7 3 QAMQuadrature Amplitude Modulation QAM2cos 2fctsin 2fct

7. 3 QAM　Quadrature Amplitude Modulation 直交振幅変調(QAM)は、2つのキャリアcos 2πfctとsin 2πfctを使用。それぞれのキャリア は別の情報ビット系列で変調される。 QAM signal employs 2 quadrature carriers, cos 2πfct and sin 2πfct, each of which is modulated by an independent sequence of information bit. 送信信号波は The transmitted signal waveforms is m＝ 1, 2, . . , M (7. 3. 1) {Amc}と{Ams}はkビット系列を信号の振幅にマッピングして獲 られる信号レベルの組。 {Amc} and {Ams} are the sets of amplitude levels that are obtained by mapping k-bit sequence into signal amplitude. 図 7. 11は 4値PAMで直交キャリアを振幅変調した 16 QAM信号 のコンスタレーション。2つの直交キャリアがPAMで変調さ れると，方形の信号コンスタレーションとなる。 Fig. 7. 17 illustrates a 16 QAM signal constellations that is obtained by amplitude modulating each quadrature carrier by M=4 PAM. In general, rectangular signal constellation results when 2 quadrature carriers are each modulated by PAM 16 QAM signal constellations QAMはデジタル振幅変調とデジタル位相変調の組み合わせ。 QAM is viewed as a form of combined digital-amplitude and digital-phase modulation QAM信号は次の式で表される。 QAM signal waveform is expressed by m＝ 1, 2, . . , M 1　n＝ 1, 2, . . , M 2 (7. 3. 2)

M 1＝ 2 k 1, M 2＝ 2 k 2 なら，k 1+k 2＝log 2 M 1 M 2デジットの同時伝送。 If M 1＝ 2 k 1 and M 2＝ 2 k 2 the combined amplitude and phase modulation results in the simultaneous transmission of k 1+k 2＝log 2 M 1 M 2 binary digits. 図 7. 12はQAM変調器の機能ブロック図である。 Fig. 7. 12 illustrates the functional block diagram of a QAM modulator. transmitting filter balanced modulator serial to parallel converter binary data transmitted QAM signal oscillator 90º phase shift transmitting filter Fig. 7. 12 Functional block diagram of a QAM modulator balanced modulator 式(7. 3. 1)と(7. 3. 2)で与えられる信号の表現は，次の形の 2次元ベクトル Geometric signal representation of the signal by (7. 3. 1) and (7. 3. 2) is 2 dimensional signal vectors of the form m＝ 1, 2, . . , M (7. 3. 3) M=4のQAMはM=4のPSKと同じ M=4 QAM is identical to M=4 PSK.

7. 3. 2　QAM変調の復調 Demodulation and Detection ofsampler QAM ψ1(t) clock received signal compute distance metrics 90º phase shift output decision ψ2(t) sampler Fig. 7. 13 Demodulation and Detection of QAM チャネルを通過する信号の伝送に，キャリア位相オフセットφがあると仮定。さらに，受信信号 に加法性雑音が加わる。 Assume that a carrier phase offset is introduced in the transmission of the signal through the channel. In addition, the received signal is corrupted by additive Gaussian noise. このときr(t)は r(t) is expressed by (7. 3. 4)

受信信号は次の 2つの基底関数と相関が取られる。 The received signal is correlated with 2 phase-shifted basis functions (7. 3. 5) 相関器出力は標本化され，判定器に送られる。 The output of correlators are sampled and passed to the detector 図 7. 13のPLLは受信信号のキャリア位相オフセットを推定し，位相シフトしたψ1(t)とψ2(t)のオフ セットを補正。 The phase locked loop shown in Fig. 7. 13 estimates the carrier phase offset φ of the received signal and compensates for the offset by phase shifting as indicated (7. 3. 5). クロックは，相関器出力が適当な時間で標本化されるよう，受信信号と同期していると仮定 The clock is assumed to be synchronized to the received signal so that the correlator outputs are sampled at the proper instant in time. これらの条件下で 2つの相関器の出力は Under these conditions, the outputs from the 2 correlators are (7. 3. 6) (7. 3. 7) 雑音成分は中央値 0，分散N 0/2を持つ相関のないガウス乱数。 Noise components are zero-mean, uncorrelated Gaussian random variables with variance N 0/2 最適な判定器はユークリッド距離 The optimum detector compute the distance metrics m＝ 1, 2, . . , M (7. 3. 8) を計算する。ここでrt=(rc, rs)でsmは式(7. 3. 3)で与えられる。 Where, rt=(rc, rs), and smis given by (7. 3. 3).

ユークリッド距離が最も短いsmを送信シンボルとして判定 Select sm which gives minimum distance as the transmitted symbol 7. 3. 3　AWGN伝送路でのQAMの誤り率 Probability of Error for QAM in an AWGN Channel 方形のコンスタレーションを持つ信号を使ったQAMシステムの性能 Performance of QAM system that employ rectangular signal constellation. QAM信号コンスタレーションは　　の信号点を持つ直交キャリア上の 2つのPAM信号と同 じ。 直交成分にある信号が復調で完全に分離されるので，QAMの誤り率はPAMの誤り率から決 定できる。 QAM signal constellation is equivalent to 2 PAM signal on quadrature carriers, each having signal points. Because the signals in the phase quadrature components are perfectly separated the probability of error for QAM is determined from the probability of error for PAM. M値QAMシステムの正しい判定率は The probability of a correct decision for the M-ary QAM (7. 3. 9) 　　はQAM信号の半分の平均電力を持つ　　値PAMの誤り率。 is the probability of error of a ary PAM with one-half the average power in each quadrature signal of the equivalent QAM system M値PAMの誤り率を変形する。By appropriately modifying the probability of error for M-ary PAM (7. 1. 18) (7. 3. 10) Eav/N 0はシンボルあたりの平均SNR。M値QAMのシンボル誤り率は E /N is the average SNR per symbol. The probability of a symbol error for the M-ary QAM is

(7. 3. 11) この結果はkが偶数のM=2 kについてのみ有効 This result is exact for M=2 k when k is even. kが奇数の　　　値PAMシステムは存在しない。There is no equivalent ary PAM system シンボル誤り率の上限 Upper bounded symbol error probability (7. 3. 10) Eavb/N 0はビットあたりの平均SNRであるEavb/N 0 is the average SNR per bit

Fig. 7. 14 Probability of a symbol error for QAM から計算 Fig 7. 14 is calculated by

例7. 4　QAM信号　QAM simulation M=16 QAM通信システムのモンテカルロシミュレーション Perform a Monte Carlo simulation of an M=16 QAM communication system 4 bit symbol Gaussian RNG M-16 QAM signal generator Gaussian RNG Detector Compare Uniform 　RNG Symbol error counter 情報シンボル[b 1, b 2, b 3, b 4]系列を一様乱数発生器(RNG)を用いて発生。これを図 7. 16に示 す信号点([Amc, Ams])にマッピング。 Uniform RNG generate the sequence of information symbol corresponding to the possible 4 bit combination [b 1, b 2, b 3, b 4]. The information symbols are mapped into the corresponding signal points which have the coordinate ([Amc, Ams]) 雑音成分[nc ns]を 2つのガウス過程によって発生。伝送路の位相シフトφは 0とする。 2 Gaussian RNG generate the noise components [nc ns]. The channel phase shift is set to 0. 受信信号＋雑音ベクトルは The received signal plus noise vector are 復調器は式(7. 3. 8)を計算し，rに最も近い信号点を決定。 誤り計数器は検出された系列でのシンボル誤りを数える。

The detector computes the distance metric given by (7. 3. 8), and decides in favor of the signal point that is closest to the received vector r. The error counter counts the symbol error. . constellation for Monte Carlo Simulation Eb=Es/4はビットエネルギー Eb=Es/4 is bit energy Eb/Noとシンボル誤り率の関係 Results for the transmission of N=10000 symbol at different SNR Ser_16 qamのコメント Comments for Ser_16 qam 1シンボルあたりのエネルギー Energy per 1 symbol (1, 1)→ 12＋12＝ 2，(1, 3)→ 12＋32＝ 10， 32＋12＝ 10，32＋32＝ 18 平均のシンボルエネルギーは 10 Average energy of symbol is 10 Eb=Es/4 　　　　　　　 →

理論誤り率プログラムのコメント Comments for theoretical probability of symbol error

7. 4　通信システムにおける同期　Synchronization of the communication system キャリア同期：Carrier Synchronization PAM，PSK，QAMの復調ではキャリアの周波数と位相情報が必要。 復調器でキャリアと同じ位相と周波数を持つ正弦波を発生させる。 Frequency and phase of carrier must be known to demodulate PAM, PSK, and QAM. In the receiver, sinusoidal wave that has the same frequency and phase must be generated キャリア同期系は位相ロックループ(PLL)によって実現される。 Phase locked loop offer the sinusoidal wave that has the same frequency and phase of the carrier. PLLは局部発振器の位相を制御する非線形フィードバック制御系。PLLは掛け算器，ローパス フィルタ（LPF），電圧制御発振器（VCO：Voltage controlled oscillator）から構成される。 PLL is a nonlinear feedback system that controls the phase generated by the local oscillator. PLL consists of a multiplier, LPF, and Voltage control oscillator. PLLの入力x(t)とVCOの出力y(t)を次のように表す。 x(t) and y(t) denote the input of PLL and the output of VCO. (7. 4. 1) (7. 4. 2) これらを掛け合わせると x(t) is multiplied by y(t) (7. 4. 3)

右辺第 1項をローパスフィルタで取り除き，係数の 0. 5を省略する。ローパスフィルタの出力は First term in the right side is removed by a low-path filter. The coefficient is assumed to be omitted. The output of the low-path filter is expressed as (7. 4. 4) |F-f|と|θ－φ|が十分小さいとき If |F-f| and |θ－φ| are small sufficiently, (7. 4. 5) v(t)>0：VCOの周波数ｆを高くするか位相φを進ませる Increase frequency f or proceed phase φ generated by VCO v(t)<0：VCOの周波数fを低くするか位相φを遅らせる decrease frequency f or delay phase φ generated by VCO v(t)=0となるように制御すればF=f, θ=φとなって搬送波が再生できる。 If we control f and φ so as to be v(t)=0, we can generated the carrier with F=f and θ=φ

例7 -5　PLLによる同期 Synchronization by PLL VCOの初期周波数を 500 Hz，入力を 600 Hzの矩形パルスとする。 Initial frequency generated by VCO is set to 500 Hz. Input signal is a clock of 600 Hz. 矩形パルスに同期した正弦波を再生する。標本時間間隔を 1μsとしローパスフィルタとVCOは 図 7. 19のように構成。 Here, our purpose is to generate a sinusoidal wave synchronized with the clock. The sampling interval is set to 1μs. Block diagrams of LPF and VCO are shown in Fig. 7. 19 図 7. 19　ローパスフィルタとVCO Block diagram of LPF and VCO フィルタの係数aを 0<a<1とするとローパスフィルタとなり，1に近いほど高い周波数成分の除去 作用が大きくなる。bはフィルタの利得を決定。ここではa=0. 99, b=0. 02とする。 If coefficient a was 0<a<1, the filter operates as LPF. When coefficient a is increased toward 1, high frequency component are attenuated. Parameter b controls the gain. We set a=0. 99 and b=0. 02 VCOのsin(・)ブロックは入力xについて　　　　　　 を計算。 Block sin(・) in VCO calculate. x is the input. c 0は正弦波の周波数を決める定数で，標本間隔T，正弦波の周波数をF 0とすれば c 0 decides the sinusoidal frequency. When the sampling interval and the sinusoidal frequency are denoted by T and F 0, 　

VCOのsin( )ブロックに入る位相φ[n]は差分方程式を使うと Input φ[n] to sin () in the VCO is expressed by the differential equation v[n]>0の場合はφ[n]が進み，v[n]<0の場合は位相φ[n]が遅れる。 When v[n]>0, φ[n] increases. When v[n]<0, φ[n] decreases. 矩形波からの正弦波再生 Reproduction of the sinusoidal wave synchronized by the clock