a i b Komplexn sla a i b

– a i b Komplexné čísla + a i b

Prečo komplexné čísla (KČ) • V reálnych číslach sa nedá odmocniť číslo, ktoré je záporné, • nie všetky rovnice majú riešenie v obore reálnych čísel, • matematici dodefinovali novú množinu čísel, v ktorej sa dá odmocniť číslo -1, • nazýva sa množina komplexných čísel (označenie C).

Odmocnina záporného čísla • záporné číslo vieme zapísať ako súčin kladného a čísla -1 napr. : -16 = -1. 16 -132 = -1. 132 • matematici dodefinovali: teda • hodnota i sa nazýva imaginárna jednotka

Počítanie s i • platia vzťahy: • všetky vyššie mocniny prevedieme na predchádzajúce

Cvičenie 1 Upravte na hodnotu i:

Algebrický tvar KČ Def. : Komplexné číslo je číslo v tvare a + bi, kde a, b R a i je imaginárna jednotka. Príklad: 3 + 2 i, 1 – 4 i, – 2 + 7 i a+bi reálna časť imaginárna časť

Gaussova rovina y 2 + 3 i x • slúži na zobrazenie komplexných čísel v rovine • os x – reálna os hodnota a • os y – imaginárna os hodnota b

Operácie s KČ Pre každé dve komplexné čísla a = a + a i, b = b + b i definujeme: • súčet: a + b = a + a i + b i = (a + b )+ (a + b )i • rozdiel: a – b = a + a i – (b + b i) = (a – b )+ (a – b )i • násobenie konštantou: c. a = c. (a + a i) = c. a + c. a i • násobenie: 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 a. b = (a 1 + a 2 i). (b 1 + b 2 i) = (a 1. b 1 + a 2. b 2) + (a 1. b 2 + a 2. b 1)i

Cvičenie 2 Dané sú komplexné čísla: a = 2 + 3 i, b = – 4 + 3 i, c = 3 – i, d = 5 – 3 i. Vypočítajte: 1. a + b = – 2 + 6 i 2. b – c = – 7 + 4 i 3. 2 d + 3 a =10 – 6 i + 6 + 9 i = 16 + 3 i

Cvičenie 3 Dané sú komplexné čísla: a = 4 + 2 i, b = – 1 + 5 i, c = 2 – 3 i, d = – i. Vypočítajte: 1. 2 b + 4 c = – 2 + 10 i + 8 – 12 i = 6 – 2 i 2. 4 a – c = 16 + 8 i – (2 – 3 i) =14 +11 i 3. 7 d – 3 a = – 7 i – (12 + 6 i) = – 12 – 13 i

Delenie komplexných čísel Pre každé dve komplexné čísla a = a + a i, b = b + b i definujeme podiel nasledovne: 1 1 2 2

Cvičenie 4 Dané sú komplexné čísla: a = 4 + 2 i, b = 2 – 3 i. Vypočítajte ich podiel.

Komplexne združené číslo Def. : Ak je komplexné číslo, tak číslo sa nazýva komplexne združené číslo k číslu a. označenie: (čítame a s pruhom) Príklad: Napíšte komplexne združené číslo k číslam: a) 2 + 3 i 2 – 3 i b) 4 – 2 i 4 + 2 i c) – 1 – 5 i – 1 + 5 i

Absolútna hodnota komplexného čísla Def. : Pre ľubovoľné komplexné číslo je definované reálne číslo , ktoré sa nazýva absolútna hodnota komplexného čísla. označenie: (čítame absolútna hodnota a) Príklad: Vypočítajte absolútnu hodnotu čísel: a) 2 + 3 i b) 4 – 2 i c) – i – 5 i

Tvary komplexných čísel • algebrický tvar • goniometrický tvar kde , • exponenciálny tvar a ,

Cvičenie 5 Napíšte číslo a = 2 + 3 i v goniometrickom tvare.

Cvičenie 6 Napíšte číslo tvare. v algebrickom

Kvadratická rovnica v obore KČ • riešime ako v reálnych číslach • rozdiel je v možnosti, keď D < 0 D = – 16 • rozdiel je, že výsledok obsahuje i.

Cvičenie 7 Riešte v C:

Príklady Riešte v C:

koniec