A cura di Maria Giovanna Melis Insiemi Intersezione

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A cura di Maria Giovanna Melis

A cura di Maria Giovanna Melis

Insiemi Intersezione Sui quali si possono definire Unione Complemento Operazioni Differenza e proprietà Differenza

Insiemi Intersezione Sui quali si possono definire Unione Complemento Operazioni Differenza e proprietà Differenza Si rappresentano con simmetrica Potenza Diagrammi Rappresentare e risolvere problemi di Si utilizzano anche per Eulero - Venn Carroll Rappresentare classificazioni indotte da relazioni Rappresentare operazioni tra insiemi Rappresentare corrispondenze tra gli elementi di due insiemi (diagramma sagittale) ad albero

U PROPRIETA’ degli OPERATORI , U Gli operatori e U sono operatori binari (lavorano

U PROPRIETA’ degli OPERATORI , U Gli operatori e U sono operatori binari (lavorano su due insiemi per volta come gli operatori +, -, x, : lavorano su due numeri alla volta). U Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le seguenti proprietà: U U U -A B= B C=A U -A B) (B U - (A A commutativa A = A idempotenza = C) associativa U Proprietà dell’operatore intersezione U Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le seguenti proprietà: - (A U B) U C = A U(B UC) associativa -A U B = B U A commutativa -A U A = A idempotenza -A U =

Insieme INTERSEZIONE A U B A inter B La congiunzione ( V ) r

Insieme INTERSEZIONE A U B A inter B La congiunzione ( V ) r z 1 1 0 0 0 r V Legami tra le operazioni con gli insiemi e il calcolo dei predicati z U A r B z L’intersezione degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi comuni ad A e B (cioè di quegli elementi di A che appartengono anche a B)

Insiemi DISGIUNTI Da notare che se gli insiemi A e B non hanno elementi

Insiemi DISGIUNTI Da notare che se gli insiemi A e B non hanno elementi in comune, l’insieme intersezione è allora l’insieme vuoto ( ). U A B= La Colombo Bozzolo presenta due rappresentazioni con il diagramma di Venn: E E A B

Il diagramma di Eulero – Venn è la rappresentazione grafica degli insiemi e delle

Il diagramma di Eulero – Venn è la rappresentazione grafica degli insiemi e delle relazioni fra essi. Si rappresentano gli elementi di un insieme dentro una regione piana limitata da una linea chiusa. Tale rappresentazione grafica non è il “contorno geometrico” di una figura piana. A Non a e Non b e Non c a e Nb e Nc ae b e be Nc a e ec Nb aebec Nc e b e c e Na Na c B Leonard Euler, svizzero, 1707 – 1783 John Venn, inglese, 1834 - 1883 e Nb e Na C

U: numeri da 1 a 9 U Sequenza del 3 Numeri pari argomento predicato

U: numeri da 1 a 9 U Sequenza del 3 Numeri pari argomento predicato Valore di verità X È nella sequenza del 3 e è numero pari VERO O FALSO Il 3 è nella sequenza del 3 e è pari FALSO IL 6 è nella sequenza del 3 e è pari VERO IL 4 è nella sequenza del 3 e è pari FALSO

Insieme UNIONE A U B A unione B La disgiunzione inclusiva: vel (V) U

Insieme UNIONE A U B A unione B La disgiunzione inclusiva: vel (V) U A r B z r. Vz 1 1 0 0 0 L’unione degli insiemi A e B è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B o ad entrambi

Insieme DIFFERENZA U A r B z A - B B - A Il

Insieme DIFFERENZA U A r B z A - B B - A Il corrispondente connettivo non ha un nome, è la <<non implicazione>>; implicazione>> si indica con * r z 1 1 0 0 0 r La differenza degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B * z

Insieme DIFFERENZA SIMMETRICA ( A ) B La disgiunzione esclusiva: aut (W) r z

Insieme DIFFERENZA SIMMETRICA ( A ) B La disgiunzione esclusiva: aut (W) r z r. Wz 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 U A r B z La differenza simmetrica tra A e B è l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B e di quelli di B che non appartengono ad A

U: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,

U: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 A : dispari B : primi Dispari Primi 3 13 La parte tratteggiata rappresenta l’intersezione, cioè la congiunzione degli attributi <<Dispari e Primi>>, e ancora l’intersezione dell’insieme dei Dispari con l’insieme dei Primi 2 5 7 Non Dispari 11 1 Non dispari – Non primi 4 9 Primi 15 16 12 10 8 14 6 Quindi, le possibilità sono quattro: 1. Essere dispari e primo 2. Essere dispari e non primo 3. Non essere dispari e essere primo 4. Non essere dispari e non essere primo Non dispari - primi Dispari – Non Primi

B a e b e non c A B C a e b e

B a e b e non c A B C a e b e c A non a e b e non c Carroll non a e b e c non a e non b e c a e non b e non c non a e non b e non c Nella classificazione secondo tre attributi, le possibilità sono otto

U: 4, 79, 81, 7, 40, 6, 54, 92, 111, 95, 83, 35, 100,

U: 4, 79, 81, 7, 40, 6, 54, 92, 111, 95, 83, 35, 100, 72, 9, 47, 12, 63, 14, 15, 84 A: multipli di 3 B: divisibili per 2 C: compresi tra 10 e 80 B Multipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80 B NON multipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80 84 100 6 A 114 on e 54 63 111 15 9 81 40 zi 12 in te rs e 72 A 92 C 4 14 Multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80 Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80 35 79 47 NON multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80 95 Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80 7 NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80 83 NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80

Insieme COMPLEMENTARE La negazione: non U A r r 1 0 0 1 r

Insieme COMPLEMENTARE La negazione: non U A r r 1 0 0 1 r Se A è un sottoinsieme di U, si chiama complementare di A rispetto a U l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A.

Nell’insieme N dei numeri naturali, l’insieme P dei numeri pari e l’insieme D dei

Nell’insieme N dei numeri naturali, l’insieme P dei numeri pari e l’insieme D dei numeri dispari sono l’uno il complementare dell’altro. Nell’insieme U delle lettere dell’alfabeto, il complementare dell’insieme delle consonanti è l’insieme delle vocali. U N C D P V

Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A/B L’ implicazione “se r allora z” U

Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A/B L’ implicazione “se r allora z” U A r B z r z 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

U: i numeri da 1 a 12 Trovare il numero che risponda alla seguente

U: i numeri da 1 a 12 Trovare il numero che risponda alla seguente implicazione: “se è pari e multiplo di 3, allora ha due cifre” U B U Inclusione: C A U 11 3 A 2 B A: pari B: multiplo di 3 C: a due cifre 6 10 1 5 4 C 12 8 7 9

Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A B La doppia implicazione U A r

Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A B La doppia implicazione U A r B z r z 1 1 0 0 0 1

Insieme delle parti di un insieme o insieme POTENZA Dato un insieme P si

Insieme delle parti di un insieme o insieme POTENZA Dato un insieme P si chiama insieme delle parti di P oppure insieme potenza di P, l’insieme di tutti i sottoinsieme di P E’ utile, in questo caso, elencare in ordine tutti i sottoinsiemi di P con un diagramma ad albero. P P = a, b, c a b Si sono ottenuti otto sottoinsiemi. Il loro insieme è detto insieme delle parti di P c P= a, b, c , a, b , a, c , a Non b Non c a, b, c a, b , Non a b, c Non c c c a a, c , b , Non b b c b, c , c Non c b c Non c

Classificando i triangoli rispetto agli angoli si ha una partizione dell’insieme T dei triangoli

Classificando i triangoli rispetto agli angoli si ha una partizione dell’insieme T dei triangoli in tre sottoinsiemi T t acutangoli t ottusangoli t rettangoli

Suddividendo i numeri naturali in pari e dispari si ha una partizione dell’insieme IN

Suddividendo i numeri naturali in pari e dispari si ha una partizione dell’insieme IN in due sottoinsiemi: Numeri pari IN Numeri dispari

A B A A R C A B I B U T C A

A B A A R C A B I B U T C A U B U C T T B B A U B C A B I A U 3 U C U A A (B U C) C A B C (C –A) U B

Confrontiamo A A e non B B le tre diverse rappresentazioni: B e A

Confrontiamo A A e non B B le tre diverse rappresentazioni: B e A e B non A A Non A e Non B B NON B Ae. B NON B A e Non B Non A e B Ae Non B NON A B Ae. B NON B Non A e Non B NON A Non A e. B Non A e Non B

I diagrammi ad albero visualizzano operazioni mentali di analisi e classificazione. Un diagramma ad

I diagrammi ad albero visualizzano operazioni mentali di analisi e classificazione. Un diagramma ad albero è costituito da un insieme di nodi e da un insieme di rami che collegano i nodi. Es. U: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 A: Pari B: Primi Pari C: Multipli di 3 Non Pari (2, 4, 6, 8, 10, 12) (1, 3, 5, 7, 9, 11) Non Primi i 3 li d ltip i 3 ltip li d i 3 li d ltip Mu pli ulti n. M di 3 (5, 7, (9) 11) No pli (3) ulti n. M di 3 (4, 8, 10) (1, 9) No pli i 3 li d p ulti n. M (2) (6, 12) Non Primi 7, 11) No No Mu 10, 12) Primi Mu (4, 6, 8, (2) (3, 5, Mu Primi (1)

U : POLIGONI A: essere convessi B: avere quattro lati C: avere assi di

U : POLIGONI A: essere convessi B: avere quattro lati C: avere assi di simmetria

RIA ETRIA SIMM MET I SIM ASSI NON RIA ETRIA SIMM MET ETRIA I

RIA ETRIA SIMM MET I SIM ASSI NON RIA ETRIA SIMM MET ETRIA I SIM RIA MET I SIM ASS SIMM 4 TI NON ASSI TI LA I AT 4 L N CO LA TI LA ETRIA SI V SI 4 4 RIA MET I SIM ASS SIMM ES ES CO NV N NO NON ASSI P

In una classe : 10 bambini hanno sorelle; 5 hanno fratelli; 3 hanno sia

In una classe : 10 bambini hanno sorelle; 5 hanno fratelli; 3 hanno sia fratelli che sorelle; 12 sono figli unici. Quanti sono gli alunni della classe? sorelle 10 3 5 fratelli 12 10+5+12= 27

In una palestra di 30 atleti, U = insieme degli atleti A= insieme Nuoto

In una palestra di 30 atleti, U = insieme degli atleti A= insieme Nuoto B= insieme Atletica 25 praticano il nuoto; 10 praticano l’atletica; 2 non praticano né il nuoto né l’atletica. Quanti atleti praticano solo il nuoto? Quanti entrambi gli sport? U A B 18 2 atleti non praticano né nuoto né atletica, ne segue che 28 atleti praticano invece nuoto o atletica o entrambi. 28 – 10 7 3 28 – 21 28 – 25 30 - 2 2

Bambini e Sport Tra questi bambini: Angelo, Bruno, Carlo, Daria, Elisa, Franco, Giorgio, Ilaria,

Bambini e Sport Tra questi bambini: Angelo, Bruno, Carlo, Daria, Elisa, Franco, Giorgio, Ilaria, Luca, Marco, Nadia e Orietta, Alcuni praticano il Tennis: Angelo, Carlo, Orietta, Ilaria e Nadia Alcuni praticano il calcio: Bruno, Ilaria, Carlo, Franco Alcuni praticano la corsa: Carlo, Orietta, Franco, Daria, Giorgio e Luca 1 - Quali e quanti bambini praticano tutti e tre gli sport? 2 - Quali e quanti bambini praticano un solo sport? 3 - Quali e quanti praticano almeno uno sport? 4 - Quali e quanti nessuno sport? Per risolvere questo problema si possono utilizzare tre diverse rappresentazioni: Diagramma di Eulero - Venn Diagramma ad albero Diagramma di Carroll

A: Tennis U = un gruppo di bambini che praticano sport B: Calcio C:

A: Tennis U = un gruppo di bambini che praticano sport B: Calcio C: Corsa B B Angelo Ilaria C A Carlo Nadia Bruno B Carlo Orietta A Orietta Ilaria Daria Franco Giorgio Luca A B Franco Elisa Marco A Bruno Angelo Nadia Daria Giorgio Luca Elisa Marco C C Alcuni autori hanno proposto questa diversa rappresentazione del diagramma di Carroll

U A B Tennis Calcio Angelo Ilaria Bruno Nadia Carlo Orietta Franco Marco Daria

U A B Tennis Calcio Angelo Ilaria Bruno Nadia Carlo Orietta Franco Marco Daria Giorgio Luca Elisa C Corsa

Carlo C Ilaria C B Orietta C Nadia Angelo Franco C C B Luca

Carlo C Ilaria C B Orietta C Nadia Angelo Franco C C B Luca Giorgio Bruno Daria C B A A C B Marco Elisa C

U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 A=

U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 A= Multipli di 5 B= Minori di 5 C= dispari Minori di 5 Non dispari Dispari Multipli di 5 Non Minori di 5 Dispari 0 1 3 2 Un’altra rappresentazione con il diagramma di Carroll 5 4 7 Non dispari 10 9 6 8 Questa rappresentazione è anche conosciuta come “Diagramma di Karnaugh”

Disponi questi nomi nel diagramma di Carroll: Case, libro, sedie, pulcino, palla, , quaderno,

Disponi questi nomi nel diagramma di Carroll: Case, libro, sedie, pulcino, palla, , quaderno, Antonio, evidenziatore, Luca, bambini maschili singolari Non maschili

Disponi gli articoli nel diagramma di Venn U= tutti gli articoli A: essere singolare

Disponi gli articoli nel diagramma di Venn U= tutti gli articoli A: essere singolare B: essere determinativo C: essere maschile A U C B

Per i più piccoli: 4 zampe Non 4 zampe Diagramma di Venn

Per i più piccoli: 4 zampe Non 4 zampe Diagramma di Venn

Classificazioni secondo un attributo Attributo: avere quattro zampe Negazione dell’attributo: non avere quattro zampe

Classificazioni secondo un attributo Attributo: avere quattro zampe Negazione dell’attributo: non avere quattro zampe 4 zampe Diagramma di Carroll Non 4 zampe

Diagramma ad albero 4 e p m za U No n 4 za mp

Diagramma ad albero 4 e p m za U No n 4 za mp e

Riferimenti bibliografici: Clara Colombo Bozzolo, Primi elementi di logica, insiemi, relazioni, La scuola, 1993

Riferimenti bibliografici: Clara Colombo Bozzolo, Primi elementi di logica, insiemi, relazioni, La scuola, 1993 Gia Filipozzi Maricchiolo, Logica, probabilità, statistica e informatica, Fabbri editori, 1990 Tenuta, Itinerari di logica, probabilità, statistica, informatica, La scuola, 1992 Lanciotti, Marazzani, Logica, Carocci Faber, 2004 Fine