8 Potenze a esponente razionale Finora abbiamo utilizzato

8. Potenze a esponente razionale Finora abbiamo utilizzato potenze aventi come esponente un numero o naturale o intero relativo. Ora estendiamo la definizione agli esponenti razionali. Consideriamo, per esempio, l’espressione e vediamo se è possibile attribuirle un significato. Per essere una potenza, questa scrittura deve soddisfae le proprietà formali delle potenze. Per esempio, elevandola a esponente 2, deve risultare Poichè anche , allora deve essere : = Da questa uguaglianza possiamo ricavare che =

definizione >0, N ed N 0 , Una potenza con esponente razionale positivo del tipo , dove equivale a un radicale avente per indice il denominatore numeratore della stessa: della frazione e per esponente del radicando il

Nella definizione di potenza a esponente frazionario abbiamo posto come condizione che la base della potenza sia un numero reale positivo: Per la definizione data non ha infatti significato un’espressione del tipo. Infatti, avremmo = e quindi anche = , scritture prive di significato in R. Hanno quindi senso solo le potenze a espnente razionale , nelle quali la base è un numero reale positivo. È possibile estendere la definizione di potenza a esponente frazionario anche al caso in cui l’esponente è negativo Definizione se allora

Proprietà delle potenze a esponente frazionario Le potenze a esponente frazionario godono di tutte le proprietà delle potenze con esponente intero, cioè: 1. 2. 3. 4. 5.

Le proprietà indicate derivano dalle proprietà dei radicali, come possiamo vedere nella dimostrazione della prima. Dimostriamo, per esempio, che: Se N 0 allora Trasformiamo il primo membro nel prodotto dei radicali equivalenti alle potenze frazionarie date: Poi, applicando la proprietà invariantiva, trasformiamo i radicali in altri equivalenti e aventi lo stesso indice, ed eseguiamo il loro prodotto:

Trasformiamo infine, il radicale ottenuto nella corrispondente potenza a esponente frazionario: Abbiamo così verificato che Le altre proprietà si dimostrano in modo analogo. Alla proprietà invariantiva dei radicali corrisponde la proprietà invariantiva delle frazioni; a ogni altra proprietà dei radicali corrisponde una proprietà delle potenze. La teoria dei radicali può allora essere ricondotta a quella delle potenze.

Semplificazione di espressioni contenenti radicali utilizzando la simbologia delle potenze Abbiamo visto che Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza possiamo anche scrivere Per esempio: A seconda del tipo di espressione da risolvere può essere utile passare dal calcolo con le potenze a esponente frazionario a quello con i radicali e viceversa, come si può osservare nei seguenti esempi. Ricordiamo che, non avendo definito le potenze a esponente razionale per basi negative, per ricorrere al procedimento indicato è necessario che i radicandi non siano negativi