9 Elektrick obvody s harmonicky sa meniacimi veliinami

9. Elektrické obvody s harmonicky sa meniacimi veličinami v ustálenom stave • Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov • Komplexná reprezentácia harmonických veličín, fázory (komplexory) • Vzťah medzi napätiami a prúdmi ideálnych obvodových prvkov (dvojpólov) • Impedancia, admitancia • Výkon v obvodoch s harmonickými veličinami • Analýza lineárnych obvodov pomocou komplexnej algebry, analógia s metódami riešenia v ustálenom stacionárnom stave • Indukčne viazané obvody (obvody s magnetickou väzbou)

9. 1. Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov Pod pojmom harmonický priebeh rozumieme taký časový priebeh napätia, resp. prúdu, ktorý možno vyjadriť pomocou harmonických funkcií v tvare: f - frekvencia T - perióda kde Um (Im) je maximálna hodnota u ( i) vlastne je fázový uhol - uhlová konštanta a je Fázový - amplitúda, uhol vyjadruje vzdialenosť najbližšieho maxima týchto parametrov je zrejmý z uhlová frekvencia harmonického napätia (prúdu). Význam od počiatku súradnicovej sústavy, obrázku: nakoľko funkcia cos(x) nadobúda maximálne hodnoty pre argument x=0+2 k (k je ľubovoľné celé číslo). Pre k=0 platí t+ u=0, z čoho vychádza čas maxima tmax= - u/. Fázový uhol sa zvykne udávať v stupňoch [°] alebo v Um radiánoch [rad]. T 9 -1

9. 2. Komplexná reprezentácia harmonických veličín, fázory Pri riešení elektrických obvodov s harmonickými veličinami využívame (podobne ako pri obvodoch v stacionárnom ustálenom stave) platnosť Ohmovho zákona a Kirchhoffových zákonov. Problémom je tu. Poznámky: skutočnosť, že aplikáciou týchto zákonov (ako aj odvodených metód) Je nutné dodržiavať rôzne typyriešenie písma pre rôznu dostaneme sústavy • trigonometrických rovníc, ktorých je síce možné, ale je veľmi reprezentáciu obvodových veličín pracné (je potrebné vykonávať operácie s harmonickými (je to rôzne danématematické rozdielnym fyzikálnym, resp. funkciami, ktoré významom časových priebehov, majú rôzne amplitúdy a matematickým fázové uhly). fázorov, maximálnych hodnôt a pod. ). • Imaginárna jednotka sa v elektrotechnike zvykne označovať symbolom „j“ (symbol „i“ označuje obyčajne okamžitú hodnotu prúdu). Aby sme sa vyhli spomenutým komplikáciám pri riešení (z matematického hľadiska), je vhodné reprezentovať harmonické veličiny pomocou komplexných čísiel nazývaných fázory (komplexory, časové vektory). Výhodou je tu zjednodušenie riešenia obvodu, nakoľko matematické úkony s komplexnými číslami sú omnoho jednoduchšie, ako s harmonickými funkciami. 9 -2

9. 2. 1. Pojem fázor Nech je daný harmonický časový priebeh napätia všeobecne ako Poznámky: • V prípade obvodov s harmonickými veličinami sa zvyčajne používajú namiesto maximálnych fázorov efektívne fázory. Rozdiel spočíva v tom, Tomuto harmonickému priradíme že veľkosť napätiu efektívneho fázora komplexné je namiesto číslo maximálnej hodnoty obvodovej veličiny určená jej tzv. efektívnou hodnotou nazývané maximálny rotujúci fázor napätia vzťahu To znamená, že s U meniacim časom m(t) podľasa fázor napätia rotuje v komplexnej rovine Dôvod je praktický – bežné striedavé meracie prístroje sú kalibrované na proti smeru hodinových ručičiek s efektívnu uhlovou hodnoturýchlosťou harmonických Preto ak pri výpočtoch (pozriveličín. obrázok). použijeme. Tuefektívne fázory, možnosť sa ukazuje aj inýmáme názorný význampriameho porovnania U je komplexná konštanta nazývaná m nameraných a vypočítaných hodnôt napätí alebo prúdov. Je zrejmé, že harmonické napätie predstavuje reálnu zložku fázového uhla u – je tovlastne uhol, ktorý zviera maximálny fázor napätia (nerotujúci). Je • Vrotujúceho ďalšomrotujúci texte budeme efektívne fázory fázor používať harmonickej veličiny s (ak nebude uvedené maximálneho fázora napätia. daná vzťahom inak) a kladnou pre reálnou jednoduchosť nebudeme indexy „ef“. osou komplexnej rovinypísať Výraz fázor Z výrazu pre rotujúci vyplýva, v čase t=0. že jeho veľkosť (modul) určená Je zrejmé, že poloha tohoto maximálnou hodnotou harmonickej veličiny nezávisí od času. komplexného čísla v komplexnej predstavuje teda efektívny rotujúcirovine fázor a znamená obyčajný sa s časom nemení. Rotácia fázora je S časom sa mení len jehoefektívny fázový uhol (argument) ktorého okamžitá (nerotujúci) fázor. vyjadrená výrazom Namiesto hodnota je • daná výrazomzápisu u+. t fázora pomocou exponenciálnej funkcie sa niekedy používa tzv. verzorový tvar: Vzťah pre rotujúci fázor možno jednoducho Symbol „ “ tu označuje fázovýupraviť uhol. do podoby 9 -3

9. 3. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho rezistora Nech prúd a napätie na ideálnom rezistore R sú dané vzťahmi u. R(t) i. R(t) R Nakoľko pre ideálny rezistor platí v ľubovoľnom časovom okamihu Ohmov zákon, možno napätie vyjadriť pomocou prúdu ako Z porovnania obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že To znamená, že pri rotácii oboch fázorov v komplexnej rovine je ich vzájomný uhol To znamená, že platí Ohmov zákon pre maximálne hodnoty nulový (pozri obrázok). (podobne, ako pre stacionárne napätie a prúd rezistora). Okrem toho je zrejmé, že fázový uhol napätia a prúdu rezistora je rovnaký (hovoríme, že napätie a prúd ideálneho rezistora sú vo fáze). Pre efektívne rotujúce fázory platí 9 -4

9. 4. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho induktora Nech prúd a napätie na ideálnom induktore L sú dané vzťahmi u. L(t) i. L(t) L V časti 2. 6. 5. sme ukázali, že napätie na ideálnom induktore je Poznámky: priamo úmerné časovej zmene prúdu tečúceho cez induktor. • Vzájomný vzťah medzi fázormi napätia a prúdu možno vyjadriť aj priamo Matematickypomocou to možnofázorov: vyjadriť ako uvedeného výrazu je zrejmé, derivácia Z porovnania. Z obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že rotujúceho fázora podľa času je To znamená, žeže pri rotácii ekvivalentná vynásobeniu pôvodného (nezderivovaného) fázora výrazom oboch fázorov v komplexnej j. rovine je ich vzájomný uhol rovný + /2 známu (pozri obrázok). • Pri úpravách sme využili rovnosť Fázový uhol napätia na ideálnom induktore je v ľubovoľnom časovom okamihu väčší o /2 (90°) ako fázový uhol prúdu (hovoríme, že napätie predbieha prúd ideálneho induktora o /2). Pre efektívne rotujúce fázory platí 9 -5

9. 5. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho kapacitora Nech prúd a napätie na ideálnom kapacitore C sú dané vzťahmi u. C(t) i. C(t) C V časti 2. 6. 4. sme ukázali, že napätie na ideálnom kapacitore je Poznámky: priamo úmerné náboju nazhromaždenému na elektródach, ktorý je • Vzájomný vzťah medzi fázormi napätia a prúdu možno aj v tomto prípade daný ako integrál prúdu. Matematicky možno vyjadriť ako vyjadriť priamo pomocou to fázorov: Z uvedeného výrazu je zrejmé, integrál rotujúceho fázora podľa času je To znamená, žeže pri rotácii Z porovnania obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že ekvivalentný vydeleniu pôvodného (nezderivovaného) fázora výrazom j. oboch fázorov v komplexnej rovine je ich vzájomný uhol • Pri úpravách sme využili známu rovnosť rovný - /2 (pozri obrázok). Fázový uhol napätia na ideálnom kapacitore je v ľubovoľnom časovom okamihu menší o /2 (90°) ako fázový uhol prúdu (hovoríme, že napätie zaostáva za prúdom ideálneho kapacitora o /2). Pre efektívne rotujúce fázory platí 9 -6

9. 6. Impedancia v obvodoch s harmonickými veličinami Impedancia ideálneho Z predchádzajúcich úvah vyplýva užitočný poznatok – ak časové priebehy harmonických napätí Impedancia ideálneho kapacitora je rovná rezistora je rovnáfázormi, je možnéinduktora a prúdov nahradíme fázor napätia vyjadriť ako súčin komplexnej konštanty a fázora prúdu. Napr. pre ideálne jednoduché obvodové prvky platí UR IR UC UL IL R L IC C Uvedené skutočnosti sa dajú zovšeobecniť aj na prípad ľubovoľného dvojpólu poskladaného z ideálnych pasívnych obvodových prvkov (dvojpólov). Spomínaná komplexná konštanta potom vyjadruje vzťah medzi fázormi napätia a prúdu Z výrazu je zrejmé, že všeobecne (nielen na jednoduchých obvodových prvkoch). impedancia nezávisí od času! Táto komplexná konštanta má rozmer odporu ( - Ohm) a preto sa nazýva aj zdanlivý odpor, Fázový uhol impedancie je resp. impedancia - Z. Impedanciu teda možno všeobecne vyjadriť ako podiel fázora napätia a daný ako rozdiel fázového uhla napätia a prúdu (je to vlastne obdoba, resp. zovšeobecnenie Ohmovho zákona): UZ IZ Z Schematická značka impedancie je taká istá, ako v prípade rezistora. Veľkosť impedancie je daná podielom veľkostí (resp. efektívnych hodnôt) napätia a prúdu 9 -7

9. 6. 1. Zložkový tvar impedancie, rezistancia a reaktancia Impedancia sa zvykne vyjadrovať aj v zložkovom tvare ako Reálna zložka impedancie predstavuje tzv. skutočný odpor dvojpólu – R (rezistancia), ktorý nemusí byť totožný s odporom nameraným pri stacionárnych ustálených prúdoch (napr. v prípade ideálneho rezistora a kapacitora zapojených do série by sme namerali nekonečný odpor). Rezistancia môže nadobúdať len kladné hodnoty. Imaginárna zložka impedancie sa nazýva reaktancia - X. Reaktancia môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. Vtedy hovoríme, že impedancia má induktívny charakter, lebo reaktancia ideálneho induktora sa rovná V druhom prípade hovoríme, že impedancia má kapacitný charakter, lebo reaktancia ideálneho kapacitora sa rovná 9 -8

9. 7. Admitancia a jej zložky (konduktancia, susceptancia) Prevrátená hodnota impedancie má rozmer elektrickej vodivosti. Fázový (S - Siemens) a nazýva sa uhol admitancie je daný ako rozdiel fázového admitancia - Y. uhla prúdu a napätia Admitanciu možno všeobecne vyjadriť ako podiel fázora prúdu a napätia: Aj admitancia sa dá vyjadriť v zložkovom tvare: Veľkosť admitancie je daná podielom veľkostí (resp. efektívnych hodnôt) prúdu a napätia Reálna zložka admitancie predstavuje tzv. skutočnú vodivosť dvojpólu - G (konduktancia) ktorá nemusí byť totožná s vodivosťou nameranou pri stacionárnych ustálených prúdoch (napr. v prípade ideálneho rezistora a kapacitora zapojených do série by sme namerali nulovú vodivosť). Konduktancia môže nadobúdať len kladné hodnoty. Imaginárna zložka admitancie sa nazýva susceptancia - B. Susceptancia môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. 9 -9

9. 8. Výkon v obvodoch s harmonickými veličinami Nech sú dané harmonické časové priebehy napätia a prúdu všeobecne ako Potom môžeme definovať výkon v ľubovoľnom časovom okamihu (okamžitý výkon) ako súčin okamžitých hodnôt napätia a prúdu: Po jednoduchých úpravách s využitím známeho vzťahu pre súčin dvoch harmonických funkcií dostávame výsledok v tvare Časový priebeh okamžitého výkonu teda tvoria dve zložky: • konštanta • periodický harmonický priebeh s dvojnásobnou uhlovou frekvenciou (2 ) Z porovnania vzťahu pre konštantnú zložku okamžitého výkonu a definičného výrazu pre impedanciu vyplýva dôležitá skutočnosť – argument funkcie cos v konštantnej zložke výkonu je rovný fázovému uhlu impedancie! (možnosť kontroly správnosti numerických výpočtov). 9 -10

9. 8. 1. Stredná hodnota výkonu Časové priebehy napätia u(t), prúdu i(t) a okamžitého výkonu p(t) sú znázornené na obrázku: u(t) i(t) p(t) T Stredná hodnota časového priebehu okamžitého výkonu p(t) je Všimnite si, že je zhodný s konštantnou zložkou časového priebehu výkonu p(t)! Táto veličina sa nazýva činný (skutočný, wattový) výkon a predstavuje časť energie (za jednotku času), ktorá sa na dvojpóle s daným časovým priebehom napätia a prúdu nevratne premení na teplo. Udáva sa vo Wattoch (W). 9 -11

9. 8. 2. Komplexná reprezentácia výkonu Podobne, ako v prípade napätia a prúdu je možné priradiť súčinu dvoch harmonických funkcií komplexné číslo – časový vektor, ktorého reálna zložka predstavuje časový priebeh tohoto súčinu. Pre okamžitý výkon vieme nájsť zodpovedajúci fázor v tvare * znamená komplexne združený časový vektor (rotujúci fázor) prúdu. Ak dosadíme za efektívne rotujúce fázory napätia a prúdu príslušné definičné vzťahy, možno prvý člen výrazu upraviť do podoby z Poznámka: ktorej je zrejmé, že časovo premenlivú Nareálna rozdielčasť od predstavuje výkonu v stacionárnom zložku výkonu P ustálenom stave nestačí jednoducho vynásobiť fázor napätia fázorom prúdu. Podobne možno upraviť druhý člen výrazu do tvaru z ktorého vyplýva, že reálna časť predstavuje konštantnú zložku výkonu Z praktického hľadiska je zaujímavá práve táto (konštantná) časť časového vektora výkonu, ktorá sa nazýva komplexný výkon: Je zrejmé, že táto časť časového vektora nezávisí od času. 9 -12

9. 8. 3. Zložky komplexného výkonu V praxi sa komplexný výkon najčastejšie vyjadruje v zložkovom tvare: Reálna zložka komplexného výkonu P je už spomenutý činný výkon: Činný výkon na pasívnom dvojpóle (impedancii) môže mať len kladné hodnoty. Veličina cos( p) sa nazýva účinník. Imaginárna zložka komplexného výkonu Q sa nazýva jalový (reaktívny) výkon a predstavuje časť energie (za jednotku času) vynaloženú na vytvorenie magnetického, resp. elektrického poľa na dvojpóle s daným časovým priebehom napätia a prúdu. Udáva sa vo volt-ampéroch Poznámka: reaktančných (VAr). Komplexný výkon sa dá znázorniť v komplexnej pomocou Jalový výkon na pasívnom dvojpólerovine môže mať kladné aj záporné hodnoty (podľa toho, aké pravouhlého tzv. výkonového znamienko má imaginárna zložka Zimpedancie trojuholníka. geometrie- reaktancia). trojuholníka vyplýva: Im{S} Absolútna hodnota (veľkosť) komplexného výkonu S sa nazýva S zdanlivý výkon. Nemá priamy fyzikálny význam. Udáva sa vo voltampéroch (VA). p 0 P Q Re{S} 9 -13

9. 9. Analýza lineárnych obvodov pomocou komplexnej algebry Výhody použitia komplexnej reprezentácie obvodových veličín a náhrady pasívnych obvodových prvkov impedanciami (alebo admitanciami) možno najjednoduchšie demonštrovať na príklade. Príklad: V obvode s harmonickými veličinami na obrázku je dané: R 4 L 1 R 1 L 4 C 2 R 3 u 5(t) i 6(t) Poznámka: V skutočnosti potrebujeme 12 rovníc, Úloha: pretože u každej obvodovej veličiny Vypočítajte časové priebehy všetkých neznámych obvodových veličín potrebujeme vypočítať amplitúdu aj (napätí aj prúdov)! fázový uhol. Poznámka: V tomto obvode je 5 neznámych prúdov a 1 neznáme napätie na prúdovom zdroji – spolu 6 neznámych veličín. Potrebujeme teda sformulovať sústavu 6 rovníc so 6 neznámymi veličinami. 9 -14

9. 9. 1. Priame riešenie pomocou harmonických funkcií Najskôr si ukážeme klasický postup bez využitia fázorov: Postup pri riešení: 1 B C 1. V obvode vyznačíme zvolené smery A neznámych obvodových veličín Poznámka: (nesmieme zabudnúť na napätia na i 1(t) R 1 iu 5(t) L 1 C 2 i 2(t) R 2 pri tom známe vzťahy Využijeme ideálnych prúdových zdrojoch). medzi napätiami R 3 a prúdmi na S 2 obvodových 2. u 5(t) Zvolíme pravý strom (jeho vetvy sú S 3 ui 6(t) ideálnych prvkoch (pozri kapitoly 9. 3. , 9. 4. a 9. 5. ). vyznačené svetlozelenou farbou) i 3(t) i 6(t) V príslušných harmonických 3. Na základe jeho voľby sformulujeme funkciách ale nie vždypomocou poznáme I. resp. II. Kirchhoffovho zákona Rovnice pre vyznačené uzly (I. amplitúdy a fázové uhly (sú to potrebný počet rovníc (podľa toho, akou Kirchhoffov zákon): neznáme veličiny, ktoré je potrebné metódou ideme obvod riešiť). nájsť). A: a. I. Kirchhoffov zákon využijeme na Je zrejmé, že ďalšie pokračovanie v určenie 3 rovníc (obvod má 4 uzly). riešení nemá zmysel, nakoľko by bolo B: Zvolené uzly sú vyznačené modrou potrebné riešiť sústavu šiestich farbou. trigonometrických rovníc, pri úprave C: b. použitiu II. Kirchhoffov zákon využijeme na ktorých by sme sa nevyhli Rovnice pre vyznačené slučky určenie rôznych súčtových vzťahov pre zvyšných 3 rovníc (v obvode (II. Kirchhoffov zákon): trigonometrické funkcie a pod. sa dajú zvoliť 3 nezávislé slučky). Zvolené slučky sú vyznačené S 1: tyrkysovou farbou. 4. Za jednotlivé napätia a prúdy dosadíme S 2: príslušné harmonické funkcie. i 4(t) R 4 S L 4 S 3: 9 -15

9. 9. 2. Nepriame riešenie pomocou fázorov – voľba metódy Na tom istom príklade ukážeme princíp riešenia založený na použití komplexnej reprezentácie obvodových veličín a náhrady pasívnych obvodových prvkov impedanciami (alebo admitanciami). Postup pri riešení: 1. V obvode vyznačíme zvolené smery fázorov neznámych obvodových veličín. 2. Zvolíme pravý strom (jeho vetvy sú vyznačené svetlozelenou farbou). Ak nahradíme úseky so skutočnými pasívnymi prvkami príslušnými impedanciami a zdroje nahradíme fázormi, dostávame zjednodušený obvod znázornený na obrázku: A IZ 1 IZ 4 B IZ 2 Z 1 Iu 5 U 5 C Z 3 UI 6 IZ 3 0 Jednotlivé impedancie a efektívne zdrojov majú tvar: fázory 3. Na základe jeho voľby sformulujeme pomocou I. resp. II. Kirchhoffovho zákona potrebný počet rovníc (podľa toho, akou metódou ideme obvod riešiť). V tomto prípade možno použiť napr. metódu slučkových (alebo tetivových) prúdov, resp. uzlových (alebo vetvových) napätí (vždy stačí riešiť dve rovnice o 2 neznámych). 4. Zvolíme si napr. metódu uzlových napätí. Uzol 0 zvolíme za referenčný a pomocou I. Kirchoffovho zákona (podobne ako priamom riešení) pre uzly A, B a C sformulujeme sústavu 3 rovníc v ktorej vystupujú fázory 5 neznámych (Iu 5 , IZ 1, IZ 2, IZ 3, IZ 4) a 1 známeho prúdu (I 6). 9 -16

Nepriame riešenie pomocou fázorov – symbolické riešenie A IZ 1 Iu 5 U 5 IZ 4 Z 1 UB 0 UA 0 UI 6 B IZ 2 I 6 0 Rovnice pre fázory prúdov (I. Kirchhoffov zákon): A: B: C: Sústava upravených rovníc: A: B: C: 5. V obvode vyznačíme napätia uzlov A, B a C voči referenčnému uzlu 0 – uzlové C napätia. Sú to pochopiteľne tiež fázory. 6. Fázory neznámych prúdov vyjadríme Z 2 Poznámka: pomocou uzlových napätí a známych UC 0 pre. Z 3 uzly A, impedancií. Rovnice B a C sa dajú Neznáme napísať aj pre rotujúce fázory. napätie To alena prúdovom zdroji (UI 6) je totožné s uzlovým IZ 3 praktický nemá žiadny význam, lebo napätím UB 0. Uzlové napätie každý rotujúci fázor obsahuje výraz UA 0 je známe, lebo je totožné s napätím zdroja U 5. 7. Získané vzťahy dosadíme do rovníc pre ktorý sa vykráti. uzly A, B a C. Dostaneme tak sústavu troch rovníc pre dve neznáme uzlové napätia (UB 0 a UC 0) a jeden neznámy prúd, ktorý tečie cez napäťový zdroj (Iu 5). 8. Po následnej úprave a premiestnení členov so známymi veličinami na pravé strany rovníc dostaneme upravenú sústavu rovníc, ktorú môžeme riešiť ľubovoľnou matematickou metódou. 9. Nakoľko neznámy prúd sa nachádza iba v jedinej rovnici (pre uzol A), postačí vyriešiť len sústavu zvyšných dvoch rovníc (pre uzly B a C) pre dve neznáme uzlové napätia (UB 0 a UC 0). Ostatné neznáme veličiny sa totiž dajú vypočítať pomocou nich. 9 -17

Nepriame riešenie pomocou fázorov – numerické riešenie A IZ 1 Iu 5 U 5 IZ 4 B IZ 2 Z 1 UB 0 Z 2 UA 0 UI 6 UC 0 I 6 Z 3 IZ 3 9. Symbolické výrazy pre jednotlivé impedancie a fázory napätí zdrojov C nahradíme číselnými hodnotami. 10. Vyriešením sústavy posledných dvoch rovníc získame číselné hodnoty efektívnych fázorov uzlových napätí UB 0 a UC 0, ktoré dosadíme do prvej rovnice. Takto určíme aj prúd Iu 5. 0 Sústava upravených rovníc s dosadenými číselnými hodnotami v maticovom tvare: A: B: C: Číselné výsledky riešenia sústavy: 9 -18

Určenie časových priebehov z vypočítaných fázorov Efektívne fázory hľadaných obvodových veličín: 11. Pomocou už známych hodnôt uzlových napätí vypočítame efektívne fázory prúdov tečúcich cez jednotlivé impedancie. 12. Časové priebehy neznámych obvodových veličín určíme ako reálne zložky maximálnych rotujúcich fázorov (efektívne fázory vynásobíme a výrazom ). Poznámka: Veľkosti efektívnych fázorov je možné odmerať priamo pomocou striedavého ampérmetra resp. voltmetra. To je dôvod, prečo sa pri výpočtoch používajú efektívne fázory. Časové priebehy hľadaných obvodových veličín: 9 -19

9. 9. 3. Skúška správnosti riešenia Najspoľahlivejšia skúška správnosti riešenia je výkonová bilancia elektrického obvodu. Poznámka: Výkonová bilancia spočíva v určení komplexných výkonov všetkých aktívnych (zdrojov) aj Treba si uvedomiť, že I. (ako aj II. ) Kirchhoffov pasívnych zákon prvkov (spotrebičov - impedancií). platí pre vektorový súčet fázorov v komplexnej rovine, ale nie pre veľkosti týchto Ak sú obvodové veličiny vypočítané správne, súčet komplexných výkonov musí byť nulový. fázorov!!! Súčet veľkostí fázorov je: Výkonová bilancia je náročná na numerické výpočty, preto sa obyčajne robí zjednodušená skúška správnosti, ktorou sa overuje platnosť základných rovníc. Skúsme napr. overiť platnosť I. Kirchhoffovho zákona pre uzol A: Všetkysúčet fázory s meniacim Z obrázku je zrejmé, že vektorový sa čím časom rotujú v fázorov v komplexnej rovine je nulový, je platnosť rovnice overená. komplexnej Podobným rovine proti hodinových ručičiek spôsobom možno overiť platnosťsmeru ostatných s uhlovou rýchlosťou , ale rovníc pre fázory prúdov, ako aj napätí. ich vzájomná poloha Dá sa ukázať, že súčet prúdov vystupujúcich v zostáva nezmenená! rovnici pre uzol A bude nulový v ľubovoľnom časovom okamihu, teda rovnosť je splnená aj pre rotujúce fázory ako aj ich priemety do reálnej osi – časové priebehy. Im{I} Iu 5 IZ 4 0 IZ 1 IZ 4 Re{I} IZ 1 -Iu 5 9 -20

Skúška správnosti riešenia – súčet časových priebehov Aplikáciou I. Kirchoffovho zákona na uzol A pre časové priebehy sme dostali rovnicu: A: Na obrázku sú znázornené výpočtom zistené časové priebehy prúdov v tejto rovnici: Z obrázku je zrejmé, že v ľubovoľnom čase je súčet vyznačených harmonických časových priebehov skutočne nulový. iu 5(t) -iu 5(t) i 1(t) i 4(t) 0 -iu 5(t) + i 1(t) + i 4(t) = 0 t 9 -21

9. 10. Riešenie obvodov so vzájomnými indukčnosťami Ako už bolo spomenuté v predchádzajúcich častiach, štvorpól s riadenými zdrojmi Znamienka v rovniciach sú určené reprezentujúci prvok so vzájomnou indukčnosťou možno veličín opísať (prúdov) pomocou sústavy dvoch smerom riadiacich vzhľadom na začiatok vinutí; uvedené rovníc v tvare, ktoré platia pre ľubovoľné časové priebehy obvodových veličín: rovnice platia v prípade, že sa i 1(t) M i 2(t) magnetické toky vyvolané prúdmi tečúcimi cez jednotlivé vinutia spočítavajú. u 1(t) L 1 L 2 u 2(t) Riešenie elektrických obvodov so vzájomnými indukčnosťami má niektoré špecifiká vyplývajúce z použitia náhradných modelov reálneho obvodového prvku (transformátora). Poznámka: Univerzálnou náhradou je štvorpól obsahujúci zdroje napätia riadené prúdmi, v niektorých Ďalší postup pri riešení takýchto prípadoch sa dá použiť náhrada pomocou tzv. T-článku (pozri predchádzajúce časti). obvodov je štandardný (pozri metódu tetivových resp. slučkových prúdov). V prípade náhrady pomocou štvorpólu s riadenými zdrojmi je najjednoduchšie použiť metódu tetivových (slučkových) prúdov, pretože vtedy možno riadiace veličiny zdrojov napätia (prúdy) priamo stotožniť s neznámymi (a známymi) tetivovými, resp. slučkovými prúdmi. Ak sa obvod nachádza v harmonickom ustálenom stave, rovnice možno prepísať pomocou Využili sme skutočnosť, že derivácii fázorov, ktoré priradíme jednotlivým obvodovým rotujúcehoveličinám, fázora do tvaru podľa času zodpovedá vynásobenie pôvodného (nezderivovaného) fázora výrazom j. 9 -22

9. 10. 1. Obvody so vzájomnými indukčnosťami – príklad V nasledujúcom príklade ukážeme postup pri formulovaní sústavy rovníc potrebných pre vyriešenie elektrického obvodu so vzájomnými indukčnosťami v harmonickom ustálenom stave metódou slučkových prúdov. Príklad: V obvode s harmonickými veličinami na obrázku je dané: i 2(t) i 1(t) M R 1 u 1(t) L 1 L 2 C 2 Smery napätí riadených Úloha: zdrojov sú určené zvolenými Vypočítajte časové priebehy všetkých neznámych smermi prúdov! fázorov prúdov I 2 I 1 pri riešení: vzhľadom. Postup na začiatok vinutí. 1. Úseky so skutočnými pasívnymi prvkami Z 1 nahradíme príslušnými impedanciami, transformátor nahradíme štvorpólovým Z 2 U 1 j MI 2 prvkom s riadenými zdrojmi a zdroje j MI 1 nahradíme fázormi. 2. Dostávame zjednodušený obvod znázornený na obrázku. 3. V obvode vyznačíme zvolené smery fázorov neznámych obvodových veličín. 9 -23

Fomulácia rovníc a numerické riešenie I 1 I 2 Z 1 U 1 S 1 j MI 2 S 2 Z 2 j MI 1 S 1: S 2: Sústava upravených rovníc v maticovom tvare: 4. V obvode vyznačíme potrebný počet uzavretých slučiek. 5. Pomocou II. Kirchhoffovho zákona napíšeme pre každú slučku príslušnú rovnicu. 6. Získané rovnice upravíme do vhodného tvaru tak, aby na ľavých stranách rovníc zostali iba členy s neznámymi veličinami. 7. Symbolické výrazy pre jednotlivé impedancie a fázory napätí zdrojov nahradíme číselnými hodnotami. 8. Vyriešením sústavy dvoch rovníc získame číselné hodnoty efektívnych fázorov (slučkových) prúdov I 1 a I 2. 9. Časové priebehy neznámych prúdov i 1(t) a i 2(t) určíme ako reálne zložky maximálnych rotujúcich fázorov. Číselné výsledky riešenia sústavy: Časové priebehy hľadaných prúdov: 9 -24

9. 11. Záver Z predchádzajúcich príkladov je zrejmé, že použitie komplexných vektorov (fázorov) prináša značné zjednodušenie riešenia elektrických obvodov v harmonickom ustálenom stave. Výhodou takéhoto prístupu je skutočnosť, že sa dajú použiť tie isté postupy a metódy, ako pri riešení obvodov v stacionárnom ustálenom stave. Jedinou komplikáciou je to, že namiesto reálnych konštánt pracujeme pri výpočtoch s komplexnými konštantami (namiesto rezistorov sa v obvode vyskytujú impedancie, namiesto napätí a prúdov ideálnych zdrojov resp. známych aj neznámych obvodových veličín používame fázory). Z uvedeného vyplýva, že nutnou podmienkou úspešného zvládnutia tejto kapitoly predmetu Elektrické obvody je dokonalé ovládanie komplexného počtu. Preto je nevyhnutné zopakovať si základné matematické úkony s komplexnými číslami (súčet, rozdiel, súčin, podiel, umocňovanie a odmocňovanie). 9 -25

Príloha Stredná hodnota periodickej veličiny je definovaná ako výška obdĺžnika nad periódou T, ktorého plocha je rovnaká ako plocha pod krivkou určenou daným časovým priebehom: Poznámka: Časť plochy v časovom intervale, kedy periodická Stacionárny (jednosmerný) prúd I=Ia prenesie za časový interval o veličina nadobúda záporné hodnoty sa uvažuje so dĺžke periódy Tzáporným rovnaké znamienkom. množstvo elektrického náboja ako Ia T = Preto je stredná hodnota harmonickej funkcie periodický prúd i(t). nulová (kladná a záporná polvlna sa odčítajú). Efektívna hodnota periodickej veličiny je definovaná ako druhá odmocnina zo strednej hodnoty druhej mocniny priebehu V prípade harmonického časového priebehu prúdu periodickej veličiny: (alebo napätia) v tvare dostávame pre efektívnu hodnotu prúdu (napätia) výsledok V prípade prúdu ju možno interpretovať ako taký stacionárny prúd I=Ief, ktorý na danom rezistore R v časovom intervale o dĺžke periódy T vyvinie rovnaké množstvo tepla, ako periodický prúd i(t). 9 -26