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Geometria Euclidiana AUTORIA: Cintia Lapa EDIÇÃO DE CONTEÚDO: Lúcio Carneiro REVISÃO DE TEXTO: Ana Izabel Marques Armstrong ©Shutterstock/Bent Chang CRÉDITOS DAS IMAGENS DE ABERTURA: Latin. Stock/Corbis/DK Limited; ©i. Stockphoto. com/Jorge Delgado; ©i. Stockphoto. com/Dario Sabljak; Mary Evans Picture Library; ©Shutterstock/joingate

©Glow Images/Mary Evans Picture Librar y Quais são os entes geométricos primitivos?

Conceitos primitivos Ponto “Ponto é aquilo que de nada é parte. ” Reta “Linha é comprimento sem largura. ” Plano “Superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura. ”

©Shutterstock/Bent Chang Proposições primitivas

Postulado 1 Dada uma reta r, existem infinitos pontos pertencentes a ela e há infinitos pontos não pertencentes a ela:

Postulado 2 Dado um plano α, existem infinitos pontos pertencentes a ele e há infinitos pontos não pertencentes a ele: Os pontos A, B e C são coplanares.

Postulado 3 Dado dois pontos distintos A e B, existe uma, e somente uma, reta r que passa por esses dois pontos: Ou seja: dois pontos distintos sempre são colineares. Pode-se dizer também que dois pontos distintos A e B determinam uma reta AB As proposições que necessitam de demonstrações para serem aceitas chamam-se teoremas. Os pontos que pertencem a mesma reta são denominados colineares. Os pontos que pertencem ao mesmo plano são denominados coplanares.

Postulado 4 Se dois pontos distintos A e B pertencem a um plano α, então a reta r que passa pelos pontos A e B está contida em α:

Postulado 5 Dados três pontos distintos A, B e C, não pertencentes à mesma reta (não colineares), existe um único plano α que passa por esses três pontos:

Postulado 6 Dado um ponto P, por ele passam infinitas retas:

Postulado 7 (Postulado de Euclides) Dados uma reta r e um ponto P não pertencente à reta r, existe uma, e somente uma, reta s paralela a r passando por P:

Postulado 8 Um ponto P pertencente a uma reta r divide-a em duas semirretas opostas cuja origem é P:

Postulado 9 Uma reta r contida em um plano α divide-o em dois semiplanos opostos cuja origem é a reta r:

Determinação de um plano Um plano α fica determinado por três pontos A, B e C não colineares. Portanto, três pontos não colineares são sempre coplanares e sobre eles passa um único plano:

Determinação de um plano Um plano α também fica determinado por: Duas retas r e s paralelas Duas retas r e s concorrentes Uma reta r e um Ponto P fora dela

©Shutterstock/Bent Chang Posições relativas

Posições relativas de um ponto e uma reta Um ponto pode pertencer ou não a uma reta.

Posições relativas de um ponto e um plano Um ponto P pode pertencer ou não a um plano α.

Posições relativas entre duas retas Retas coplanares Retas paralelas Retas reversas Retas concorrentes

Posições relativas entre dois planos Planos paralelos Planos concorrentes ou secantes

Posições relativas entre uma reta e um plano Reta paralela ao plano Reta contida no plano Reta concorrente a um plano

Posições relativas entre uma reta e um plano Uma reta t é perpendicular a um plano α quando: I. a reta t for perpendicular a duas retas concorrentes r e s do plano α; II. a reta t for perpendicular a uma reta e ortogonal a outra, sendo r e s retas concorrentes do plano α; III. a reta t for ortogonal às retas r e s concorrentes do plano α.

Perpendicularidade entre dois planos Dois planos, α e β, são perpendiculares se um a reta r de α é perpendicular a β.