5 Beschreibung von Systemen In der Realitt dauert
5. Beschreibung von Systemen In der Realität dauert es jedoch eine Zeit, bis die endgültige Drehzahl erreicht wird. 5. 1 Statisches Verhalten Motor i n u M Begriff Übertragungsfunktion …warten bis eingeschwungen… …dann messen… t/sec beschreibt zu beliebigen Zeitpunkten den Zusammenhang zwischen Motorspannung und Motor-Drehzahl 9/19/2021 (Übertragungsfunktion=Ausgang: Eingang) Hönig: Regelungstechnik 1
Linearisierung Aus den (idealisiert) erhaltenen Messergebnissen folgt: Magnetische Sättigung des Motoreisens n/min-1 Linearisierung im Arbeitspunkt – einfacher zu beschreiben als die Hinzunahme der nichtlinearen Kennlinienteile 9/19/2021 + Durch Aufgabenstellung etwa gegebener mittlerer Arbeitspunkt Haftreibung Regelungstechnik In der Realität gibt es. Hönig: einige Dreckeffekte… u/V 2
5. Beschreibung von Systemen 5. 2 Dynamisches Verhalten zeigte das dynamische Verhalten des Motors bei zum Zeitnullpunkt abrupt eingeschalteter Stellgröße (d. h. Motorspannung u) n/min-1 Reaktion des Motors auf den Sprung an seinem Eingang: Sprungantwort t/sec Sprungförmig zugeschaltete Motorspannung u Nach etwa 50… 100 ms ist der Motor auf rund 60% seiner Enddrehzahl 9/19/2021 Normiert man die Sprungantwort auf die Größe des Eingangssprunges, dann erhält man die Hönig: Regelungstechnik Übergangsfunktion h(t) [DIN 19226 Teil 2, Blatt 7] 3
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 1 Sprungfunktion, Sprungantwort, Übergangsfunktion 40 t/sec 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 4
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 1 Sprungfunktion, Sprungantwort, Übergangsfunktion - Bewertung Periodisch, stabil Beispiel: defekter Lenkungsdämpfer t/sec 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 5
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 1 Sprungfunktion, Sprungantwort, Übergangsfunktion - Bewertung Periodisch instabil Anschwingen eines Oszillators t/sec 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 6
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 1 Sprungfunktion, Sprungantwort, Übergangsfunktion -Bewertung t/sec 9/19/2021 Monoton instabil 7 Thermische Belastung eines Halbleiters Hönig: Regelungstechnik
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 1 Sprungfunktion, Sprungantwort, Übergangsfunktion Gemeinsamkeit: die Sprungfunktion am Eingang des Systemes t/sec 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 8
Exkurs MP 3 betrachten 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 9
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion Sinusgenerator Δφ Versuchsergebnis: Steigende Frequenz sinkende Amplitude Steigende Frequenz Phase -90° Δφ In den Diagrammen ist die x 9/19/2021 Achse die Zeit in Sekunden Hönig: Regelungstechnik 10
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion Zusammenfassung für viele Frequenzen Hier ist die x-Achse die Frequenz – in der Regelungstechnik meist die Kreisfrequenz w in s-1 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik w 11/s-1
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion Die Zusammenfassung für viele Frequenzen wird in dieser Graphik als Bodediagramm bezeichnet Legende: Blau: Betrag der Übertragungsfunktion Grün: Phase der Übertragungsfunktion w/s-1 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 12
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion 1. Beschreibungsform: Bodediagramm 2. Form: Gleichung Beides auf Grundlage des Versuchs mit der sinusförmigen Ansteuerung In Gleichungsform: a. Eingangssignal: w/s-1 b. Ausgangssignal 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 13
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion Sie erinnern sich: Ausgang eines Blockes : = Übertragungsfunktion des Blockes · Eingang des Blockes …auf der Basis von Messungen der Signale Demnach muss rein rechnerisch auch gelten: Übertragungsfunktion des Blockes = Ausgang eines Blockes Eingang des Blockes Weil das sperrig (…eigentlich gar nicht) zu rechnen ist, lässt man die Bildung des Realteiles weg (…dann wird das Ganze rechentechnisch einfacher): 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 14
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion wird durch Überlagerung des zur Rechnungsvereinfachung überlagerten Imaginärteiles Aus ist dann eine mit Betrag und Phase definierte komplexe Zahl …von den Messungen her wissen wir, dass Betrag und Phase von der Frequenz abhängig sind Skalierung: 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik w /s-1 15
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion Komplexe Zahlen Es gelten: haben einen Real- und Imaginärteil wie in der Skizze: F 1 Im(F) |F 1| und φ1 > 0 φ2 < 0 |F 2| Re(F) F 2 Beispiel für φ < 0 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 16
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion Für jeden Versuch mit unterschiedlichen ω erhalten wir unterschiedliche Punkte F in Im(F) der komplexen Ebene. Verbindet man diese Punkte F miteinander, erhält man die Ortskurve oder das Nyquist. Diagramm. F 1 |F 1| φ1 > 0 φ2 < 0 |F 2| ω 9/19/2021 Re(F) F 2 Beispiel für φ < 0 Hönig: Regelungstechnik 17
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion Zusammenfassung für viele Frequenzen in insgesamt 3 Darstellungen: w/s-1 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 18
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion Dieses letzte Fenster vermittelt die dem Vorgang zugeordnete quantitative Bewertung Allgemein gilt: … in unserem konkreten Fall… 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 19
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion wird hier zu mit ergibt sich dann konkret Näherungen: 1. Kleines ω 0 bewirkt 2. Grosses ω ∞ bewirkt Die in Kap. 5. 2 untersuchte Charakteristik ist vom Typ PT 1 mit w. E = 1/T 1 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik w. E /s-1 w/s-1 20
5. Beschreibung von Systemen 5. 2. 2 Frequenzgang, Übertragungsfunktion Fazit 1. Entsprechend der gebrochen rationalen Funktion ist F eine komplexe Zahl, deren Wert von der (Kreis-)Frequenz des Versuchs bestimmt ist 2. Wie jeder komplexen Zahl ist diesem F ein Betrag und eine Phase zugeordnet 3. Wir habe die Aufgabe gelöst, ein (einfach handhabbares) Modell zur Beschreibung des Systems im Frequenzbereich zu erhalten 4. Daneben gibt es das Modell zur Beschreibung des Systems im Zeitbereich (Sprungfunktion, Sprungantwort), was eng mit der Behandlung von Differentialgleichungen verknüpft ist. 9/19/2021 Hönig: Regelungstechnik 21
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