8 Statistik Selang untuk Sampel Tunggal 1 Sebelumnya

8 Statistik Selang untuk Sampel Tunggal 1

• Sebelumnya telah dipelajari bagaimana menduga parameter dari data/pengamatan di dalam sampel • Selang kepercayaan dipelajari untuk mengetahui seberapa baik penduga tersebut diperoleh. • Batasan yang menyajikan selang bagi nilai-nilai yang mungkin bagi parameter adalah “penduga selang” • Tiga tipe selang: • Selang kepercayaan, • Selang prediksi, • Selang toleransi (*) 2 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan Ragam Diketahui Rata-rata sampel menyebar secara normal dengan nilai tengah μ dan ragam σ2/n Sehingga dapat dibakukan menjadi normal baku: Z ~ N(0, 1) 3 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan Ragam Diketahui Akan dibentuk batas bawah dan batas bagi nilai μ, dengan tingkat keyakinan/kebenaran 1 - α Selang kepercayaan 100(1 – α)% bagi μ dengan batas bawah l dan batas u 4 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan Ragam Diketahui Penentuan batas didasarkan pada sifat sebaran normal baku yang melibatkan μ dan rata-rata sampel Dengan sedikit manipulasi, maka peluang tersebut menjadi: 5 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan Ragam Diketahui Definisi: Bagi sampel acak yang berasal dari populasi dengan sebaran normal, berdasarkan rata-rata sampel dan ragam σ2 yang diketahui, maka selang kepercayaan 100(1 – α)% bagi μ adalah: Dengan zα/2 nilai pada sebaran normal baku dengan ujung kanan seluas α/2 6 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Contoh: • Ingin diketahui kekuatan material logam yang diukur pada suhu 600. Percobaan dilakukan pada sampel logam sebanyak 10, dan diperoleh hasil pengukuran kekuatan (dalam Joule) sbb: 64. 1, 64. 7, 64. 5, 64. 6, 64. 5, 64. 3, 64. 6, 64. 8, 64. 2, dan 64. 3. • Diasumsikan bahwa kekuatan logam tadi menyebar secara normal dengan σ = 1 Joule, ingin dibentuk selang kepercayaan 95 % bagi μ, nilai tengah/rata-rata kekuatan logam. Selang kepercayaan 95%: 7 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

• Nilai tengah kekuatan logam tersebut hampir pasti (dengan peluang 95%) terletak di antara 63. 84 Joule sampai dengan 65. 08 Joule. Sec 2 - 8 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan Ragam Diketahui Interpretasi bagi Selang Kepercayaan • Selang kepercayaan adalah selang yang bersifat acak • Dari beberapa kali percobaan dengan setting yang sama, terdapat 100(1 - )% selang [l, u] yang memuat nilai . 9 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan Ragam Diketahui Selang Kepercayaan dan Ketepatan Pendugaan Lebar selang kepercayaan adalah ukuran dari ketepatan suatu pendugaan. Semakin lebar suatu selang kepercayaan menunjukkan kurang tepatnya suatu penduga, atau rendahnya tingkat ketelitian percobaan (tingginya error) Jarak antara rata-rata sampel dengan nilai μ yang sebenarnya adalah ukuran error Figure 8 -2 Error in estimating with. © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger. 10

Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan Ragam Diketahui Ukuran sampel n dapat dipilih sedemikian sehingga error tidak melebihi batasan E yang diinginkan. 11 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Contoh: • Dari contoh kekuatan logam sebelumnya, misalkan ingin ditentukan berapa logam yang harus diuji (ukuran sampel) untuk mendapatkan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah kekuatan logam, dengan lebar selang paling banyak 1 Joule. • Lebar selang 1 Joule menjadi batasan bagi error. • Error diperoleh dari separuh lebar selang n ≈ 16 12 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Selang Kepercayaan bagai Nilai Tengah Sebaran Normal, Ragam dihitung dari Sampel berukuran Besar Ketika ragam σ2 tidak diketahui, maka harus dihitung s 2 dari sampel, dan ketika sampel berukuran besar, maka berlaku: Mendekati sebaran normal baku Sehingga selang kepercayaan 100(1 – α)% bagi μ dapat didefinisikan sbb: 13 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Contoh Data berikut adalah tentang level kontaminasi merkuri yang diukur dari sampel ikan di 53 danau di Florida (dalam ppm): 14 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Contoh (lanjut): Statistika deskriptif bagi 53 kadar merkuri (sampel berukuran besar) 15 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Contoh (lanjut): Berdasarkan statistika deskriptif tsb, dapat dihitung selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah kadar merkuri Diasumsikan kadar merkuri menyebar normal. 16 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Sebaran t Digunakan ketika sampel acak dengan ukuran n (kecil) diambil dari sebaran normal dengan μ dan σ2 yang tidak diketahui 17 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Sebaran t pada beberapa k derajat bebas Figure 8 -4 Probability density functions of several t distributions. 18 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Sebaran t Figure 8 -5 Percentage points of the t distribution. 19 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Selang Kepercayaan bagai Nilai Tengah Sebaran Normal, Ragam dihitung dari Sampel berukuran Kecil Dengan mengetahui rata-rata tα/2 , ragam sampel s 2 dan Selang kepercayaan (1 – α)100% bagi μ adalah: 20 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Contoh Ketika dilakukan uji daya rekat spesimen logam yang dilakukan pada 22 sampel, diperoleh hasil pengukuran sbb: Dari sampel tersebut diperoleh: 21 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

• Dengan derajat bebas n – 1 = 21, dapat dihitung selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah daya rekat spesimen logam tersebut: 22 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Selang Prediksi untuk satu pengamatan yang akan datang Xn+1 23 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.

Contoh Kasus daya rekat Dari sampel 22 spesimen diperoleh: Jika akan dilakukan pengukuran untuk spesimen ke-23, maka dapat diprediksi bahwa daya rekat spesimen ke-23 95% akan berada di dalam selang prediksi berikut ini: 24 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers , by Montgomery and Runger.