A hatrrtk Digitlis tananyag Hatrrtk A hatrrtk fogalma

A határérték Digitális tananyag

Határérték • A határérték fogalma • A határértékek kiszámítása • Határértékek a végtelenben Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A határérték • Az f(x) határértéke, ha x tart az a számhoz egyenlő az L számmal, ha f(x) értéke L-hez közelít, miközben x közelít a-hoz. L a Tóth István – Műszaki Iskola Ada

1. példa • Készítsünk táblázatot! x 3 x 2, 5 2, 999 3, 001 3, 5 2 x 5 5, 8 5, 998 6, 002 6, 2 7 6 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

2. példa A kifejezés nem értelmezett x=4 -re! x 3, 5 3, 999 4, 001 4, 1 f(x) 1 1 1 1 A függvény határértékét vizsgálhatjuk olyan x 0 pontban is, ahol a függvény nem értelmezett (de a pont környezetében igen). Tóth István – Műszaki Iskola Ada 4, 5 1

Feladatok • Táblázat segítségével becsüld meg a határértékeket: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A „táblázatos” módszer hiányossága x ± 1 ± 0, 5 ± 0, 1 ± 0, 0005 ± 0, 0001 ± 0, 000001 Tóth István – Műszaki Iskola Ada f(x) 0, 049876 0, 049969 0, 049999 0, 050000 0, 080000 0, 000000

Egyszerűbb határértékek Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A határérték szabályai Ha léteznek a következő határértékek: Tóth István – Műszaki Iskola Ada és

A szabályok alkalmazása 1. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A szabályok alkalmazása 2. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Behelyettesítés • Vegyük észre: sok esetben elegendő, ha a közelítés határát behelyettesítjük a függvény képletébe! 1. 2. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Ellenpélda A hányadosra vonatkozó szabályt használva azt kapjuk, hogy: és Tehát a számláló és a nevező is 0 -val egyenlő. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az ellenpélda megoldása Az f függvényt olyan g függvénnyel helyettesítjük, amely a közelítés határát kivéve mindenütt egyenlő az f függvénnyel. az f függvény a helyettesítő g függvény Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Gyakorló feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Ismét egy példa Nem tudunk tényezőkre bontani, egyszerűsíteni Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Gyakorló feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Nem minden határérték létezik. . . x 1, 9 x → 2 2 ←x 1, 9999 2, 0001 2, 1 f(x) -20000 20000 f(x) →-∞ Tóth István – Műszaki Iskola Ada 2000 ∞ ←f(x) 200 20

Bal és jobb oldali határérték • A bal oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei bal oldalról tartanak a közelítés határához. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Bal és jobb oldali határérték • A jobb oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei jobb oldalról tartanak a közelítés határához. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Gyakorlás Keresd meg a határértékeket: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A határérték létezése A határérték létezik, ha léteznek a és határértékek és ezek egyenlő valós számok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A határérték ε-δ definíciója A értéke az L valós szám, ha minden ε pozitív valós számhoz található olyan δ pozitív valós szám, hogy az egyenlőtlenségből következzék Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa Igazoljuk: Tegyük fel, hogy ε egy adott pozitív szám. Ekkor: tehát ε értékére 3·δ értéket kell vennünk, azaz Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Néhány fontosabb határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa 1 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Néhány fontosabb határérték Feladatok: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Néhány fontosabb határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Határértékek a végtelenben Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Határértékek a végtelenben Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa Feladatok: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Egyszerűbben Például: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

További példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

További példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

További példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Fontos határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Alkalmazás • A határérték-számítás az elkövetkező anyagrészek alapja. • A továbbiakban az alapfogalmakat a határérték segítségével vezetjük be. – Folytonosság – Aszimptoták – Differenciálszámítás – Integrálszámítás Tóth István – Műszaki Iskola Ada