A Catalansszefggsrl Molnr Istvn Szent Istvn Egyetem Agrr

  • Slides: 29
Download presentation
A Catalan-összefüggésről Molnár István Szent István Egyetem Agrár- és Gazdaságtudományi Kar Békéscsaba 1

A Catalan-összefüggésről Molnár István Szent István Egyetem Agrár- és Gazdaságtudományi Kar Békéscsaba 1

A Catalan-összefüggésről Eugène Charles Catalan n 1814 -1894 belga matematikus fő kutatási területe a

A Catalan-összefüggésről Eugène Charles Catalan n 1814 -1894 belga matematikus fő kutatási területe a lánctörtek és a számelmélet 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 2

A Catalan-összefüggésről Állítás (Catalan-összefüggés) Minden n pozitív egész szám esetén fennáll a következő összefüggés:

A Catalan-összefüggésről Állítás (Catalan-összefüggés) Minden n pozitív egész szám esetén fennáll a következő összefüggés: 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 3

A Catalan-összefüggésről Bizonyítás 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 4

A Catalan-összefüggésről Bizonyítás 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 4

Alkalmazások 5

Alkalmazások 5

A Catalan-összefüggésről 1. feladat Mutassuk meg, hogy ha 2017. április 8. és , akkor

A Catalan-összefüggésről 1. feladat Mutassuk meg, hogy ha 2017. április 8. és , akkor Hajnal Imre Módszertani Nap 6

A Catalan-összefüggésről 1. feladat megoldása (ahol felhasználtuk azt a tényt, hogy a zárójelekben lévő

A Catalan-összefüggésről 1. feladat megoldása (ahol felhasználtuk azt a tényt, hogy a zárójelekben lévő mennyiségek különbsége minden esetben pozitív szám) 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 7

A Catalan-összefüggésről 2. feladat Bizonyítsuk be, hogy ha n egy pozitív egész szám, akkor

A Catalan-összefüggésről 2. feladat Bizonyítsuk be, hogy ha n egy pozitív egész szám, akkor 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 8

A Catalan-összefüggésről 2. feladat megoldása 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 9

A Catalan-összefüggésről 2. feladat megoldása 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 9

A Catalan-összefüggésről Következmény Ha n pozitív egész szám, akkor illetve 2017. április 8. Hajnal

A Catalan-összefüggésről Következmény Ha n pozitív egész szám, akkor illetve 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap

A Catalan-összefüggésről 3. feladat Mutassuk meg, hogy bármely n pozitív egész szám esetén 2017.

A Catalan-összefüggésről 3. feladat Mutassuk meg, hogy bármely n pozitív egész szám esetén 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 11

A Catalan-összefüggésről 3. feladat megoldása 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 12

A Catalan-összefüggésről 3. feladat megoldása 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 12

A Catalan-összefüggésről 3. feladat általánosítása Hogyan változik a Catalan-összefüggés bal oldalán álló kifejezés, ha

A Catalan-összefüggésről 3. feladat általánosítása Hogyan változik a Catalan-összefüggés bal oldalán álló kifejezés, ha a jobb oldalon szereplő kifejezésben a tagok tetszőleges pozitív egész hatványa szerepel, azaz ha a jobboldalon álló kifejezés alakú, ahol p pozitív egész? 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 13

A Catalan-összefüggésről 3. feladat általánosítása 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 14

A Catalan-összefüggésről 3. feladat általánosítása 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 14

A Catalan-összefüggésről 3. feladat általánosítása Összefoglalva: Bármely n pozitív egész szám esetén ahol p

A Catalan-összefüggésről 3. feladat általánosítása Összefoglalva: Bármely n pozitív egész szám esetén ahol p pozitív egész. 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 15

A Catalan-összefüggésről 4. feladat Legyenek m és n olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy

A Catalan-összefüggésről 4. feladat Legyenek m és n olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy Bizonyítsuk be, hogy m osztható 1979 -cel! 21. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia (London, 1979) 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 16

A Catalan-összefüggésről 4. feladat megoldása 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 17

A Catalan-összefüggésről 4. feladat megoldása 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 17

A Catalan-összefüggésről 4. feladat megoldása(folytatás) A zárójelben lévő kifejezés a közös nevezőre hozás után

A Catalan-összefüggésről 4. feladat megoldása(folytatás) A zárójelben lévő kifejezés a közös nevezőre hozás után alakú lesz, ahol a pozitív egész és. Mivel az 1979 prímszám és b minden tényezője kisebb, mint 1979, következik, hogy b és 1979 relatív prímek. Innen az egyenlőséget átírva alakra és felhasználva, hogy kapjuk, hogy az 1979 osztója kell legyen m-nek. 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 18

A Catalan-összefüggésről 4. feladat általánosítása Legyen p háromnál nagyobb prímszám, valamint legyenek m és

A Catalan-összefüggésről 4. feladat általánosítása Legyen p háromnál nagyobb prímszám, valamint legyenek m és n olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy Ekkor m osztható p-vel. 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 19

A Catalan-összefüggésről 4. feladat általánosítása (megoldás) Mivel p háromnál nagyobb prímszám, ezért vagy alakú,

A Catalan-összefüggésről 4. feladat általánosítása (megoldás) Mivel p háromnál nagyobb prímszám, ezért vagy alakú, ahol. Ha , akkor 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap

A Catalan-összefüggésről 4. feladat általánosítása ( p=6 k+1 eset) 2017. április 8. Hajnal Imre

A Catalan-összefüggésről 4. feladat általánosítása ( p=6 k+1 eset) 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap

A Catalan-összefüggésről 4. feladat megoldása( p=6 k+1 eset) A zárójelben lévő kifejezés a közös

A Catalan-összefüggésről 4. feladat megoldása( p=6 k+1 eset) A zárójelben lévő kifejezés a közös nevezőre hozás után alakú lesz, ahol a pozitív egész és. Mivel a 6 k+1 prímszám és b minden tényezője kisebb, mint 6 k+1, következik, hogy b és 6 k+1 relatív prímek. Innen az egyenlőséget átírva alakra és felhasználva, hogy kapjuk, hogy a 6 k+1 osztója kell legyen az m-nek, azaz p osztója m-nek. 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 22

A Catalan-összefüggésről 5. feladat 57. Putnam verseny (1996) Ha p háromnál nagyobb prímszám és

A Catalan-összefüggésről 5. feladat 57. Putnam verseny (1996) Ha p háromnál nagyobb prímszám és akkor bizonyítsuk be, hogy a összeg osztható 2017. április 8. , -tel. Hajnal Imre Módszertani Nap 23

A Catalan-összefüggésről 5. feladat megoldása A feltételek alapján a minden binomiális együttható osztható p-vel

A Catalan-összefüggésről 5. feladat megoldása A feltételek alapján a minden binomiális együttható osztható p-vel 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 24

A Catalan-összefüggésről 5. feladat megoldása (folytatás) Lássuk be, hogy az S összeg osztható p-vel.

A Catalan-összefüggésről 5. feladat megoldása (folytatás) Lássuk be, hogy az S összeg osztható p-vel. Ha az S-ben szereplő törtek számlálóiban a megfelelő műveleteket elvégezzük, az összevonások után S átírható alakra, ahol 2017. április 8. egészek. Hajnal Imre Módszertani Nap 25

A Catalan-összefüggésről 5. feladat megoldása (folytatás) A 4. feladat általánosítása alapján: alakú, ahol az

A Catalan-összefüggésről 5. feladat megoldása (folytatás) A 4. feladat általánosítása alapján: alakú, ahol az m osztható p-vel (azaz és az n nem többszöröse p-nek. 2017. április 8. , Hajnal Imre Módszertani Nap ) 26

A Catalan-összefüggésről 5. feladat megoldása (folytatás) Mindezek alapján ahol egyetlen nevező sem osztható p-vel,

A Catalan-összefüggésről 5. feladat megoldása (folytatás) Mindezek alapján ahol egyetlen nevező sem osztható p-vel, tehát az S osztható p-vel. 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 27

A Catalan-összefüggésről Néhány alkalmazási lehetőség Az alábbi általános tagú sorozatok vizsgálata: ahol k, n,

A Catalan-összefüggésről Néhány alkalmazási lehetőség Az alábbi általános tagú sorozatok vizsgálata: ahol k, n, p és q pozitív egészek, valamint p > q. 2017. április 8. Hajnal Imre Módszertani Nap 28

Köszönöm a figyelmet! molnar. istvan@gk. szie. hu 29

Köszönöm a figyelmet! molnar. [email protected] szie. hu 29