, hanem elforgató is lehet. Ennek

A FORGATÓNYOMATÉK Az ERŐk csoportja összegzett hatásában nemcsak eltoló, hanem elforgató is lehet. Ennek elemzéséhez új fogalmat kell bevezetnünk: ez a FORGATÓNYOMATÉK. A síkbeli (forgató)nyomaték definíciószerűen az ERŐ és az ERŐKAR SZORZATA, ahol az erőkar az erő hatásvonalának és a (forgásközép)pontnak a távolsága. A forgatónyomaték jele M, a pozitív forgásirány az óra járásával megegyező.

A FORGATÓNYOMATÉK A (forgató)nyomaték a SÍKBAN skalár mennyiségként jelenik meg, hiszen a forgás SÍKJA,

A FORGATÓNYOMATÉK A (forgató)nyomaték a SÍKBAN skalár mennyiségként jelenik meg, hiszen a forgás SÍKJA, és ezáltal annak normálisaként a forgás TENGELYE is rögzített. A térben a forgástengely bármilyen állású lehet, ilyenkor a forgató hatást a koordináta-tengelyekre (vagy azokkal párhuzamos tengelyekre) lehet számítani. A térben is értelmezhető a nyomaték az ERŐ és az ERŐKAR szorzataként, csak a kar meghatározása körülményesebb. A támadáspont HELYVEKTORÁNAK és az ERŐ VEKTORÁNAK ismeretében azonban az erőnek az origóra vett NYOMATÉK VEKTORA az erővektor és a helyvektor VEKTORIÁLIS SZORZATA lesz.

AZ ERŐ NYOMATÉKA Mx=Fx× 0 -Fy×z+Fz×y My=Fx×z+Fy× 0 -Fz×x Mz=-Fx×y+Fy×x+Fz× 0 • A nyomatékot

AZ ERŐ NYOMATÉKA Mx=Fx× 0 -Fy×z+Fz×y My=Fx×z+Fy× 0 -Fz×x Mz=-Fx×y+Fy×x+Fz× 0 • A nyomatékot TENGELYRE számítjuk • A nyomatékot VEKTORként is értelmezhetjük: hatásvonala a TENGELY (a nyomaték síkjának NORMÁLISA), IRÁNYÍTÁSA (állása) olyan, hogy nyilával szembenézve a forgató hatás az óra járásával megegyező legyen • A nyomaték az ERŐ és az ERŐKAR SZORZATA (az erőkar a hatásvonal és a tengely NORMÁLTRANSZVERZÁLISA • A tengelyt METSZŐ erő nyomatéka a tengelyre ZÉRUS • A tengellyel PÁRHUZAMOS erő nyomatéka a tengelyre ZÉRUS • A nyomatékot az ORIGÓRA IS számíthatjuk: ez esetben a kar a a hatásvonal és az origó távolsága, de a nyomaték a támadáspont helyvektorának és az erő vektorának vektoriális szorzataként kapható

AZ ERŐ NYOMATÉKA Ha a fenti koordinátarendszerben az erő komponensei POZITÍV előjelűek, és a

AZ ERŐ NYOMATÉKA Ha a fenti koordinátarendszerben az erő komponensei POZITÍV előjelűek, és a felhasznált pont („támadáspont”) koordinátái is POZITÍV előjelűek, akkor a tengelyekre vett nyomaték a következőképpen számítható: + + - Mx = +Fx× 0 - Fy×z + Fz×y Mx = i j k My = +Fx×z + Fy× 0 - Fz×x My = x y z Mz = -Fx×y + Fy×x + Fz× 0 Mz = Fx Fy Fz A tengelyre vett nyomatékokat a tengelyek METSZÉSPONTJÁRA vett nyomaték ÖSSZETEVŐIKÉNT értelmezve az ERŐ ORIGÓRA SZÁMÍTHATÓ NYOMATÉKA A HATÁSVONALON KIVÁLASZTOTT PONT HELYVEKTORÁNAK ÉS AZ ERŐ VEKTORÁNAK VEKTORIÁLIS SZORZATAKÉNT KAPHATÓ. M=r×F (EGY erő esetén az origóra vett (a tengelyekre számított összetevők eredőjeként adódó) NYOMATÉK mindig BENNE VAN az ORIGÓ és az erő HATÁSVONALA által meghatározott síkban, azaz MERŐLEGES az erő vektorára. )

AXIÓMÁK 1. Két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös és

AXIÓMÁK 1. Két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös és vektoruk ellentett. 2. Három erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik metszéspontja közös és vektoraikból nyílfolytonos vektorháromszög szerkeszthető. 3. Egy erőrendszer hatása nem módosul, ha elveszünk vagy hozzáadunk egy önmagában egyensúlyban lévő erőcsoportot. 4. Két test egymásra hatásakor az átadódó erők egymás ellentettjei.

AZ EREDŐ A testek közötti hatás, erőátadás, több test között is lehetséges. Ilyenkor az

AZ EREDŐ A testek közötti hatás, erőátadás, több test között is lehetséges. Ilyenkor az ÖSSZEGZETT hatásra vagyunk kíváncsiak, azaz az erők EREDŐ hatását, EREDŐJÉT keressük. Az eredő mindig az alkotó erőrendszerrel MEGEGYEZŐ hatást fejt ki, azaz VETÜLETEIBEN és (tetszőleges pontra vett) NYOMATÉKÁBAN AZONOS.

AZ EGYENÉRTÉKŰSÉG Az ERŐK és FORGATÓNYOMATÉKOK csoportjainak egyenértékűségét, hatásaik azonosságát meghatározó egyenlőség. A két

AZ EGYENÉRTÉKŰSÉG Az ERŐK és FORGATÓNYOMATÉKOK csoportjainak egyenértékűségét, hatásaik azonosságát meghatározó egyenlőség. A két oldalon felsorolt jelű erők, forgatónyomatékok ERŐ és NYOMATÉKI vetületei AZONOSAK. Az egyenértékűségekben az ERŐK és a FORGATÓNYOMATÉKOK mindig MINDEN ADATUKAT hordozzák! (A, B, C, D) = (G, H, J, K)

HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS (F 1, F 2, F 3, . . . Fn) =

HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS (F 1, F 2, F 3, . . . Fn) = R helyettesítés egyetlen erővel (F 1, F 2, F 3, . . . Fn) = (A, B) helyettesítés egy ismert hatásvonalú és egy ismert ponton átmenő erővel (F 1, F 2, F 3, . . . Fn) = (A, MA) helyettesítés egy ismert ponton átmenő erővel és egy vele egyidejűleg működő nyomatékkal (F 1, F 2, F 3, . . . Fn) = (S 1, S 2, S 3) helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel

HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn), R’

HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn), R’ ] = 0 egyensúlyozás egyetlen erővel [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn) A’, B’ ] = 0 egyensúlyozás egy ismert hatásvonalú és egy ismert ponton átmenő erővel [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn) A’, MA’ ] = 0 egyensúlyozás egy ismert ponton átmenő erővel és egy vele egyidejűleg működő nyomatékkal [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn), S 1’, S 2’, S 3’]=0 egyensúlyozás három, ismert hatásvonalú erővel

HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS A helyettesítési és az egyensúlyozási feladatok tehát lényegében AZONOS technikákat kívánnak,

HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS A helyettesítési és az egyensúlyozási feladatok tehát lényegében AZONOS technikákat kívánnak, és az egyensúlyozó erők -nyomatékok mindig a helyettesítő dinámok ELLENTETTJEI.

AZ ÖSSZETEVŐK Az erők (és, mint majd később látni fogjuk) a nyomatékok VEKTORként írhatók

AZ ÖSSZETEVŐK Az erők (és, mint majd később látni fogjuk) a nyomatékok VEKTORként írhatók le a leghatékonyabban. A síkban (ill. a térben) általános elhelyezkedésű, általános állású vektorokkal általában a KOORDINÁTAGEOMETRIA eszköztárával dolgozunk. Ennek megfelelően az ERŐK ill. a NYOMATÉKOK vektorait a választott koordinátatengelyek irányába eső ÖSSZETEVŐKkel helyettesítjük. F=(Fx, Fy, Fz) ill. M=(Mx, My, Mz)

A VETÜLETEK Az ÖSSZETEVŐK maguk is VEKTOROK. Sokszor célszerű ezen összetevő (komponens) vektorok NAGYSÁGAIT

A VETÜLETEK Az ÖSSZETEVŐK maguk is VEKTOROK. Sokszor célszerű ezen összetevő (komponens) vektorok NAGYSÁGAIT KÜLÖN megnevezni: ezek az erővektorok ill. forgatónyomatéki vektorok (koordinátatengely-irányú) VETÜLETEI (ezek tehát SKALÁRmennyiségek). F=(Fx, Fy, Fz)=(Fx ×ix, Fy × iy, Fz × iz) ill. M=(Mx, My, Mz)=(Mx ×ix, My × iy, Mz × iz)

EGYENLETEK Az ERŐK és NYOMATÉKOK megfelelő irányú VETÜLETEI között fennálló összefüggéseket MATEMATIKAI (skalár) egyenletekkel

EGYENLETEK Az ERŐK és NYOMATÉKOK megfelelő irányú VETÜLETEI között fennálló összefüggéseket MATEMATIKAI (skalár) egyenletekkel írhatjuk le. Ha sikerül annyi egyenletet felírnunk (annyi nyugalmi feltételt meghatároznunk) amennyi az ismeretlen erő- ill. nyomatéki összetevők száma, akkor a megoldás EGYÉRTELMŰEN előállítható.

LINEARITÁS Az erő- ill. nyomatéki VEKTOROK és koordinátatengely-irányú VETÜLETEIK között egyenes arányosság áll fenn,

LINEARITÁS Az erő- ill. nyomatéki VEKTOROK és koordinátatengely-irányú VETÜLETEIK között egyenes arányosság áll fenn, tehát a függvénykapcsolat LINEÁRIS. Az ERŐ és ERŐKAR szorzataként előállított (FORGATÓ)NYOMATÉKOK nagysága is az erőnek és az erőkarnak LINEÁRIS függvénye. A függvénykapcsolatok LINEARITÁSA számítástechnikailag igen előnyös (pl. érvényes az egymásra halmozás), így a továbbiakban még akkor is linearizált függvénykapcsolatokat alkalmazunk, ha a valóság ennél (sokkal) bonyolultabb (ELSŐRENDŰ ELMÉLET).

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK A lineáris egyenletrendszerekben minden ismeretlen CSAK ELSŐ FOKON fordul elő, és az

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK A lineáris egyenletrendszerekben minden ismeretlen CSAK ELSŐ FOKON fordul elő, és az ismeretlenek SZORZATA nem szerepel. Az ilyen tulajdonságú egyenletrendszerekre igaz, hogy a megoldhatóság, a megoldás létezése a (matematikailag FÜGGETLEN) EGYENLETEK és az ISMERETLENEK számának összevetéséből adódik. egyenletek száma < egyenletek száma = egyenletek száma > ismeretlenek száma HATÁROZATLAN végtelen sok megoldás létezik HATÁROZOTT TÚLHATÁROZOTT egyértelmű megoldás létezik NINCS egyértelmű megoldás

KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Két párhuzamos erő eredője MINDIG PÁRHUZAMOS VELÜK, NAGYSÁGA A KÉT

KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Két párhuzamos erő eredője MINDIG PÁRHUZAMOS VELÜK, NAGYSÁGA A KÉT ERŐ NAGYSÁGÁNAK ALGEBRAI ÖSSZEGE. Az eredő HELYE egy irányba mutató erők esetén a két erő KÖZÖTT, ellentétes irányú erők esetén a két erőn KÍVÜL lesz, MINDIG A NAGYOBBIK ERŐ OLDALÁN.

EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE Az AZONOS síkban működő ERŐ és ERŐPÁR mindig

EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE Az AZONOS síkban működő ERŐ és ERŐPÁR mindig helyettesíthető EGYETLEN ERŐVEL. (F, M) = R F Az ERŐPÁR (nyomaték) helyett alkalmazhatunk R M = (P, P*) P* két, azonos forgatóhatású erőből álló erő-párt. P* P*/2 |P| = |P*| M P P×k = M P*/3 P/2× 2 k=M k k P/2 Ha P=-F 3 k P |P*|=-(-|F|)=|F| A helyettesítő erő-pár ELSŐ tagját teljesen szabadon vehetjük fel a síkban, a k 2 k MÁSODIK tag azonban KÖTELEZŐEN az első P/3 ELLENTETTJE, és tőle olyan távol van, hogy a forgatóhatás a nyomaték hatásával MEGEGYEZŐ legyen. R=P* k=M/|F| |R|=|F| (P, F)=0

EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE Azonos (pontosabban: párhuzamos) síkban fekvő ERŐ és ERŐPÁR

EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE Azonos (pontosabban: párhuzamos) síkban fekvő ERŐ és ERŐPÁR EREDŐJE nagyságát, állását, vektorát tekintve MEGEGYEZIK az ERŐ adataival, helyzete pedig az ERŐ hatásvonalát olyan IRÁNYBAN és olyan MÉRTÉKBEN eltolva kapható, hogy az elmozdítás folytán kialakuló nyomatéki TÖBBLET az ERŐPÁR hatását pótolja, helyettesítse.

EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE Egy ERŐ és egy ERŐPÁR eredője természetesen akkor

EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE Egy ERŐ és egy ERŐPÁR eredője természetesen akkor is ugyanígy állítható elő, ha síkjuk NEM koordinátasík. Kérdés, hogy számítási feladat esetén hogyan állapíthatjuk meg, hogy AZONOS (vagy pontosabban: párhuzamos) síkban vannak-e. Az ERŐPÁR számára bevezetve a NYOMATÉKVEKTOR fogalmát, ami az erőpár síkjának normálisában áll, az ERŐ és az ERŐPÁR síkjának párhuzamosságát az ERŐvektor és a NYOMATÉKvektor MERŐLEGESSÉGE jelzi, azaz, ha F · M = 0 → R létezik, előállítható.

AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA A helyettesítési feladat másként is megfogalmazható: Helyettesítsünk egy ERŐt egy

AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA A helyettesítési feladat másként is megfogalmazható: Helyettesítsünk egy ERŐt egy meghatározott ponton (pl. A ponton) átmenő ERŐvel és egy emellett szükségessé váló ERŐPÁRral (maga az eredeti erő lehet akár egy erőrendszer eredője is). R = (A, MA) A feladat valójában az ERŐ és ERŐPÁR eredőmeghatározásának inverz művelete, azaz A = R és MA = MR(A)

KÉT KITÉRŐ EREDŐJE AZ EREDŐ VEKTORA a két erő vektorainak (vektoriális) összege lesz. Ha

KÉT KITÉRŐ EREDŐJE AZ EREDŐ VEKTORA a két erő vektorainak (vektoriális) összege lesz. Ha az erőrendszer hatását vizsgáljuk, azt láthatjuk, hogy az EGYIK erő ELTOLÓ z hatásával együtt mindig megjelenik a MÁSIK erő (ugyanazon tengely körüli) FORGATÓ hatása. Az a test tehát, amelyre a fenti erőrendszer működik, olyan mozgásra kényszerül, mint a be (vagy ki)hajtott CSAVAR. F 1(z) F 2(y) M 1 y=SMy y M 2 x=SMx x Az ilyen erőrendszer NEM HELYETTESÍTHETŐ sem egyetlen erővel, sem egyetlen nyomatékkal, hatása alapján új fogalmat kell bevezetnünk: ennek neve ERŐCSAVAR.

TÉRBELI ERŐK EREDŐJE AZ EREDŐ VEKTORA a két erő vektorainak (vektoriális) összege lesz. Ha

TÉRBELI ERŐK EREDŐJE AZ EREDŐ VEKTORA a két erő vektorainak (vektoriális) összege lesz. Ha az erőrendszer hatását vizsgáljuk, azt láthatjuk, hogy az EGYIK erő ELTOLÓ hatásával együtt mindig megjelenik a MÁSIK erő (ugyanazon tengely körüli) FORGATÓ hatása. Az a test tehát, amelyre a fenti erőrendszer működik, olyan mozgásra kényszerül, mint a be (vagy ki)hajtott CSAVAR. Az ilyen erőrendszer NEM HELYETTESÍTHETŐ sem egyetlen erővel, sem egyetlen nyomatékkal, hatása alapján új fogalmat kell bevezetnünk: ennek neve ERŐCSAVAR.

SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE R=(F 1, Fgeometriai 2, F 3, …Fn) lépték M=1: n Az

SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE R=(F 1, Fgeometriai 2, F 3, …Fn) lépték M=1: n Az eredő VEKTORA R=(F 1+F 2+F 3+…+Fn) erőlépték 1 cm(=)K k. N F 1 S 0 VEKTORS’ S F R ÁBRA S S 0 2 1 F 1 0 S 0 ’ F 2 kötéloldalak S 1 F 4 F 3 S RS =(S 5, S ’) S 0 F 5 4 S 5 KÖTÉLSOKSZÖG 2 3 Az eredő HELYE (segéderők S 1=(S 0, F 1) bevezetésével) vektoridom-sugarak W S 2=(S 1, F 2) S 3 S 4 S =(S , F ) F 4 3 2 3 A vektorábrában Az eredő VEKTORA (nagysága, vetületei) A geometriai ábrában az Serők HÁROMSZÖGET alkotó S 5 alkotó erők helyzetétől FÜGGETLENÜL a VEKTOR 4=(S 3, FHÁROMSZÖGET 4) hatásvonalai a geometriai erők vektorai a vektorábrában ÁBRÁBÓL (vagy Svetületi egyenletekből) meg=(S , F ) 5 4 5 F 5 ábrában EGY PONTBAN kapható. Az eredő HELYÉT KÖTÉLSOKR=(S 0, FSZÖG-SZERKESZTÉSSEL METSZŐDNEK 1, F 2, F 3, F 4, F 5, S 0’)=(S 5, S 0’) METSZŐDNEK 5, S 0’) (vagy. R=(S nyomatéki 2 F 3 egyenletekből) határozhatjuk meg.

SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE Változtassuk meg a vektorábrában az erők SORRENDJÉT! R=(F 3+F 1+F 5+F

SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE Változtassuk meg a vektorábrában az erők SORRENDJÉT! R=(F 3+F 1+F 5+F 2+F 4) F 3 R R=(F 1, F 2, F 3, …Fn) F 2 F 1 F 4 F 3 F 5 0 1 F 1 2 F 5 W 3 4 F 2 F 4 5 R Az egy pontban metsződő vektorok a ábrában most is Azgeometriai eredő VEKTORA az erők SORRENDJÉTŐL MINDIG FÜGGETLEN! HÁROMSZÖGET ALKOTNAK! Az A eredő HELYÉTáltal (hatásvonalának egy pontját) az kötélsokszög meghatározott pont a (aktuális sorrend szerinti) ERŐT MEGELŐZŐ VEKTORSORREND és. ELSŐ a PÓLUS felvételének és az UTOLSÓ ERŐT de KÖVETŐ kötéloldalak függvényében változik, mindig az EREDŐ METSZÉSPONTJA HATÁSVONALÁNszolgáltatja. LESZ!

SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE R=(F 1, F 2, F 3, …Fn) R=(F 1+F 2+F 3+…+Fn)

SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE R=(F 1, F 2, F 3, …Fn) R=(F 1+F 2+F 3+…+Fn) F 1 F 4 F 3 F 5 0 R 1 F 2 R 4 F 3 F 2 F 4 F 5 2 5 W 3 Az eredő VEKTORA (nagysága, vetületei) az erők helyzetétől FÜGGETLENÜL a VEKTORÁBRÁBÓL (vagy vetületi egyenletekből) megkapható. Az eredő HELYÉT KÖTÉLSOKSZÖG-SZERKESZTÉSSEL (vagy nyomatéki egyenletekből) határozhatjuk meg.

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ VEKTORA z Rz F 3 y F 3 x

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ VEKTORA z Rz F 3 y F 3 x F 2 z F 2 x F 2 y F 1 z Ry F 1 y y Az eredő mindenféle szempontból EGYENÉRTÉKŰEN HELYETTESÍTI az erőrendszert, így az eredő tengelyirányú VETÜLETEI az erőrendszer elemeinek ugyanazon tengelyre vett VETÜLETösszegeivel egyeznek meg. (Az eredő KOMPONENSEI tehát az erők elhelyezkedése NÉLKÜL IS előállíthatók!) F 1 x x Rx

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ ERŐVEKTOR (NAGYSÁG ÉS ÁLLÁS) Rx = S Fi, x

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ ERŐVEKTOR (NAGYSÁG ÉS ÁLLÁS) Rx = S Fi, x Ry = S Fi, y Rz = S Fi, z R = (Rx 2+ Ry 2+ Rz 2)½ a=arccos(Rx/|R|) b=arccos(Ry/|R|) g=arccos(Rz/|R|) Ha Rx = 0 → az eredőnek NINCS x irányú összetevője, azaz az eredő az y-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS Ha R = 0 ÉS R = 0 x y z Ha Ry = 0 → az eredőnek NINCS y irányú összetevője, → az eredőnek NINCS erőazaz az eredő az x-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS összetevője, azaz az eredő Ha Rz = 0 → az eredőnek NINCS z irányú összetevője, azaz az eredő az x-y koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS Ha Rx = 0 ÉS Ry = 0 → az eredőnek NINCS x ÉS y irányú összetevője, azaz az eredő a z tengellyel PÁRHUZAMOS VAGY ERŐPÁR (NYOMATÉK) VAGY ZÉRUSERŐ (EGYENSÚLY)

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ NYOMATÉKA z 3 F 3 z F 3 y

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ NYOMATÉKA z 3 F 3 z F 3 y z 2 Mz F 2 x F 2 y y 1 y 3 y 2 F 3 x z 1 x 2 F 1 z My Mx x 1 x 3 F 1 y F 1 x Az eredő mindenféle szempontból EGYENÉRTÉKŰEN HELYETTESÍTI az erőrendszert, így az eredő tengelyre vett NYOMATÉKAI az erőrendszer elemeinek ugyanazon tengelyre vett NYOMATÉK-összegeivel egyeznek meg. Az így nyerhető három, koordinátatengely- irányú nyomatékvektor az erőrendszer origóra vett NYOMATÉK(VEKTOR)ÁNAK HÁROM KOMPONENSE. (Az erőrendszer NYOMATÉKÁNAK meghatározása során az erőknek mind a NAGYSÁGÁRA (összetevők), mind az ELHELYEZKEDÉSÉRE szükség van.

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ NYOMATÉKVEKTOR (NAGYSÁG - ÁLLÁS) Mx = SMix = +SFi,

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ NYOMATÉKVEKTOR (NAGYSÁG - ÁLLÁS) Mx = SMix = +SFi, x× 0 - SFi, y×zi + SFi, z×yi My = SMiy = +SFi, x×zi + SFi, y× 0 - SFi, z×xi Mz = SMiz = -SFi, x×yi + SFi, y×xi + SFi, z× 0 |M| = (Mx 2+ My 2+ Mz 2)½ a=arccos(Mx/|M|) b=arccos(My/|M|) g=arccos(Mz/|M|) Ha Mx = 0 → az eredőnyomatéknek NINCS x irányú összetevője, azaz az eredő nyomaték az y-z Ha Mx = 0 ÉS My = 0 ÉS Mz = 0 koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS síkban ébred → az eredőnek az origóra NINCS Ha My = 0 → az eredőnyomatéknek NINCS y irányú nyomaték-összetevője, azaz az eredő nyomaték az x-z eredő VAGY koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS síkban ébred az origón átmenő ERŐ Ha Mz = 0 → az eredőnyomatéknek NINCS z irányú VAGY összetevője, azaz az eredő nyomaték az x-y ZÉRUSERŐ (EGYENSÚLY) koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS síkban ébred

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ ERŐ ÉS NYOMATÉK ÖSSZETÉTELE Egy ERŐ és egy ERŐPÁR

ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ ERŐ ÉS NYOMATÉK ÖSSZETÉTELE Egy ERŐ és egy ERŐPÁR HELYETTESÍTHETŐ EGYETLEN ERŐVEL, ha AZONOS (párhuzamos) síkban működnek. Minthogy az ERŐPÁR VEKTORA E SÍK NORMÁLISÁBAN ÁLL, a fenti feltétel úgy is fogalmazható: M*R=0 ahol M=(Mx ; My; Mz) és R=(Rx; Ry; Rz) azaz S Mi * R i = 0 Ha a fenti feltétel teljesül, a koordinátatengelyekre számított ERŐVETÜLETEKből előállított ERŐ és koordinátatengelyekre számított NYOMATÉKVETÜLETEKből előállított NYOMATÉK EGYETLEN ERŐVÉ TEHETŐ ÖSSZE. Ha a fenti ERŐ- és NYOMATÉKvektorok skalárszorzata NEM ZÉRUS, akkor az erőrendszer eredője ERŐCSAVAR. (Ha az ERŐ és a NYOMATÉK vektora NEM PÁRHUZAMOS, akkor mindig előállítható olyan ERŐ-NYOMATÉK vektorösszetevőpáros, amelyek MERŐLEGESEK, TEHÁT EGYETLEN ERŐVEL HELYETTESÍTHETŐK. Ez az erő azonban már PÁRHUZAMOS lesz a megmaradó NYOMATÉK-ÖSSZETEVŐVEL, ÍGY (tiszta) ERŐCSAVART alkot

EGYENSÚLYOZÁS EGY ERŐVEL [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn), Q

EGYENSÚLYOZÁS EGY ERŐVEL [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn), Q ] = 0 Számítással: S(Fi, x) = 0 Qx = S(Fi, y) = 0 Qy = S(Mi, O) = 0 x. Q = vagy y. Q = Szerkesztéssel: Az eredő (ellentett) VEKTORÁT a vektorábrából, HELYÉT a kötélsokszög-szerkesztésből kaphatjuk meg.

EGYENSÚLYOZÁS EGY ERŐVEL ÉS EGY TÁRSNYOMATÉKKAL [(F 1, F 2, F 3, . .

EGYENSÚLYOZÁS EGY ERŐVEL ÉS EGY TÁRSNYOMATÉKKAL [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn), P, MP]=0 Számítással: S(Mi, P) = 0 MP = S(Fi, x) = 0 Px = S(Fi, y) = 0 Py = Szerkesztéssel: A helyettesítő erő VEKTORA az eredő vektorával AZONOS, a társnyomaték számítandó.

EGYENSÚLYOZÁS KÉT ERŐVEL (P ismert hatásvonalú, Q ismert ponton megy át) [(F 1, F

EGYENSÚLYOZÁS KÉT ERŐVEL (P ismert hatásvonalú, Q ismert ponton megy át) [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn), P, Q] = 0 Számítással: S(Mi, Q) = 0 P= S(Fi, x) = 0 Qx = S(Fi, y) = 0 Qy = Szerkesztéssel: A helyettesítő erők VEKTORAIT a vektorábra és a kötélsokszög-szerkesztésből alkalmas kombinációjával kaphatjuk meg.

EGYENSÚLYOZÁS 3 ERŐVEL (mindhárom ismert hatásvonalú) [(F 1, F 2, F 3, . .

EGYENSÚLYOZÁS 3 ERŐVEL (mindhárom ismert hatásvonalú) [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn), A, B, C]=0 Számítással: S(Mi, A főpontra) = 0 A= (a főpont a KÉT S(Mi, B főpontra) = 0 B= MÁSIK hatásvonal metszéspontja!) S(Mi, C főpontra) = 0 C= Szerkesztéssel: Két ismeretlen erőt ideiglenesen az eredőjükkel helyettesítünk, és így már három erő egyensúlyával van dolgunk (Culmann-szerkesztés).

EGYENSÚLYOZÁS 3 ERŐVEL (mindhárom ismert hatásvonalú) A Culmann-szerkesztés: [(F 1, F 2, F 3,

EGYENSÚLYOZÁS 3 ERŐVEL (mindhárom ismert hatásvonalú) A Culmann-szerkesztés: [(F 1, F 2, F 3, . . . Fn), A, B, C]=0 (F 1, F 2, F 3, . . . Fn)=R Q hatásvonala átmegy A és B (A, B)=Q hatásvonalának metszéspontján, mert EREDŐ, és átmegy R és C metszéspontján, (R, Q, C)=0 hatásvonalának mert csak így lehet egyensúly!

EGYENSÚLYOZÁS 3 ISMERT HATÁSVONALÚ ERŐVEL OC OB etttt leítzo éátem b ettt o t

EGYENSÚLYOZÁS 3 ISMERT HATÁSVONALÚ ERŐVEL OC OB etttt leítzo éátem b ettt o t z í e l C feslztáétme c k. B k. C OCA+A×k =0 O M +C×k. BCA=0 M RR B+B×k R ltz BBfes k. A a A számított A feltételezett OA A KÉT MÁSIK hatásvonal metszéspontja a FŐPONT. Az erre felírt nyomatéki egyenletben ismeretlenként CSAK A KERESETT ERŐ szerepel!

EGYENSÚLYOZÁS 3 ISMERT HATÁSVONALÚ ERŐVEL ám B sz k. A a A számított A

EGYENSÚLYOZÁS 3 ISMERT HATÁSVONALÚ ERŐVEL ám B sz k. A a A számított A feltételezett R k. By Ha a kar meghatározása nehézségekbe ütközik, a ferde erőt a nyomatékszámítás során helyettesíthetjük KOMPONENSEIVEL tt íto k. C b ettt o t z í e l C feslztáétme OCA+A×k =0 O M +C×k. BCA=0 M RR B+B×k k. Bx OC c OA Bx-y feltételezett OB A KÉT MÁSIK hatásvonal metszéspontja a FŐPONT. Az erre felírt nyomatéki egyenletben ismeretlenként CSAK A KERESETT ERŐ szerepel!