8 5 Centro de massa Posio do centro

8. 5 – Centro de massa Posição do centro de massa de um sistema de N partículas: i 1 2 Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas Em componentes: (idem para y e z)

Exemplos em 1 D: 2 partículas (a) x. CM (b) (c) x x. CM Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x 1 e x 2: 2/3 m x=0 x 1/3 x. CM 2 m x=L x Kits LADIF

Exemplo: sistema de 3 partículas em 2 D

Distribuições contínuas de massa (qualitativo) Objeto homogêneo com centro geométrico: CM no centro Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo Note que o c. m. pode estar localizado fora do objeto

Movimento do centro de massa Velocidade do centro de massa: Massa total: (momento linear total) Momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa

Como vimos na aula passada, se a resultante das forças externas for nula, ou se o sistema for isolado: Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5 Exemplo: Y&F 8. 14 E se houver força externa resultante não-nula? Derivando mais uma vez:

Pela 2ª Lei de Newton: Soma das forças externas Somatório de todas as forças que atuam sobre todas as partículas Soma das forças internas Como vimos na aula passada, pela 3ª Lei de Newton: (pares ação e reação se cancelam)

Assim: Ou: O centro de massa se move como uma partícula que concentrasse toda a massa do sistema, sob ação da resultante das forças externas Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6

Colisões no referencial do centro de massa: • ausência de forças externas, velocidade do c. m. permanece inalterada pela colisão • referencial do c. m. é inercial Mostrar applet: http: //galileoandeinstein. physics. virginia. edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet. html Trajetória do c. m. A A B C. m. está parado Referencial do c. m. Velocidades no referencial do centro de massa: A B Referencial do laboratório B

Conservação do momento linear: Momento linear também se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)

Energia cinética no referencial do lab: Antes: Mudança de variáveis para velocidade do c. m. e velocidade relativa: Invertendo, obtemos:

Substituindo na expressão para a energia cinética: Após alguma álgebra (quadro negro): Definindo: (massa total) e (massa reduzida)

Obtemos finalmente: Energia cinética do movimento do centro de massa Energia cinética do movimento relativo Análise: 1. Parece com a expressão da energia cinética de duas “partículas” 2. No referencial do c. m. , temos: Ou seja, a energia cinética depende do referencial, e a energia cinética mínima é aquela calculada no referencial do c. m.

3. Antes e depois de uma colisão, a velocidade do c. m. não varia, de modo que a variação da energia cinética é: Ou seja, a variação de energia cinética não depende do referencial (como esperado) 4. Em uma colisão elástica, temos: Ou seja, o módulo da velocidade relativa não é alterado pela colisão

5. A perda máxima de energia cinética (colisão totalmente inelástica), ocorre quando: 0 Desta forma, explica-se porque as partículas ficam “grudadas” depois de uma colisão totalmente inelástica

8. 6 – Propulsão de um foguete Exemplo de movimento de um sistema de massa variável: Instante t Massa m http: //www. youtube. com/watch? v=s. Jj 1 Wpbvx. M 4 Velocidade de exaustão dos gases relativa ao foguete Instante t + dt m +dm dm < 0 -dm

Conservação do momento linear: Infinitésimo de ordem superior Força de propulsão do foguete (proporcional à taxa e à velocidade de exaustão) Note que, ainda que a força seja supostamente constante, a aceleração aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente

Cálculo da velocidade: Exemplo: Y&F 8. 16

Próximas aulas: 4 a. Feira 26/10: Aula de Exercícios (sala A-327) 6 a. Feira 28/10: Feriado 4 a. Feira 02/11: Feriado 6 a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8