A 23 Anna Hnat Judyta Tasiemska Instytut Matematyczny

  • Slides: 83
Download presentation
A 23

A 23

Anna Hnat Judyta Tasiemska Instytut Matematyczny Specjalność nauczycielska III rok GRUPY SYMETRII W LINIACH

Anna Hnat Judyta Tasiemska Instytut Matematyczny Specjalność nauczycielska III rok GRUPY SYMETRII W LINIACH RYTMICZNYCH WACŁAWA SZPAKOWSKIEGO

PODSTAWOWE DEFINICJE

PODSTAWOWE DEFINICJE

GRUPA Zbiór z działaniem taki, że: 1) działanie jest łączne 2) w zbiorze jest

GRUPA Zbiór z działaniem taki, że: 1) działanie jest łączne 2) w zbiorze jest element neutralny 3) dla każdego elementu istnieje element do niego odwrotny

(C, +) 1) (a + b) + c = a + (b + c)

(C, +) 1) (a + b) + c = a + (b + c) 2) elementem neutralnym jest liczba 0 3) elementem odwrotnym do liczby a jest liczba -a

(W{0}, ·) 1) (a · b) · c = a · (b · c)

(W{0}, ·) 1) (a · b) · c = a · (b · c) 2) elementem neutralnym jest liczba 1 3) elementem odwrotnym do liczby a jest liczba 1/a

GRUPA SYMETRII FIGURY • Elementami grupy są przekształcenia figury na siebie (identyczność, translacja, symetria

GRUPA SYMETRII FIGURY • Elementami grupy są przekształcenia figury na siebie (identyczność, translacja, symetria osiowa, obrót, symetria z poślizgiem). • Działaniem grupowym jest składanie przekształceń. • Składanie przekształceń jest łączne, ale nie jest przemienne. • Elementem neutralnym jest identyczność. • Dla każdego elementu istnieje element do niego odwrotny.

TRANSLACJA

TRANSLACJA

OBRÓT

OBRÓT

SYMETRIA OSIOWA

SYMETRIA OSIOWA

SYMETRIA Z POŚLIZGIEM Jest to złożenie symetrii osiowej z translacją o pewien wektor równoległy

SYMETRIA Z POŚLIZGIEM Jest to złożenie symetrii osiowej z translacją o pewien wektor równoległy do osi symetrii.

FRYZ Figura płaska, nieograniczona o symetrii translacyjnej. Translacja jest realizowana tylko w jednym kierunku.

FRYZ Figura płaska, nieograniczona o symetrii translacyjnej. Translacja jest realizowana tylko w jednym kierunku.

IZOMETRIE WŁASNE FRYZU

IZOMETRIE WŁASNE FRYZU

TYPY FRYZÓW

TYPY FRYZÓW

TYP I • translacja

TYP I • translacja

TYP II • translacja • symetria względem osi pionowej

TYP II • translacja • symetria względem osi pionowej

TYP III • translacja • symetria względem osi poziomej

TYP III • translacja • symetria względem osi poziomej

TYP IV • translacja • symetria z poślizgiem

TYP IV • translacja • symetria z poślizgiem

TYP V

TYP V

TYP VI • translacja • symetria względem osi pionowej • symetria z poślizgiem •

TYP VI • translacja • symetria względem osi pionowej • symetria z poślizgiem • obrót o 180°

TYP VII • translacja • symetria względem osi pionowej • symetria względem osi poziomej

TYP VII • translacja • symetria względem osi pionowej • symetria względem osi poziomej • obrót o 180°

TWIERDZENIE Istnieje dokładnie 7 typów fryzów wymienionych wcześniej.

TWIERDZENIE Istnieje dokładnie 7 typów fryzów wymienionych wcześniej.

PODSTAWOWE OBSERWACJE

PODSTAWOWE OBSERWACJE

DOWÓD Istnieje 16 podzbiorów 4 -elementowego zbioru symetrii własnych fryzu. 8) Tr S_ S→

DOWÓD Istnieje 16 podzbiorów 4 -elementowego zbioru symetrii własnych fryzu. 8) Tr S_ S→ 1) Tr 9) Tr S_ S→ SI 2) Tr SI 10) Tr S_ S→ O 3) Tr S_ 11) Tr S_ S→ SI O 4) Tr S→ 12) Tr S S_ I 5) Tr O 13) Tr SI O 14) Tr S_ O 6) Tr SI S→ O 15) Tr SI S→ 7) Tr SI O S_ 16) Tr O S→

TAPETA Figura płaska, nieograniczona o symetrii translacyjnej. Translacja jest realizowana w dwóch kierunkach.

TAPETA Figura płaska, nieograniczona o symetrii translacyjnej. Translacja jest realizowana w dwóch kierunkach.

IZOMETRIE WŁASNE TAPETY

IZOMETRIE WŁASNE TAPETY

TWIERDZENIE Istnieje dokładnie 17 typów tapet.

TWIERDZENIE Istnieje dokładnie 17 typów tapet.

DOWÓD Analogiczny jak w przypadku fryzów, ale żmudny.

DOWÓD Analogiczny jak w przypadku fryzów, ale żmudny.

SYMETRIE LINII RYTMICZNYCH

SYMETRIE LINII RYTMICZNYCH

WACŁAW SZPAKOWSKI ur. 09. 10. 1883 Warszawa, zm. 07. 02. 1973 Wrocław

WACŁAW SZPAKOWSKI ur. 09. 10. 1883 Warszawa, zm. 07. 02. 1973 Wrocław

WACŁAW SZPAKOWSKI C. D. • • architekt artysta plastyk z zamiłowania muzyk prekursor op-artu,

WACŁAW SZPAKOWSKI C. D. • • architekt artysta plastyk z zamiłowania muzyk prekursor op-artu, sztuki geometrycznej i minimal-artu

ŹRÓDŁA INSPIRACJI

ŹRÓDŁA INSPIRACJI

WACŁAW SZPAKOWSKI Autoportret wielokrotny, 1912

WACŁAW SZPAKOWSKI Autoportret wielokrotny, 1912

Witkacy, Portret wielokrotny, 1915 Marcel Duchamp, Portret wielokrotny, 1917

Witkacy, Portret wielokrotny, 1915 Marcel Duchamp, Portret wielokrotny, 1917

SZTUKA GEOMETRYCZNA • kryzys tradycyjnej sztuki mimetycznej • przeciwieństwo abstrakcji organicznej • operowanie różnymi

SZTUKA GEOMETRYCZNA • kryzys tradycyjnej sztuki mimetycznej • przeciwieństwo abstrakcji organicznej • operowanie różnymi formami geometrii

SZTUKA GEOMETRYCZNA C. D. Piet Mondrian (1872 -1944) Composition II in Red, Blue and

SZTUKA GEOMETRYCZNA C. D. Piet Mondrian (1872 -1944) Composition II in Red, Blue and Yellow

OP-ART • oddziaływanie na oko widza, a nie na jego intelekt czy emocje •

OP-ART • oddziaływanie na oko widza, a nie na jego intelekt czy emocje • złudzenia optyczne wywołujące wrażenia głębi oraz ruchu rozwibrowaniem pola widzenia • abstrakcyjne kombinacje linii

OP-ART C. D. Victor Vasarely (1908 -1997) Rzeźba w Peczu

OP-ART C. D. Victor Vasarely (1908 -1997) Rzeźba w Peczu

MINIMAL-ART • ograniczenie w dziele środków plastycznych, wyeliminowanie „śladu autorskiego”, tworzenie prac o anonimowej

MINIMAL-ART • ograniczenie w dziele środków plastycznych, wyeliminowanie „śladu autorskiego”, tworzenie prac o anonimowej atmosferze • uproszczona bryła, podstawowe kształty (okrąg, trójkąt, prostokąt), gładkie powierzchnie • spokój, kontemplacja, medytacja, bezruch, cisza

MINIMAL-ART C. D. Kazimierz Malewicz (18791935) ICzarny kwadrat

MINIMAL-ART C. D. Kazimierz Malewicz (18791935) ICzarny kwadrat

LINIE RYTMICZNE • powstawały w latach 1900 -1954 • są podzielone na serie: A

LINIE RYTMICZNE • powstawały w latach 1900 -1954 • są podzielone na serie: A 0, A, B, C, D, E, F, S • były wystawiane: Łódź (1978), Wrocław (1979, 1994), Paryż (1983), Budapeszt (1989), Warszawa (1991, 1993), Lyon (1992), Bruksela (1992), Słupsk (1994), Poznań (1997), Lublin (1998)

CECHY LINII RYTMICZNEJ 1) ciągłość linii 2) stały kąt załamania 90° 3) długości odcinków

CECHY LINII RYTMICZNEJ 1) ciągłość linii 2) stały kąt załamania 90° 3) długości odcinków są współmierne między sobą 4) łamana daje się kontynuować w nieskończoność 5) powtarzalność motywów – np. jodełki, grzebyka, członów meandra itp. 6) wielokrotne zastosowanie symetrii

„(…)Linearną prawidłowość swoich światów, do której doszedł, chciał udowodnić matematyką i geometrią. Porządek świata,

„(…)Linearną prawidłowość swoich światów, do której doszedł, chciał udowodnić matematyką i geometrią. Porządek świata, porządek przyrody, budowy liści, drzew, formy znajdowane w przyrodzie, instynktownie znajdowane u ludów prymitywnych w budownictwie, wzorach ludowych, to wszystko potwierdzało tę drogę. Teraz to były linie geometryczne. . . ” Anna Szpakowska-Kujawska

„(…)pomysły liniowe zbliżają się do twórczości muzycznej, a w szczególności do jej pewnego rodzaju

„(…)pomysły liniowe zbliżają się do twórczości muzycznej, a w szczególności do jej pewnego rodzaju - melodii, gdyż posiadają rytmikę…” Wacław Szpakowski

A 23

A 23

TYP VI (32 przykłady) Tr SI S→ O

TYP VI (32 przykłady) Tr SI S→ O

D 8 1928

D 8 1928

A 0 1930 A 0000 1926 A 000 1930 A 00000 1927

A 0 1930 A 0000 1926 A 000 1930 A 00000 1927

A 000000 1927 A 6 1924 -1925 A 8 1923 -1924 A 7 1924

A 000000 1927 A 6 1924 -1925 A 8 1923 -1924 A 7 1924 -1925

A 10 1924 A 12 1924 A 11 1924 A 13 1924

A 10 1924 A 12 1924 A 11 1924 A 13 1924

A 14 1924 -1925 Seria A, poz. 23, ok. 1924 B 11 1924 -1925

A 14 1924 -1925 Seria A, poz. 23, ok. 1924 B 11 1924 -1925 Seria B, poz. 31, ok. 1924

B 8 1925 B 1 1925 B 6 1924 B 7 1924

B 8 1925 B 1 1925 B 6 1924 B 7 1924

C 1 1924 Seria D, poz. 47, 1925 D 3 1925

C 1 1924 Seria D, poz. 47, 1925 D 3 1925

E 1 1926 E 2 1926 E 3 1926 E 5 1926

E 1 1926 E 2 1926 E 3 1926 E 5 1926

Seria F, poz. 68, ok. 1925 Seria S, poz. 78, ok. 1939 -1943 F

Seria F, poz. 68, ok. 1925 Seria S, poz. 78, ok. 1939 -1943 F 1 1925 -1926 F 2 1925 -1926

TYP V (9 przykładów) Tr O

TYP V (9 przykładów) Tr O

D 6 1926

D 6 1926

A 00 1930 A 1 1930 A 2 1924 A 3 1924

A 00 1930 A 1 1930 A 2 1924 A 3 1924

B 9 1926 Seria B, poz. 30, ok. 1924

B 9 1926 Seria B, poz. 30, ok. 1924

D 4 1925 D 5 1926

D 4 1925 D 5 1926

TYP IV (5 przykładów) Tr S→

TYP IV (5 przykładów) Tr S→

Seria F, poz. 67, 1924 -1925

Seria F, poz. 67, 1924 -1925

A 4 1923 -1924 A 5 1923 -1924

A 4 1923 -1924 A 5 1923 -1924

C 4 1924 D 11 1928

C 4 1924 D 11 1928

TYP II (3 przykłady) Tr SI

TYP II (3 przykłady) Tr SI

B 13 1926

B 13 1926

C 2 1924

C 2 1924

F 3 1925

F 3 1925

TYP I (1 przykład) Tr

TYP I (1 przykład) Tr

D 7 1928

D 7 1928

TYP III Tr S_

TYP III Tr S_

TYPU III NIE DA SIĘ ZREALIZOWAĆ METODĄ SZPAKOWSKIEGO a) linia rytmiczna w całości pokrywa

TYPU III NIE DA SIĘ ZREALIZOWAĆ METODĄ SZPAKOWSKIEGO a) linia rytmiczna w całości pokrywa się z poziomą osią symetrii: powstaje linia bez załamań (linia Szpakowskiego ma załamania) b) linia rytmiczna na żadnym odcinku nie pokrywa się z poziomą osią symetrii - linia w ogóle nie przecina osi symetrii: powstają dwie rozłączne linie (linia Szpakowskiego jest pojedynczą linią) - linia przecina oś symetrii: powstaje łamana zamknięta (linia Szpakowskiego nie jest łamaną zamkniętą) c) linia rytmiczna na pewnych odcinkach pokrywa się z poziomą osią symetrii: powstaje łamana zamknięta (linia Szpakowskiego nie jest łamaną zamkniętą)

TYP VII Tr SI O S_

TYP VII Tr SI O S_

TYPU VII NIE DA SIĘ ZREALIZOWAĆ METODĄ SZPAKOWSKIEGO Nie da się go zrealizować, ponieważ

TYPU VII NIE DA SIĘ ZREALIZOWAĆ METODĄ SZPAKOWSKIEGO Nie da się go zrealizować, ponieważ symetria względem osi poziomej nie jest możliwa do zrealizowania.

FAKTYCZNIE II POZORNIE VI F 3

FAKTYCZNIE II POZORNIE VI F 3

FAKTYCZNIE IV POZORNIE VI A 5

FAKTYCZNIE IV POZORNIE VI A 5

FAKTYCZNIE V POZORNIE VI A 2

FAKTYCZNIE V POZORNIE VI A 2

WNIOSKI • Ulubionym typem symetrii Szpakowskiego jest typ VI (translacja, symetria względem osi pionowej,

WNIOSKI • Ulubionym typem symetrii Szpakowskiego jest typ VI (translacja, symetria względem osi pionowej, symetria z poślizgiem). W symetriach pozornych również typ VI występuje najczęściej. • W Liniach rytmicznych niemożliwe jest zrealizowanie typu III oraz typu VII. • Podział Linii rytmicznych na serie nie jest oparty na typie ich symetrii. • Pozorne typy symetrii w Liniach rytmicznych Wacława Szpakowskiego wskazują na jego zainteresowanie op-artem.

PROGRAM KALI http: //www. geometrygames. org/Kali/index. html

PROGRAM KALI http: //www. geometrygames. org/Kali/index. html

WYDARZENIA KULTURALNE • wystawa monograficzna Wacław Szpakowski (1883 -1973) Linie rytmiczne w Muzeum Miejskim

WYDARZENIA KULTURALNE • wystawa monograficzna Wacław Szpakowski (1883 -1973) Linie rytmiczne w Muzeum Miejskim Wrocławia – Pałac Królewski (08. 06. 2016 – 31. 07. 2016) • koncert Adama Bałdycha w Muzeum Miejskim Wrocławia – Stary Ratusz (09. 06. 2016) • wystawa prac Wacława Szpakowskiego w galerii Łącznik – Wydział Matematyki i Informatyki UWr (wrzesień 2016)

Dziękujemy za uwagę.

Dziękujemy za uwagę.