A BoxJenkins fle modellek Statisztika II VEGTGAM 22

A Box-Jenkins féle modellek Statisztika II. VEGTGAM 22 S Dr Ketskeméty László előadása

ARIMA-modellek A legárnyaltabb, legösszetettebb elemzés a Box és Jenkins által kidolgozott ARIMA-modellekben lehetséges. Az ARIMA-modellek feltételeznek az idősor adatai között meglévő, valamilyen belső sztochasztikus koherenciát, ami tartósan megvan, kimutatható, és feltehetőleg a jövőbeni lefolyás során is jelen lesz. 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 2

ARIMA-modellek • Az ARIMA betűszó egy rövidítés: ARIMA = Auto. Regressive Integrated Moving Averages • Az AR (Auto. Regressive) modell szerint az Xt idősor t időpontbeli értékét a múltbeli idősor értékek súlyozott összege (lineáris kombinációja) és egy korrelálatlan hibatag összege adja meg. • Az MA (Moving Averages) modell szerint az Xt idősor t időpontbeli értéke a múltbeli fehérzaj értékek súlyozott összegeként (lineáris kombinációjaként) állítható elő. • Az I (Integrated) modellt akkor alkalmazzuk, ha az Xt idősor nem stacioner, de véges számú deriválással azzá tehető. Tipikusan ez a helyzet, ha az idősor kummulatív hatásokat tükröz. Pl. a raktárkészletet nem határozzák meg egyetlen időszak beszerzései és eladásai, ezek csupán a raktárkészlet változásait határozzák meg. 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 3

ARIMA-modellek Az ARIMA modellek beazonosításához tanulmányozni kell az Xt idősor belső strukturális kapcsolatait jól leíró autókorrelációs és parciális autókorrelációs mérőszámokat. 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 4

Autokovariancia függvény (AVF): Autokorrelációs függvény (ACF): Parciális autokorrelációs függvény (PACF): 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 5

ARIMA(0, 0, q)=MA(q) modellek ahol fehérzaj folyamat, azaz teljesen független, normális eloszlású változók sorozata A mozgóátlag a folyamat egy fehérzaj folyamat elemeinek lineáris kombinációjaként áll elő. Xt és Xt-1 q-1 változóban közös. Az MA(q) folyamat együtthatói a b 0 , b 1 , …, bq. 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 6

Mozgóátlag modellek, MA(q) Az együtthatók meghatározása: A megoldhatóság feltétele: A komplex egységkörben csak páros multiplicitású gyöke legyen 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 7

Autoregresszív folyamatok ARIMA(p, 0, 0)=AR(p) Az autoregresszív folyamat a megelőző p megfigyelt érték lineáris kombinációja és egy független et hiba összegeként regresszálódik. Az AR(p) folyamat együtthatói az a 1 , …, ap , . 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 8

Autoregresszív folyamatok AR(p) Az együtthatók meghatározása Yule-Walker egyenletrendszerrel: autókovarianciák 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 9

Általános autoregresszív és mozgóátlag folyamatok, ARIMA(p, 0, q)=ARMA(p, q) Integrált autoregresszív és mozgóátlag folyamatok, ARIMA(p, d, q) modellek deriváltsor második deriváltsor Stb. 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 10

Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok ARMA(p, q) Az együtthatók meghatározása: ahol és 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 11

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(0, 0, 1)=MA(1) modellek 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 12

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(0, 0, 2)=MA(2) modell: 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 13

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(1, 0, 0)=AR(1) modellek: 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 14

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(1, 0, 1) modell: 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 15

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(2, 0, 0)=AR(2) modell: 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 16

Modellezés ARMA folyamatokkal 1. lépés: Modell identifikáció Kiválasztjuk az idősorhoz leginkább illeszkedni tudó modellt. Ehhez az empirikus idősor autokorrelációit, parciális autokorrelációit használjuk fel. 2. lépés: A modell paramétereinek kiszámolása Az együtthatók és a sor statisztikáinak az összefüggéséből kiszámoljuk a modell paramétereit. 3. lépés: A modell illeszkedésének ellenőrzése A modell paraméterekre vonatkozó teszteket elemzünk, és a maradéktagot vizsgáljuk, mennyire hasonlít a fehér zajhoz. A portmanteau-próba végrehajtása 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 17

Célunk az, hogy a Magyarország 1975 -1994 közötti villamosenergia termelését jellemző alábbi idősor alapján előrejelzést adjunk a termelés 2003 -ig várható alakulásáról. P É L D A 1. 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 18

Az idősor növekedő trendet mutat és „szemre” úgy tűnik, az emelkedés töretlen. Illesszünk ARIMA modellt az idősorra, és becsüljük előre a menetét 2003 -ig! Ehhez rajzoltassuk ki az idősor ACF és PACF grafikonjait! Analyze / Forecasting / Autocorrelations. . . : Variables: villener, Display: Autocorrelations Partial autocorrelations (OK). P É L D A 1. 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 19

Az ábra alapján „megtippelhetjük” az ARIMA(0, 1, 0) modellt. Nézzük meg, mit ad ki a Analyze/Forecasting/Create Models… parancs Expert Modeller funkciója! Ez a beállítás az összes szóbajöhető modell közül kiválasztja a lehető legjobbat. P É L D A 1. Adjuk ki még a következő parancsokat is: Dependent Variables: villener, Criteria: All Models, Save: Predicted values , Options: First case after end of estimation period through a specified date Observation 30. (OK). 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 20

A legjobbnak ítélt modell az ARIMA(0, 1, 0) , azaz villener deriváltsora! Az illeszkedés igen jó, R squard= 0, 912 és a Ljung-Box próba is sikeres! P É L D A 1. 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 21

Az előrejelzett idősor jól illeszkedik az megfigyelt adatokra, amint azt a következő két grafikonon is láthatjuk. Az előrejelzés szerint a villamosenergia fogyasztásban erős emelkedés várható. P É L D A 1. A Magyarország 1975 -1994 közötti villamosenergia termelését jellemző idősor (villener) és az annak alapján az ARIMA(0, 1, 0) modell segítségével kapott előrejelző függvény. 10/30/2021 Dr Ketskeméty László előadása 22