A fggvny derivltja Digitlis tananyag A pillanatnyi sebessg
A függvény deriváltja Digitális tananyag
A pillanatnyi sebesség A függvény deriváltja
Az átlagsebesség • A test átlagsebessége egyenlő a megtett út és a mozgás közben eltelt idő hányadosával. t 1 s 1 Tóth István – Műszaki Iskola Ada t 2 s 2
A pillanatnyi sebesség • A test pillanatnyi sebessége megmutatja az adott test sebességét a t 0 időpontban. t 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 Δt -0, 4 -0, 3 -0, 2 -0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 s 0, 05 0, 20 0, 44 0, 78 1, 23 1, 76 2, 40 3, 14 3, 97 -1, 18 -1, 03 -0, 78 -0, 44 0 0, 54 1, 18 1, 91 2, 74 4, 90? 5, 40 5, 90 6, 37 6, 85 Δs v 2, 95 3, 43 3, 90 Tóth István – Műszaki Iskola Ada 4, 40
Fizikai mennyiségek • • Sebesség Szögsebesség Gyorsulás Teljesítmény Pillanatnyi erő Forgatónyomaték Áramerősség Kapacitás Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A derivált definíciója A függvény deriváltja
A függvény növekménye • Adott egy f függvény. • Ha az x változó értéke Δx-szel változik, akkor a függvény értéke is változik f(x)-ről f(x+Δx)-re. • A függvény értékének változása (a függvény növekménye): Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A derivált Az f(x) függvény x 0 ponthoz tartozó differenciahányadosán az hányadost értjük. A differenciahányados Δx→ 0 feltétellel képzett határértéke, az f(x) függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosa vagy deriváltja: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Differenciálható függvények Ha a függvénynek az x 0 pontban van deriváltja akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x 0 pontban differenciálható vagy deriválható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A derivált jelölése • Ugyanazt a fogalmat többféleképp is jelölhetjük: Ha a független változó x helyett t (pl. az idő) akkor a derivált jele lehet: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Fizikai mennyiségek • • Sebesség Szögsebesség Gyorsulás Teljesítmény Pillanatnyi erő Forgatónyomaték Áramerősség Kapacitás Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példa • Keressük meg az f(x)=x 2+2 x-1 függvény deriváltját az x 0=1 pontban. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Keressük meg az adott függvények deriváltját az x 0 pontban. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A deriváltfüggvény • Ha az f függvény deriváltját megkeressük minden olyan pontban ahol az létezik, a függvény deriváltfüggvényét (röviden: deriváltját) kapjuk. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Az állandó deriváltja C - állandó Példák: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A hatványfüggvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A hatványfüggvény deriváltja Példák: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A hatványfüggvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Az exponenciális függvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A logaritmusfüggvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A sinusfüggvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A deriválás szabályai A függvény deriváltja
A deriválás szabályai I. C - állandó Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák és feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A deriválás szabályai II. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák és feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A deriválás szabályai III. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A deriválás szabályai IV. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Az összetett függvény deriváltja A függvény deriváltja
Az összetett függvény deriváltja Összetett függvények: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Az összetett függvény deriváltja Összetett függvények: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Az összetett függvény deriváltja Láncszabály: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példa Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Az inverz függvény deriváltja A bal oldala összetett függvény: Mindkét oldalát deriváljuk: A láncszabály szerint: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Magasabb rendű deriváltak A függvény deriváltja
A második derivált Az y'=f'(x) derivált függvény is egy valós függvény, amely adott feltételek mellett szintén deriválható. A derivált függvény deriváltját a függvény második deriváltjának nevezzük. Jelölés: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A gyorsulás A pillanatnyi gyorsulás a sebesség idő szerinti deriváltja: A pillanatnyi sebesség az út idő szerinti deriváltja: Tehát a pillanatnyi gyorsulás az út idő szerinti második deriváltja: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Keressük meg a függvények második deriváltját: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Magasabb rendű deriváltak Harmadik derivált: a második deriváltja Római számok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok Keresd meg a függvények összes deriváltját: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
- Slides: 52