6 Metdy rieenia linernych siet Problm formulcie podmienench

6. Metódy riešenia lineárnych sietí • Problém formulácie podmienečných rovníc zložitej siete • Základné pojmy z topológie elektrických obvodov • Metódy riešenia zložitých lineárnych sietí obsahujúcich zdroje prúdu, napätia a rezistory: ØMetóda vetvových napätí ØMetóda tetivových prúdov ØMetóda uzlových napätí ØMetóda slučkových prúdov

6. 1. Problém formulácie podmienečných rovníc zložitej siete Začnime typickým príkladom analýzy rozľahlejšiej siete. Je známe zapojenie a hodnoty parametrov všetkých prvkov (zdrojov a rezistorov). Úlohou je nájsť všetky neznáme napätia a prúdy. Problém formulácie podmienečných rovníc zložitej siete. I 6 R 1 = 10 , UZ 2 = – 5 V, IZ 3 = 0, 5 A, R 4 = 5 , UZ 5 = 7, 5 V, R 5 = 5 , UZ 2 R 6 = 2, 5. I 2 I 4 Neznáme sú I 1, I 2, I 4, I 5, I 6 a U 3. R 4 U 3 R 1 I 1 IZ 3 R 5 UZ 5 I 5 Nájsť riešenie každej elektrickej siete je vždy možné pomocou rovníc • 1. Kirchhoffovho zákona • 2. Kirchhoffovho zákona • Ohmovho zákona Skúsime pre daný obvod napísať takéto rovnice. 6 -1

6. 1. Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov (1/2) S 7 V každej sieti môžeme napísať • 1. Kirchhoffov zákon pre každý uzol • 2. Kirchhoffov zákon pre každú slučku • Ohmov zákon pre každý rezistor. S 3 2 3 1 S 4 S 1 S 6 S 5 S 2 S 1: S 2: S 3: S 4: S 5: S 6: S 7: 4 I 6 R 6 V našom prípade bolo možné nájsť • 7 slučiek (S 1 až S 7) a • 4 uzly (1 až 4). UZ 2 I 2 I 4 R 4 Neznáme sú len prúdy I 1, I 2, I 4, I 5, I 6 a napätie U 3. Zamená to, že na ich výpočet by sme potrebovali 6 U 3 R 1 R 5 rovníc o 6 neznámych, my ich však máme 13. Ľahko však zistíme, že napríklad z rovníce 1 až 4 je jedna UZ 5 I IZ 3 lineárne nezávislá. Podobne by sa dalo zistiť, že z rovníc S 5 1 až S 7 sú len niektoré lineárne nezávislé! I 1 6 -2

6. 1. Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov (2/2) Vynárajú sa teda otázky: Ako nájsť správny počet lineárne nezávislých rovníc, pomocou ktorých vypočítame neznáme veličiny? V tomto prípade máme 6 neznámych veličín. Znamenalo by to riešiť sústavu 6 rovníc o 6 neznámych, čo nie je práve najpríjemnejšia procedúra. Nedali by sa dajakým spôsobom tieto veličiny nájsť na viac krokov, pričom by sme nemuseli naraz počítať tak veľkú sústavu rovníc? Má vôbec úloha riešenie? Ako to zistiť? Dva Kirchhoffove zákony za pomoci Ohmovho zákona postačujú na riešenie akejkoľvek siete. Problém je, že ich písaním dostaneme (mnohokrát zbytočne) veľký počet rovníc, z ktorých niektoré môžu byť lineárne závislé. Na uvedenom príklade vidno, že v prípade rozsiahlejších sietí sa už nedá spoľahnúť na intuitívne písanie množstva rovníc. Potrebujeme mať exaktné metódy, ktoré dajú jednoznačný postup pri písaní rovníc Kirchhoffových zákonov a odpovedia na predošlé otázky. Takéto metódy samozrejme existujú a vopred prezraďme, že v prípade uvedenej siete netreba riešiť sústavu rovníc väčšiu, ako 2. stupňa. Sú to • metóda tetivových prúdov • metóda vetvových napätí • metóda slučkových prúdov • metóda uzlových napätí 6 -3

6. 2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (1/6) Pripomeňme si: Uzol je miesto, do ktorého vchádza najmenej jeden úsek. Ak do uzla vchádza N úsekov, hovoríme, že uzol je N - tého rádu. Úsek je časť siete pozostávajúca z ľubovoľného počtu sériovo zapojených prvkov (dvojpólov) zapojená medzi dvojicu uzlov. Úplný strom je minimálna množina úsekov, ktorá navzájom prepája všetky uzly. Úplný strom nesmie tvoriť slučku. Zvýraznené sú úseky patriace do úplného stromu. Voľba úplného stromu v sieti nemusí byť jednoznačná. 6 -4

6. 2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (2/6) Úseky siete, ktoré patria do úplného stromu, nazývame vetvy. Úseky siete, ktoré nepatria do úplného stromu, nazývame tetivy. Pravý strom je úplný strom, ktorý navyše spĺňa nasledujúce pravidlá: • obsahuje všetky úseky, v ktorom je jeden alebo viac zdrojov napätia bez sériových rezistorov, • neobsahuje ani jeden úsek, v ktorom je ideálny zdroj prúdu. R UZ Takýto úsek musí byť vetvou. Takéto úseky môžu byť vetvami aj tetivami. UZ Takýto úsek musí byť tetivou. Ak sa v sieti podarí násť pravý strom, úloha má riešenie. 6 -5

6. 2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (3/6) Ak x je počet úsekov a u je počet uzlov siete, potom počet vetiev v je v = u -1 Počet tetív s je Rez je množina úsekov, ktorými môže tiecť prúd do ohraničenej oblasti siete. Takáto oblasť vznikne v rovinnej sieti ohraničením Jordanovou krivkou. Pre každý rez platí 1. Kirchhoffov zákon. Príklad niektorých rezov a príslušných rovníc 1. Kirchhoffovho zákona: I 6 Q 2 Q 1 I 2 Q 2: I 4 I 1 I 3 Ohraničená oblasť Q 1: I 5 Jordanova krivka 6 -6

6. 2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (4/6) Nezávislý rez obsahuje práve jednu vetvu, ostatné úseky sú tetivy. Pre každú vetvu vieme nájsť jeden nezávislý rez. V sieti teda môžeme násť toľko nezávislých rezov, koľko má vetiev. Rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy tvoria lineárne nezávislý systém. Nezávislá slučka je taká slučka, ktorá obsahuje práve jednu tetivu, ostatné úseky slučky sú vetvy. Pre každú tetivu vieme nájsť jednu nezávislú slučku. V sieti teda môžeme nájsť toľko nezávislých slučiek, koľko má tetív. Rovnice 2. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky tvoria lineárne nezávislý systém. Ak je v sieti možné nájsť aj viac rôznych pravých stromov, všetky sú si navzájom rovnocenné (napríklad z hľadiska počtu rovníc, na ktoré budú viesť jednotlivé metódy riešenia). Ak v sieti zvolíme pravý strom, voľba nezávislých rezov a nezávislých slučiek je už jednoznačná. 6 -7

6. 2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (5/6) Príklad siete, ktorá nemá riešenie (1). (Sieť, v ktorej neexistuje pravý strom) R 1 = 10 , R 2 = 5 , UZ 3 = – 5 V, IZ 4 = 1 A, IZ 5 = 0, 5 A, IZ 6 = – 1 A Jednou z vlastností pravého stromu je, že tvorí množinu úsekov, ktorá spája navzájom všetky uzly. Znamená to, že do ľubovoľného uzla siete musí byť možné dostať sa vetvami stromu. Vetvy pravého stromu však nesmú obsahovať zdroje prúdu. Vidno, že do uzla 3 sa nedostaneme, pretože do neho vchádzajú iba zdroje prúdu. V takejto sieti teda nie je možné nájsť pravý strom. V každej sieti musia platiť Kirchhoffove zákony. Skúsme napísať rovnicu 1. Kirchhoffovho zákona pre problematický uzol 3 (označený výkričníkom) čo v tomto prípade nie je pravda. Ak by aj hodnoty IZ 4, IZ 5, IZ 6 boli zvolené tak, že by bol v uzle 3 splnený 1. Kirchhoffov zákon, úloha by mala nekonečne veľa riešení v zmysle napätí na týchto troch zdrojoch prúdu. 6 -8

6. 2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (6/6) Príklad siete, ktorá nemá riešenie (2). (Sieť, v ktorej neexistuje pravý strom) UZ 1 = 10 V, UZ 2 = 10 V, UZ 3 = 5 V, R 4 = R 5 = R 6 =10. Jednou z vlastností pravého stromu je, že jeho vetvy nesmú tvoriť slučku. Ak sa v sieti vyskytujú úseky obsahujúce iba zdroje napätia bez sériových rezistorov, musia byť súčasťou pravého stromu. Vidno, že úseky so zdrojmi UZ 1, UZ 2 a UZ 3 musia byť vetvami stromu, tvoria však slučku. V takejto sieti teda nie je možné nájsť pravý strom. V každej sieti musia platiť Kirchhoffove zákony. Skúsme napísať rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona pre slučku tvorenú zdrojmi UZ 1, UZ 2 a UZ 3 čo v tomto prípade neplatí. Ak by aj boli hodnoty UZ 1, UZ 2 a UZ 3 zvolené tak, že by 2. Kirchhoffov zákon v uvedenej slučke platil, úloha by mala nekonečne veľa riešení v zmysle prúdov týmito tromi zdrojmi. 6 -9

6. 3. Metóda vetvových napätí (1/4) Sieť považujeme za vyriešenú vtedy, keď poznáme určitú množinu veličín (napätí, prúdov), z ktorých už každú ďalšiu veličinu (napätie, prúd) sme schopní vypočítať z jednoduchých vzťahov bez použitia ďalších sústav rovníc. Takouto množinou sú napätia na vetvách siete (vetvové napätia). Podstata metódy vetvových napätí spočíva v tom, že za neznáme veličiny volíme napätia na vetvách siete. Riešime lineárne nezávislý systém rovníc 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy siete. Postup pri metóde vetvových napätí. 1. V sieti nájdeme pravý strom a vyznačíme sústavu nezávislých rezov (Q 1, Q 2, Q 3) a nezávislých slučiek (S 1, S 2 a S 3). Neznámymi budú napätia na rezistoroch R 1 a R 6 (napätia na vetvách). Vetvové napätie UZ 2 je známe, teda bude treba hľadať menej nezámych veličín. R 6 S 3 R 1 Q 2 S 1 I 6 S 2 UZ 2 I 2 Poznámka: I 4 R 4 U 3 IZ 3 Q 1 Ľahko sa dá presvedčiť, že aj v tejto sieti existuje viac, ako jedna voľba pravého stromu. Všetky voľby pravého stromu sú však z hľadiska počtu rovníc, ktoré treba riešiť, rovnocenné. Q 3 R 5 UZ 5 I 5 6 -10

6. 3. Metóda vetvových napätí (2/4) 2. Napíšeme rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy (Q ‑ rovnice) a 2. Kirchhoffovho Každá S – rovnica obsahuje zákona pre nezávislé slučky (S – rovnice). práve jedno tetivové napätie, ostatné sú vetvové. Každá nezávislá slučka totiž obsahuje Q 1: práve jednu tetivu. Q 2: Q 3: S 1: S 2: S 3: 3. V Q – rovniciach dosadíme za všetky prúdy rezistormi z Ohmovho zákona. Z S – rovníc vyjadríme tetivové napätia. Poznámka: Napätie URX na ľubovoľnom rezistore RX je definované ako URX = RX. IX , kde IX je prúd pretekajúci rezistorom. IX URX RX Q 1: S 1: Q 2: S 2: Q 3: S 3: 6 -11

6. 3. Metóda vetvových napätí (3/4) 2 s neznámou I 2 môžeme dočasne 4. Rovnicu Q Do Q – rovníc dosadíme za tetivové napätia z S – rovníc. odložiť nabok, pretože I 2 sa v zvyšných rovniciach nenachádza. Q 1: Q 2: Q 3: V sústave rovníc sú dva typy neznámych • napätia na vetvách siete (UR 1, UR 6) • prúdy vetvami so známym vetvovým napätím (I 2). Takýto prúd sa bude vyskytovať vždy iba v jednej rovnici (vyplýva to z voľby nezávislých rezov, každý obsahuje iba jednu vetvu). Takéto rovnice však môžeme v prvom kroku odložiť zo sústavy nabok a riešiť len zvyšnú sústavu. Q 1: Q 3: 6 -12

6. 3. Metóda vetvových napätí (4/4) Najvyšší počet rovníc, ktoré treba naraz riešiť je teda daný výrazom: Počet vetiev – počet vetiev obsahujúcich zdroj napätia bez sériového rezistora. • Riešením rovníc Q 1 a Q 3 dostaneme UR 1 = – 7, 5 V, UR 6 = 1, 25 V. • Dosadením do rovnice Q 2 za UR 1 a UR 6 dostaneme I 2 = 1, 25 A. Poznáme napätia na vetvách, teda sieť môžeme považovať za vyriešenú. Každú ďalšiu veličinu už nájdeme bez nutnosti riešiť ďalšiu sústavu rovníc. Postupujeme nasledovne v poradí: • neznáme prúdy vetvami získame z Ohmovho zákona • z každej S – rovnice získame napätie na jednej tetive • z Ohmovho zákona získame neznáme prúdy tetivami Tým je úloha vyriešená. 6 -13

6. 4. Metóda tetivových prúdov (1/4) Sieť považujeme za vyriešenú vtedy, keď poznáme určitú množinu veličín (napätí, prúdov), z ktorých už každú ďalšiu veličinu (napätie, prúd) sme schopní vypočítať z jednoduchých vzťahov bez použitia ďalších sústav rovníc. Takouto množinou sú prúdy vetivami siete (tetivové prúdy). Podstata metódy tetivových prúdov spočíva v tom, že za neznáme veličiny volíme prúdy tetivami siete. Riešime lineárne nezávislý systém rovníc 2. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky siete. Postup pri metóde tetivových prúdov. 1. V sieti nájdeme pravý strom a vyznačíme sústavu nezávislých rezov (Q 1, Q 2, Q 3) a nezávislých slučiek (S 1, S 2 a S 3). Neznámymi budú prúdy tetivami I a I. Tetivový prúd I je známy, teda bude treba hľadať menej neznámych veličín. 4 5 Z 3 R 6 S 3 R 1 Q 2 S 1 I 6 S 2 UZ 2 I 2 Poznámka: I 4 R 4 U 3 IZ 3 Q 1 Ľahko sa dá presvedčiť, že aj v tejto sieti existuje viac, ako jedna voľba pravého stromu. Všetky voľby pravého stromu sú však z hľadiska počtu rovníc, ktoré treba riešiť, rovnocenné. Q 3 R 5 UZ 5 I 5 6 -14

6. 4. Metóda tetivových prúdov (2/4) 2. Napíšeme rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy (Q ‑ rovnice) a 2. Kirchhoffovho Každá Q – rovnica obsahuje zákona pre nezávislé slučky (S – rovnice). práve jeden vetvový prúd, Q 1: S 1: Q 2: S 2: Q 3: S 3: ostatné sú tetivové. Každý nezávislý rez totiž obsahuje práve jednu vetvu. 3. V S – rovniciach dosadíme za všetky napätia na rezistoroch z Ohmovho zákona. Z Q – rovníc vyjadríme vetvové prúdy. Poznámka: Napätie URX na ľubovoľnom rezistore RX je definované ako URX = RX. IX , kde IX je prúd pretekajúci rezistorom. Q 1: S 1: Q 2: S 2: Q 3: S 3: IX URX RX 6 -15

6. 4. Metóda tetivových prúdov (3/4) Rovnicu S 1 s neznámou U 3 môžeme dočasne odložiť nabok, pretože U 3 sa v zvyšných 4. Do S – rovníc dosadíme za vetvové prúdy z Q – rovníc. rovniciach nenachádza. S 1: S 2: S 3: V sústave rovníc sú dva typy neznámych • prúdy tetivami siete (I 4, I 5) • napätia na tetivách so známym tetivovým prúdom (U 3). Takéto napätie sa bude vyskytovať vždy iba v jednej rovnici (vyplýva to z voľby nezávislých slučiek, každá obsahuje iba jednu tetivu). Takéto rovnice však môžeme v prvom kroku odložiť zo sústavy nabok a riešiť len zvyšnú sústavu. S 2: S 3: 6 -16

6. 4. Metóda tetivových prúdov (4/4) Najvyšší počet rovníc, ktoré treba naraz riešiť: Počet tetív – počet zdrojov prúdu. Riešením rovníc S 2 a S 3 dostaneme I 4 = 0, 75 A, I 5 = 0, 25 A. Dosadením do rovnice S 1 za I 4 a I 5 dostaneme U 3 = 2, 5 V. Poznáme prúdy tetivami, teda sieť môžeme považovať za vyriešenú. Každú ďalšiu veličinu už nájdeme bez nutnosti riešiť ďalšiu sústavu rovníc. Postupujeme nasledovne v poradí: • z každej R – rovnice získame prúd jednou vetvou Tým je úloha vyriešená. 6 -17

6. 5. Metóda uzlových napätí (1/6) Podstata metódy spočíva v tom, že ľubovoľnú sieť s danými parametrami obvodových prvkov môžeme považovať za vyriešenú, keď poznáme potenciály všetkých jej uzlov. Keďže prúdové pomery v sieti sú závislé len od rozdielov potenciálov uzlov a nie od ich absolútnych hodnôt, môžeme zvoliť potenciál jedného uzla (referenčného) za nulový a určiť potenciály ostatných uzlov voči nemu. Ak u je počet uzlov siete, počet neznámych potenciálov (uzlových napätí) potom bude (u – 1). Rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé uzly sú lineárne nezávislé. Počet rovníc bude teda rovný počtu nezávislých uzlov. Všetky uzly okrem referenčného nazývame nezávislé uzly. Pri metóde uzlových napätí riešime sústavu rovníc 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé uzly. U 10 0 U 20 U 30 2 1 Uu-1, 0 Uzol s potenciálom 0 je referenčný uzol. Nezávislé uzly majú potenciály 1 až u-1. Medzi každým nezávislým uzlom a referenčným uzlom je zavedené príslušné uzlové napätie (U 10, U 20, . . . ) u-1 Ak zvolíme potenciál referenčného uzla za nulový, potom platí Uzlové potenciály sú v tomto prípade čo do hodnoty rovnaké, ako uzlové napätia. Metóda uzlových napätí sa niekedy nazýva aj metóda uzlových potenciálov. V tomto prípade majú tieto dva názvy totožný význam. 6 -18

6. 5. Metóda uzlových napätí (2/6) Postup pri metóde uzlových napätí. 1. V sieti zvolíme referenčný uzol. Ak sa v sieti vyskytujú úseky, v ktorých sa nachádza iba zdroj napätia bez ďalších sériových prvkov (rezistorov), mali by vychádzať z referenčného uzla. Ak je v sieti takýchto úsekov viac a nie sú navzájom súvislé, je výhodné použiť metódu vetvových napätí. 2. Ostatné uzly (nezávislé) očíslujeme a zavedieme uzlové napätia. U 10 Poznámka: Voľba referenčného uzla nemusí byť jednoznačná: R 6 0 I 6 U 20 UZ 2 I 2 1 2 I 4 U 3 R 1 IZ 3 3 1 R 4 UZ 5 0 3 R 5 I 5 2 U 30 3. Napíšeme rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé uzly. 1. 2. 3. 6 -19

6. 5. Metóda uzlových napätí (3/6) 4. V úsekoch obsahujúcich rezistory vyjadríme prúdy pomocou Ohmovho zákona z uzlových napätí a napätí zdrojov napätia. Pre každý takýto úsek nájdeme slučku, ktorého je súčasťou a ktorá sa uzatvára uzlovými napätiami uzlov, medzi ktoré je úsek zapojený. Pre takúto slučku napíšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona, pričom napätie na rezistore vyjadríme z prúdu pomocou Ohmovho zákona. Na obrázku sú snázornené niektoré možné prípady. X UX 0 UZ I R Z Y UZ 0 S R 6 UY 0 0 1 0 2 I 4 U 3 R 1 I 1 S R I 6 U 20 UZ 2 I 2 UZ U 10 I IZ 3 3 W UW 0 I R 0 R 4 UZ 5 R 5 I 5 U 30 Napíšeme teda rovnice 6 -20

6. 5. Metóda uzlových napätí (4/6) 5. Rovnice prúdy z predošlého kroku dosadíme do rovníc 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé uzly. 1. 2. 3. 4. Rovnice sú 3 a obsahujú 4 neznáme – uzlové napätia U 10, U 20, U 30 a prúd zdrojom napätia I 2, ktorý v sústave rovníc akoby ostal „navyše“. Je to zdroj, ktorý vo svojom úseku nemá sériový rezistor. Každý takýto zdroj však vnucuje buď priamo jedno uzlové napätie (ak vychádza z referenčného uzla), alebo rozdiel dvoch napätí (ak je zapojený medzi dva nezávislé uzly). K sústave teda môžeme pridať štvrtú rovnicu. Na obrázku je ilustrovaný všeobecný postup, ako získať takéto rovnice pre zdroj priamo vychádzajúci z referenčného uzla a pre zdroj zapojený medzi dvojicu nezávislých uzlov. W UW 0 S X UZ UX 0 UZ S Y UY 0 0 0 6 -21

6. 5. Metóda uzlových napätí (5/6) 1. 2. 3. 4. Riešením sústavy rovníc by sme dostali všetky neznáme. Nie je však nutné riešiť tak veľa rovníc súčasne. Prúd I 2 sa nachádza len v rovnici 2, teda túto rovnicu môžeme odložiť nabok a v prvom kroku riešiť len zvyšok sústavy. Navyše rovnica 4 je triviálna, takže ľahko vo všetkých ostatných rovniciach dosadíme UZ 2 namiesto neznámej U 20. Ostáva nám teda riešiť len sústavu dvoch rovníc (1, 3) o dvoch neznámych U 10 a U 30. 1. 3. 6 -22

6. 5. Metóda uzlových napätí (6/6) Riešením máme U 10 = – 1, 25 V, U 30 = – 7, 5 V. Z rovnice 4 máme U 20 = – 5 V. Dosadením do rovnice 2 vyjde I 2 = 1, 25 A. V tomto momente poznáme uzlové napätia, úloha je vyriešená. Každú ďalšiu veličinu vypočítame pomocou jednoduchého vzťahu, bez nutnosti riešenia sústavy rovníc v nasledovnom poradí • Prúdy úsekmi vypočítame z vyjadrení pomocou Ohmovho zákona • Napätie U 3 vypočítame z rovnice 2. Kirchhoffovho zákona pomocou uzlových napätí U 20 a U 30 Tým je úloha vyriešená. 6 -23

6. 5. 1. Metóda uzlových napätí (rýchly postup) (1/3) Výhodou metódy uzlových napätí je, že sa dajú sformulovať pravidlá, pomocou ktorých pri troche skúsenosti dokážeme napísať výslednú sústavu podmienečných rovníc priamo, bez zdĺhavého odvodzovania. Nasledovný postup však nie je určený pre siete, v ktorých úseky so zdrojmi napätia bez sériových rezistorov nevychádzajú z referenčného uzla! Rýchly postup pri metóde uzlových napätí. 1. Všetky sériové kombinácie zdroja napätia a rezistora (technické zdroje napätia) nahradíme ekvivalentnými paralelnými kombináciami zdroja prúdu a rezistora (technickými zdrojmi prúdu). Pomocou už známych pravidiel v sieti zvolíme referenčný uzol, nezávislé uzly a zavedieme uzlové napätia. Všetky úseky so zdrojmi napätia bez sériových rezistorov musia vychádzať z referenčného uzla! Zdroj UZ 2 nemá sériový rezistor, teda nie je možná konverzia. 6 -24

6. 5. 1. Metóda uzlových napätí (rýchly postup) (2/3) 2. Pre nezávislé uzly, do ktorých nevchádza zdroj napätia, napíšeme podmienečné rovnice. Nech má sieť N nezávislých uzlov a teda N uzlových napätí U 10 až UN 0. Pre i – ty uzol bude mať rovnica tvar gii – súčet vodivostí všetkých úsekov vchádzajúcich do i – teho nezávislého uzla V našom prípade teda píšeme rovnice pre nezávislé uzly 1 a 3. 1. 3. 6 -25

6. 5. 1. Metóda uzlových napätí (rýchly postup) (3/3) Rovnicu pre uzol 2 sme nepísali, pretože do neho vchádza zdroj napätia. Takýto zdroj napätia ale priamo určuje uzlové napätie U 20 Môžeme zaň do sústavy priamo dosadiť a príslušné členy ako známe preložiť na pravú stranu rovníc. 1. 3. Porovnaním zistíme, že sme dostali už známe rovnice. Ďalšie kroky sú už podobné s krokmi ako pri riadnom použití metódy uzlových napätí s odvodením všetkých rovníc (strana 6. 5. 6). Riešením máme U 10 = – 1, 25 V, U 30 = – 7, 5 V, U 20 = UZ 2 = – 5 V. Z rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre uzol 2 vyjde I 2 = 1, 25 A. Prúdy ďalšími úsekmi vypočítame z uzlových napätí pomocou Ohmovho zákona, napätie U 3 pomocou 2. Kirchhoffovho zákona Tým je úloha vyriešená. 6 -26

6. 6. Metóda slučkových prúdov (1/4) Podstata metódy spočíva v tom, že ľubovoľnú sieť s danými parametrami obvodových prvkov môžeme považovať za vyriešenú, keď poznáme prúdy v systéme nezávislých slučiek – slučkové prúdy. Ak má sieť x úsekov a u uzlov, potom má s = x – u + 1 nezávislých slučiek a pri riešení treba hľadať s neznámych slučkových prúdov. Pri metóde slučkových prúdov riešime sústavu rovníc 2. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky. Rovnice 2. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky sú lineárne nezávislé. Počet rovníc bude teda rovný počtu nezávislých slučiek. Postup pri metóde slučkových prúdov. 1. V sieti nájdeme pravý strom a vyznačíme sústavu nezávislých slučiek (S 1, S 2 a S 3). Každej nezávislej slučke priradíme fiktívny slučkový prúd, ktorý ňou cirkuluje (IS 1, IS 2, IS 3). Smer týchto prúdov je ľubovoľný. R 6 IS 3 IS 2 UZ 2 I 2 R 1 Q 2 IS 1 I 6 I 4 R 4 U 3 IZ 3 Q 1 Q 3 R 5 UZ 5 I 5 6 -27

6. 6. Metóda slučkových prúdov (2/4) 2. Vyjadríme prúdy úsekmi pomocou slučkových prúdov (napíšeme incidenčné rovnice). V úsekoch, ktoré patria k jednej slučke (tetivy), sú úsekové prúdy totožné so slučkovými prúdmi. V úsekoch, ktoré patria viacerým nezávislým slučkám (vetvy stromu), sú dané úsekové prúdy súčtom tých slučkových prúdov, ktorých slučiek je daný úsek súčasťou (s ktorými inciduje). Znamienka v rovniciach závisia od vzájomnej orientácie prúdu úsekom a slučkového prúdu. Takéto rovnice sa nazývajú incidenčné. Poznámka: Incidenčné vzťahy pre prúdy vetvami sú zhodné s rovnicami 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy. 2. Napíšeme rovnice 2. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky. Napätia na rezistoroch vyjadríme pomocou Ohmovho zákona. S 1. S 2. S 3. 6 -28

6. 6. Metóda slučkových prúdov (3/4) 3. Do rovníc S 1, S 2, S 3 dosadíme za prúdy z incidenčných rovníc. S 1. S 2. S 3. S 4. Dostali sme 3 rovnice o 4 neznámych. Akoby „navyše“ vystupovala v rovniciach neznáma U 3 – napätie na zdroji prúdu. Voľbou nezávislých slučiek sme si však zabezpečili, že takýto zdroj je v tetive a preteká ním práve jeden slučkový prúd, ktorého hodnota je takto jednou incidenčnou rovnicou priamo určená. K sústave teda pridáme túto incidenčnú rovnicu. Vznikla tak sústava rovníc s neznámymi dvoch typov • slučkové prúdy (IS 1, IS 2, IS 3) • napätia na zdrojoch prúdu (U 3) Na prvý pohľad sme dostali sústavu 4 rovníc o 4 neznámych, avšak zdroj prúdu IZ 3 sa nachádza iba v slučke S 1. Znamená to, že napätie U 3 sa nachádza len v prvej rovnici, ktorú môžeme v prvom kroku dať nabok a riešiť zvyšok sústavy. Taktiež vylúčenie neznámej IS 1 dosadením IS 1 = IZ 3 do zvyšných rovníc je triviálny krok. Ostávajú teda rovnice pre slučky S 2 a S 3 s neznámymi slučkovými prúdmi IS 2 a IS 3. S 2. S 3. 6 -29

6. 6. Metóda slučkových prúdov (4/4) Riešením rovníc S 2 a S 3 dostaneme IS 2 = 0, 75 A, IS 3 = 0, 25 A, IS 1 = IZ 3 = 0, 5 A. • Dosadením do rovnice S 1 vypočítame U 3 = 2, 5 V. • Ostatné prúdy vypočítame pomocou incidenčných rovníc. Tým je úloha vyriešená. Poznámka: Pri rovinných sieťach je možné vynechať hľadanie nezávislých slučiek a slučkové prúdy viesť okami siete. Oko siete je slučka, ktorej vnútrom neprechádza žiaden úsek. Oká siete tvoria výhodný systém, pretože jednotlivé úseky siete sú obsiahnuté v minimálnom počte slučiek, pre ktoré píšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona. (IS 1) (IS 2) (IS 3) (IS 4) (IS 5) (IS 6) 6 -30

6. 6. 1. Metóda slučkových prúdov (rýchly postup) (1/3) Výhodou metódy slučkových prúdov je, že sa dajú sformulovať pravidlá, pomocou ktorých pri troche skúsenosti dokážeme napísať výslednú sústavu podmienečných rovníc priamo, bez zdĺhavého odvodzovania. Rýchly postup pri metóde slučkových prúdov. 1. V obvode nájdeme systém nezávislých slučiek a zavedieme slučkové prúdy (prípadne ich zavedieme jednoducho okami siete, viď vyššie). Slučkové prúdy však musia byť zavedené tak, aby každým zdrojom prúdu tiekol práve jeden slučkový prúd! R 6 IS 3 IS 2 UZ 2 I 2 R 1 I 6 I 4 IS 1 I 1 R 4 U 3 IZ 3 R 5 UZ 5 I 5 2. Pre slučky, ktoré neobsahujú zdroje prúdu, napíšeme podmienečné rovnice. Sú to vlastne rovnice 2. Aby ostali zrejmé súvislosti, zaviedli sme slučkové Kirchhoffovho zákona, v ktorých vystupujú priamo slučkové prúdy. Nech má sieť N slučiek (nezávislé slučky prúdy rovnako, ako v predošlom prípade. Nie je to alebo oká siete) a teda N slučkových prúdov IS 1 až ISN. Pre slučku i bude mať rovnica tvar však pravidlo. Slučkové prúdy môžeme viesť napríklad okami siete. 6 -31

6. 6. 1. Metóda slučkových prúdov (rýchly postup) (2/3) rik – vzájomný Uvažujeme rik > 0, ak sú vzhľadom na uvažovaný úsek zmysly prúdov Isi a Isk vzájomne súhlasné, rik < 0 ak nesúhlasné. Všeobecne platí rik = rki. Odpor zdroja napätia uvažujeme nulový. Ak slučky i a k nemajú spoločný úsek, príslušný člen v rovnici chýba (akoby rik = 0). rii – súčet odporov v i – tej slučke. Vždy bude rii > 0. Uii – súčet orientáciou slučkového prúdu. V našom prípade píšeme rovnice pre slučky S 2 a S 3. S 1 S 2 Vznikla sústava 2 rovníc o 3 neznámych. Akoby „zodpovednou“ za to bola slučka S 1, pre ktorú sme nepísali rovnicu, lebo obsahuje zdroj prúdu. Každým zdrojom prúdu ale preteká len jeden slučkový prúd, teda prúd IS 1 je priamo určený rovnicou IS 1 = IZ 3. Za IS 1 teda môžeme dosadiť do rovníc pre slučky S 2 a S 3. S 2. S 3. 6 -32

6. 6. 1. Metóda slučkových prúdov (rýchly postup) (3/3) Riešením rovníc S 2 a S 3 dostaneme IS 2 = 0, 75 A, IS 3 = 0, 25 A, IS 1 = IZ 3 = 0, 5 A. Ostatné prúdy vypočítame pomocou incidenčných rovníc. Napätie U 3 vypočítame z rovnice 2. Kirchhoffovho zákona pre slučku S 1. Tým je úloha vyriešená. 6 -33