8 Formale Sprachen und Grammatiken Computer verwenden zur

8. Formale Sprachen und Grammatiken Computer verwenden zur Verarbeitung von Daten und Informationen künstliche, formale Sprachen (Maschinenspr. , Assemblerspachen, Programmierspr. , Datenbankspr. , Wissensrepräsentationsspr. , . . . ) Vorteile gegenüber natürlichen Sprachen: • exakte Definition der zulässigen Ausdrücke und ihrer Bedeutung • keine Kontextabhängigkeit der Bedeutung • dadurch erheblich leichtere Verarbeitung Eine Sprache L besteht aus Wörtern über einem zugrundeliegenden Alphabet , es gilt also: L Teilmenge von *. Die Syntax einer Sprache legt fest, welche Ausdrücke zur Sprache gehören. Die Semantik legt fest, was die Ausdrücke bedeuten. Endliche Sprachen können durch Aufzählen ihrer Elemente definiert werden, für unendliche Sprachen braucht man endliche Beschreibung. G. Heyer 1 Digitale Informationsverarbeitung

Formale Sprachen Formale Sprache Alphabet: geordneter Zeichenvorrat Formale Sprache: Menge von Zeichenketten, die aus den Symbolen eines beliebigen Alphabets aufgebaut sind. Zeichenkette: endliche Folge von Symbolen, die ohne Zwischenraum hintereinander geschrieben werden (Verkettung) Wohlgeformtheit Definition der zulässigen Zeichenketten einer Sprache durch induktive Definition: 1. definitorische Anfangsbestimmung 2. generierende Bestimmung 3. Abschlußbestimmung G. Heyer 2 Digitale Informationsverarbeitung

Aussagenlogik - Syntax Eine atomare Formel hat die Form Ai (wobei i = 1, 2, 3): (1) Alle atomaren Formeln sind Formeln. (2 a) Für alle Formeln F und G sind (F&G) und (Fv. G) Formeln. (2 b) Für jede Formel F ist ¬F eine Formel. (3) Nichts ist eine Formel, was nicht als solche durch (1) und (2) bestimmt ist. G. Heyer 3 Digitale Informationsverarbeitung

Axiomensystem für Aussagenlogik (A 1) (A (B A)) (A 2) ((A (B C)) ((A B) (A C))) (A 3) (( B A) (( B A) B)) Inferenzregel: Gilt A und A B, folgere B (modus ponens) G. Heyer 4 Digitale Informationsverarbeitung

Grammatiken Formale Sprachen können durch Grammatiken beschrieben werden. Eine Grammatik G = (V, , P, S) besteht aus folgenden Komponenten: • einer endlichen Menge V von Variablen (Nichtterminalsymbolen), • dem endlichen Terminalalphabet , • einer endlichen Menge P von Regeln , wobei und aus V und gebildet sind, • einer Startvariablen S aus V. Die durch G erzeugte Sprache L(G) wird wie folgt definiert: Die Zeichenkette v heißt direkt ableitbar aus der Zeichenkette u (Notation: u => v) genau dann wenn u = xyz, v = xy'z und y y' P. =>* bezeichnet die reflexive und transitive Hülle von =>. Wir definieren: L(G) = {w * | S =>* w} G. Heyer 5 Digitale Informationsverarbeitung

Ableitungsbaum 1. Die Wurzel des Ableitungsbaums ist mit dem Startsymbol markiert. 2. Ist ein Knoten mit einem Terminalsymbol markiert, dann ist er ein Blatt und hat keinen Sohn. 3. Ist ein Knoten mit einem Nichtterminalsymbol X markiert, und hat er n Söhne, die von links nach rechts mit X 1, X 2, . . . , Xn markiert sind, so enthält die Grammatik die Regel X X 1, X 2, . . . , Xn Die Folge der Blätter von links nach rechts gelesen ergibt ein Wort der Sprache. G. Heyer 6 Digitale Informationsverarbeitung

Chomsky Grammatik Reguläre Sprachen (Typ 3) Produktionsregeln der Form X a. Y X Ya X a Kontextfreie Sprachen (Typ 2) Produktionsregeln der Form X u. Yv Kontextsensitive Sprachen (Typ 1) Produktionsregeln der Form u. Xv u. Yv Unbeschränkte Sprachen (Typ 0) G. Heyer 7 Digitale Informationsverarbeitung

Rechtslineare Grammatik und endliche Automaten Konstruktion eines nichtdeterministischen endlichen Automaten aus einer rechtslinearen Grammatik Input: Rechtslineare Grammatik G=<N, T, P, SG> Output: Nichtdeterministischer endlicher Automat NEA=<E, S, , s 0, F> BEGIN E: =T; s 0: = SG; S: = N { 0}; F: ={Y N Y e P} { 0}; FOR EACH (Y, y) N x T DO (Y, y): = {Z N Y y. Z P}; IF Y y P THEN (Y, y): = (Y, y) { 0} END IF; END FOR; FOR EACH y T DO ( 0, y): = 0 END FOR; END. G. Heyer 8 Digitale Informationsverarbeitung

Typen von Grammatiken eine Grammatik heißt • kontextsensitiv falls für alle Regeln w 1 -> w 2 gilt: |w 1| ≤ |w 2| (|w|: Anzahl der Variablen und Terminalzeichen von w) • kontextfrei falls für alle Regeln w 1 -> w 2 gilt: w 1 aus V • regulär falls zusätzlich gilt: w 2 Terminalzeichen oder Terminalzeichen gefolgt von Variable durch Grammatiktypen erzeugbare Sprachen bilden echte Teilmengen alle Sprachen rekursiv aufzählbare Sprachen durch beliebige Grammatiken erzeugbar kontextsensitive Sprachen kontextfreie Sprachen reguläre Sprachen G. Heyer 9 Chomsky. Hierarchie Digitale Informationsverarbeitung

Eine Grammatik für die natürliche Sprache P: <Satz> -> <Subjekt> -> <Artikel> -> <Attribut> -> <Adjektiv> -> <Substantiv> -> <Prädikat> -> <Objekt> -> <Subjekt> <Prädikat> <Objekt> <Artikel> <Attribut> <Substantiv> der die das <Adjektiv> <Attribut> kleine bissige große Hund Katze jagt <Artikel> <Attribut> <Substantiv> V: {<Satz>, <Subjekt>, <Artikel>, <Attribut>, <Adjektiv>, <Substantiv>, <Prädikat>, <Objekt>} : {der, die, das, kleine, bissige, große, Hund, Katze, jagt} S: <Satz> G. Heyer 10 Digitale Informationsverarbeitung

Eine Ableitung <Satz> => => => => G. Heyer <Subjekt> <Prädikat> <Objekt> <Artikel> <Attribut> <Substantiv> <Prädikat> <Objekt> der <Adjektiv> <Attribut> <Substantiv> <Prädikat> <Objekt> der kleine <Adjektiv> <Substantiv> <Prädikat> <Objekt> der kleine bissige Hund jagt <Artikel> <Attribut> <Substantiv> der kleine bissige Hund jagt die <Adjektiv> <Substantiv> der kleine bissige Hund jagt die große Katze 11 Digitale Informationsverarbeitung

Ein Ableitungsbaum <Satz> <Prädikat> <Subjekt> <Artikel> <Attr. > <Objekt> <Artikel> <Subst. > der G. Heyer <Adj. > kleine bissige <Subst. > <Adj. > <Attr. > Hund jagt 12 die große Katze Digitale Informationsverarbeitung

Akzeption 1. Geht ein Automat = (E, S, u, s 0, F) bei der Verarbeitung eines Eingabewortes w E* in den Zustand sj über, wobei sj ein Finalzustand ist, dann hat w akzeptiert. 2. Die Menge aller Wörter w E*, die der Automat akzeptiert, nennt man Sprache L( ) des Automaten. G. Heyer 13 Digitale Informationsverarbeitung

Automaten und Sprachen Automat endlicher Automat Kellerautomat linear b. Automat Turing. Maschine Sprach- reguläre kontext- unbeschränkte -freie sensitive klasse G. Heyer 14 Digitale Informationsverarbeitung