6 OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI 6 1 DEFINICIJE VJEROJATNOSTI

6. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI

6. 1. DEFINICIJE VJEROJATNOSTI • pokus je djelatnost (definiran proces, postupak mjerenja, opažanja, . . . ) iz koje izvire neki rezultat • rezultat pokusa naziva se ishodom • pokus je slučajan ako se u definiranim uvjetima može ponavljati, ako postoje barem 2 različita ishoda te ako se ishodi ne mogu predvidjeti sa sigurnošću • prostor elementarnih događaja S je skup svih mogućih različitih ishoda slučajnog pokusa • događaj je elementaran ako se ne može rastaviti u jednostavnije događaje

• slučajni događaj A je podskupa svih elementarnih događaja • Neka su A i B slučajni događaji definirani na skupu S – unija skupova A i B, oznaka A B, je događaj koji nastane ako nastane događaj A ili događaj B, ili oba – presjek skupova A i B, oznaka A B, je događaj koji nastane ako nastane događaj A i događaj B – razlika događaja A i B, oznaka AB, je događaj koji nastane ako nastane događaj A, a ne nastane događaj B – komplement događaja A, oznaka A, je događaj koji sadrži sve elementarne događaje skupa S koji ne čine događaj A

• Vrijedi: • događaj S je siguran događaj ako obuhvaća sve elementarne događaje • događaj A je nemoguć događaj ako je A = Ø • događaji A i B su međusobno isključivi ako ne mogu nastati istodobno, tj. ako je A B = Ø • dva slučajna događaja ili više njih su međusobno isključivi ako je presjek svakog para događaja prazan skup • Događaji A i B neovisni su ako u jednom pokusu mogu nastati istodobno, tj. ako je A B Ø

• Klasična definicija vjerojatnosti (vjerojatnost a priori) Ako su ishodi slučajnog pokusa jednako mogući, tada je vjerojatnost nastupa događaja A, oznaka P(A), jednaka omjeru broja za njega povoljnih ishoda m i ukupnog broja ishoda n • Statistička definicija vjerojatnosti (vjerojatnost a posteriori) Ako se broj ponavljanja pokusa izvedenih u istim uvjetima povećava u beskonačnost, tada je vjerojatnost nastupa događaja A granična vrijednost relativne frekvencije povoljnog ishoda događaja A

• Svojstva vjerojatnosti: (1) P(A) 0 (2) vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka je nuli (P(Ø) = 0), a vjerojatnost sigurnog događaja jednaka je jedan (P(S) = 1), tj. 0 P(A) 1 (3) vjerojatnost da neće nastupiti događaj A jednaka je , tj.

(4) ako su A 1 i A 2 dva međusobno isključiva događaja, vjerojatnost da će nastupiti događaj A 1 ili A 2 jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti, tj. (5) za događaje A 1 i A 2 vjerojatnost nastupa barem jednog od njih jednaka je (6) vjerojatnost nastupa događaja A uz uvjet da je nastupio događaj B jest omjer vjerojatnosti događaja A i događaja B i vjerojatnosti nastupa događaja B, tj.

PRIMJER 2. Test se sastoji od 3 zadatka iz jednog predmeta. Za svaki zadatak ponuđena su 2 odgovora, od kojih je jedan točan, a drugi netočan. Ako testu pristupi osoba koja uopće ne poznaje predmetno područje, kolika je vjerojatnost: (a) da će odabrati 3 ispravna odgovora, (b) da neće navesti 3 ispravna odgovora, (c) da će odabrati jedan ispravan odgovor?

PRIMJER 3. Zaposleni, njih 128, rade na normu, a izrađeni proizvodi podložni su kontroli kakvoće. U jednom razdoblju 16 zaposlenih nije ispunjavalo normu, kakvoća proizvoda koje su proizvela 24 radnika bila je ispodprosječna, a 4 radnika nisu ispunjavala normu i kakvoća izrađenih proizvoda bila je ispodprosječna. Zaposleni imaju pravo na premiju u visini 20% plaće ako u određenom vremenu ispune normu i ako izrade proizvode prosječne i iznadprosječne kakvoće. Kolika je vjerojatnost da se slučajno odabere zaposlena osoba koja: (a) nema pravo na premiju, (b) ima pravo na premiju?

PRIMJER 4. U nekoj tvornici od 100 proizvedenih čaša prosječno je 6 neispravno, a od ispravnih čaša 75% je 1. klase. Kolika je vjerojatnost da čaša iz te tvornice bude 1. klase?

6. 2. SLUČAJNA VARIJABLA I DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI • Slučajna varijabla X numerička je funkcija koja svakom ishodu slučajnog pokusa pridružuje realan broj • Slučajna varijabla je: – Diskretna – poprima konačan broj vrijednosti ili prebrojivo mnogo njih – Kontinuirana – poprima bilo koju vrijednost iz nekog intervala • Distribucija vjerojatnosti diskretne slučajne varijable skup je uređenih parova različitih vrijednosti te varijable i pripadajućih vjerojatnosti

• Neka je X slučajna varijabla koja poprima vrijednosti x 1, x 2, …, xk s vjerojatnostima p(x 1), p(x 2), …, p(xk). Skup čiji su elementi uređeni parovi: {(xi, p(xi))} , i = 1, 2, . . k tvori funkciju (distribuciju) vjerojatnosti varijable X • Svojstva funkcije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable: (1) p(xi) 0 , i = 1, 2, . . k (2) (3)

• Kumulativna funkcija F(xi) pokazuje kolika je vjerojatnost da diskretna slučajna varijabla X poprimi vrijednost xi ili manju od te vrijednosti. Ta funkcija distribucije definira se izrazom: • Distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable f (x) opisuje razdiobu vjerojatnosti na intervalu vrijednosti varijable • Svojstva funkcije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable: (1) f (x) 0 , x (2) (3)

• Distribucije vjerojatnosti analiziraju se tako da im se utvrde statističko-analitički pokazatelji. Među osnovnim pokazateljima jest očekivana vrijednost slučajne varijable koja je ekvivalent aritmetičkoj sredini distribucije numeričke varijable • očekivana vrijednost slučajne varijable X:

• varijanca slučajne varijable X, čija je očekivana vrijednost E(X) = μ, dana je izrazom: • standardna devijacija je pozitivni drugi korijen iz varijance • koeficijent varijacije omjer je standardne devijacije i očekivane vrijednosti pomnožen sa 100

• r-ti moment oko sredine slučajne varijable X općenito se definira izrazom: • Omjer trećeg momenta oko sredine i standardne devijacije podignute na treću potenciju mjera je asimetrije distribucije vjerojatnosti, a omjer četvrtog momenta i standardne devijacije na četvrtu mjera je zaobljenosti distribucije vjerojatnosti

PRIMJER 6. Ekspertna grupa procjenjuje učinke investicija na rizičnom području. Učinak investicije izražen je u obliku dobiti, odnosno gubitaka za promašene plasmane. Distribucija vjerojatnosti učinka investicija navedena je u tabeli. (a) Odredite očekivanu vrijednost i standardnu devijaciju distribucije vjerojatnosti. Interpretirajte dobivene rezultate. (b) Kolika je vjerojatnost da će investicija rezultirati gubitkom? Kolika je vjerojatnost da će dobit biti između 100 i 300 tisuća kuna?