9 Dualni problem primer Operaciona istraivanja 10162021 1
9. Dualni problem -primer. Operaciona istraživanja 10/16/2021 1
Primer 1. 5. n Naći vrednosti promenljivih x 1 i x 2, tako da se postigne minimalna vrednost funkcije cilja ¨ n Z=24 x 1+30 x 2 pod ograničavajućim uslovima: 10/16/2021 2
Dualni problem n Koristeći pravila za formulisanje dualnog problema, potrebno je izračunati vrednosti n tako da se postigne maksimalna vrednost funkcije cilja 10/16/2021 3
n Pri ograničenjima 10/16/2021 4
Veza PP i DP Broj realnih promenljivih u PP je dve n Broj dodatnih promenljivih u PP je tri (tri ograničenja) n Broj realnih promenljivih u DP je tri n Broj dodatnih promenljivih u DP je dve (dva ograničenja) n 10/16/2021 5
Rešavanje dualnog problema n n Definisani dualni problem je standardni problem maksimizacije. Pretvaranje sistema nejednačina u sistem jednačina uvođenjem dodatnih promenljivih 10/16/2021 6
n Dualni problem: ¨ Funkcija ¨ Sistem ¨ Uslov 10/16/2021 cilja ograničenja nenegativnosti 7
n Problem možemo izraziti u matričnom obliku na sledeći način 10/16/2021 8
n I bazično moguće rešenje 1. Baza: Baza se formira od vektora koji odgovaraju dodatnim promenljivim, tako da će početna baza biti odnosno 10/16/2021 9
2. Bazične promenljive, 3. Nebazični vektori (kao linearna kombinacija bazičnih vektora), 10/16/2021 10
4. Funkcija cilja n Funkcija cilja za nebazične vektore 10/16/2021 11
n Kriterijum za ulazak vektora u bazu je pri čemu je u početnom bazičnom rešenju j=1, 2, 3 (nebazični vektori), pa imamo 10/16/2021 12
n Prema kriterijumu za izlazak vektora iz baze sledi 10/16/2021 13
n Prema tome n II bazično moguće rešenje 1. Baza 2. Bazične promenljive 10/16/2021 14
3. Linearna kombinacija 4. Funkcija cilja 10/16/2021 15
n U bazu ulazi n Bazu napušta 10/16/2021 16
n III bazično moguće rešenje 1. Baza 2. Bazične promenljive 10/16/2021 17
3. Linearna kombinacija 4. Funkcija cilja 10/16/2021 18
n U bazu ulazi n III BMR je optimalno rešenje, jer su sve vrednosti za nebazične vektore 10/16/2021 19
n Optimalno rešenje dualnog problema je n Optimalno rešenje primarnog problema je n Vrednost funkcije cilja dualnog i primarnog problema iznosi 10/16/2021 20
Primer 1. 6 n n n Preduzeće proizvodi dva proizvoda A i B, koji u procesu proizvodnje prolaze kroz dva proizvodna pogona. U posmatranom periodu prvi pogon raspolaže kapacitetom od 18. 000 radnih časova, a drugi kapacitetom od 12. 000 radnih časova. Vreme obrade jedinice proizvoda A u prvom pogonu je 3 radna časa, a u drugom pogonu jedan radni čas. Vreme obrade proizvoda B u prvom pogonu je 2 radna časa a u drugom pogonu 2 radna časa. Za proizvodnju oba proizvoda koristi se jedna sirovina, i to za oba proizvoda po dve jedinice, pri čemu preduzeće raspolaže sa 14. 000 jedinica posmatrane sirovine. Na osnovu kalkulacije cene koštanja i prodajne cene posmatranih proizvoda, konstatovano je da se po jedinici proizvoda A ostvaruje profit u iznosu od 120 eur, dok se po jedinici proizvoda B ostvaruje profit od 160 eur. Odrediti optimalan program proizvodnje posmatranih proizvoda, za koji će se ostvariti maksimalan ukupan profit. Formulisati dualni problem i odrediti njegovo optimalno rešenje. 10/16/2021 21
Primarni problem n Odgovarajući problem LP je 10/16/2021 22
n Rešavajući zadatak korišćenjem simpleks metoda, dolazi se do optimalnog rešenja, kako sledi n Vrednost funkcije cilja 10/16/2021 23
n I Dancigov simpleks kriterijum za nebazične vektore je n što ukazuje da je dobijeno optimalno rešenje postavljenog problema. 10/16/2021 24
Dualni problem n Dualni problem, na osnovu našeg osnovnog zadatka (primarnog problema), možemo predstaviti u obliku 10/16/2021 25
n Rešenja za promenljive dualnog problema, na osnovu optimalnog rešenja primarnog problema, mogu se izračunati iz relacije n gde i=1, 2, 3, a p=2 predstavlja broj realnih promenljivih primarnog zadatka. 10/16/2021 26
n Optimalne vrednosti realnih promenljivih dualnog problema su: n Na osnovu teoreme zaključujemo da promenljiva y 1 ima vrednost jednaku nuli zato što je njoj odgovarajuća dodatna promenljiva primarnog problema x 3=2. 000. Vrednost funkcije cilja vmin=1. 040. 000 n 10/16/2021 27
Objašnjenje dualnih promenljivih n n Povećanjem kapaciteta prvog pogona ne bi se mogao, u postojećim (zadatim) uslovima poslovanja preduzeća povećati ostvareni profit (y 1=0), što je posledica činjenice da se ni postojeći kapacitet prvog pogona ne koristi u potpunosti (x 3 = 2. 000). Povećanje kapaciteta drugog pogona za 1 radni čas dovelo bi do povećanja ukupnog profita za 40 eur (y 2=40), koliko bi iznosilo povećanje profita ukoliko se nivo korišćenja posmatrane sirovine poveća za jednu jedinicu (y 3 = 40). 10/16/2021 28
- Slides: 28