4me anne du Dpartement Gnie lectrique Guillaume VILLEMAUD

4ème année du Département Génie Électrique Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 15

Premier état des lieux Deux points importants : Øla plupart des antennes sont métalliques Øla grande majorité est de type antennes résonantes Dans un métal, les électrons libres se déplacent par défaut de façon erratique. Quand on crée une différence de potentiel (sinusoïdale par exemple), le champ interne commande alors la répartition de ces charges. Les courants et charges créés sont alors autant de sources élémentaires de champ électromagnétique. Mais selon leur répartition et leurs phases relatives, le champ global délivré par un élément métallique est la somme de toutes les contributions de ces sources élémentaires. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 16

Mécanisme de rayonnement Des charges transitant sur un métal droit à vitesse constante ne produisent pas de rayonnement. +++ pas de rayonnement Si les charges rencontrent une discontinuité (rupture, courbure. . . ) leur vitesse change, il y a alors rayonnement. +++ rayonnement Dans une structure en résonance, les charges oscillent en permanence, créant un flux de rayonnement continu. rayonnement +++ Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 17

La ligne bifilaire sur une charge Rappels sur les lignes de transmission : Zr x Ligne bifilaire fermée sur une charge superposition d’une onde incidente et d’une onde réfléchie Øligne sans pertes Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 18

La ligne bifilaire ouverte Ligne en circuit ouvert : C. O. y Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 19

Ligne en résonance C. O. Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires En pratique, quand les brins sont relativement proches, les courants étant en opposition de phase, le champ global rayonné est pratiquement nul (heureusement d’ailleurs). Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 20

Écartement des brins L’approximation classique considère que si on écarte les brins de la ligne, la répartition du courant reste la même. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 21

Le dipôle rayonnant On se retrouve alors avec des courants en phase permettant un rayonnement efficace : principe de l’antenne dipôle Pb : en pratique, il y a désadaptation. On chera alors une antenne résonante présentant une impédance d’entrée adaptée à une ligne en onde progressive. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 22

Rappels sur le champ EM Caractéristiques du milieu : Pour l’étude de phénomènes de propagation des ondes électromagnétiques, un milieu sera définit par : Sa permittivité électrique complexe (F/m) Sa perméabilité magnétique complexe Sa conductivité (S/m) Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes pertes ohmiques 23

Sources de rayonnement Des courants et des charges présents dans ce milieu sont appelés sources primaires : Densité surfacique de courants (A/m²) Densité volumique de charges (Cb/m 3) Ces sources créent : Des champs électrique et magnétique (V/m) (A/m) D’autres courants et charges et Øphénomènes d’induction Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 24

Equations de Maxwell Dans le cas de milieux homogènes et isotropes on obtient les équations suivantes : Les sources peuvent présenter des densités linéiques, surfaciques ou même volumiques. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 25

Domaine de résolution On considère deux domaines distincts de résolution de ces équations : en présence de charges et courants ou hors de toute charge ou courant. La résolution en présence de charges et courants permet de déterminer le champ produit par une répartition linéique, surfacique ou volumique de charges et courants (ce qui conduit au diagramme de rayonnement de l’antenne). Le second type de résolution permet de calculer les ondes électromagnétiques propagées en espace libre. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 26

Régime sinusoïdal Toujours dans le cas de milieux homogènes, isotropes en régime harmonique on obtient les équations suivantes : On peut alors résoudre ces équations pour déterminer le champ produit par les charges et courants présents sur un conducteur. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 27

Relation à la surface Interface avec un conducteur parfait 1, 1 Ø Le champ électrique est toujours perpendiculaire au conducteur. Ø Le champ magnétique est toujours tangent au conducteur. Ø Le champ électrique est proportionnel aux charges à la surface. Ø Le champ magnétique est proportionnel aux courants à la surface. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 28

Potentiels électromagnétiques Pour évaluer les effets d’une source isotrope en un point P de l’espace on peut introduire les potentiels vecteur et scalaire : Puisque on peut écrire z P q r o Le vecteur A est donc défini à un gradient près, il existe alors une fonction V vérifiant : y j x Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 29

Potentiels électromagnétiques En exprimant les équations de Maxwell en fonction des potentiels, on obtient les équations d’ondes : La résolution (complexe basée sur les fonctions de Green) donne pour une répartition linéique : potentiel scalaire potentiel vecteur Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 30

Source élémentaire Le doublet électrique élémentaire est un élément conducteur de taille négligeable dl où l’on peut supposer le courant constant sur la longueur (vitesse infinie). z P q r 0 +q i(t) -q r r 1 x C’est un outil théorique qui permet de déduire le comportement de toute antenne comme la somme de sources élémentaires. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 31

Calcul du champ rayonné Le problème apparaît à symétrie de révolution par rapport à Oz. Le potentiel vecteur n’a qu’une composante Az : On obtient alors : Champ magnétique à une seule composante Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 32

Calcul du champ électrique On peut déduire par la suite le champ électrique produit : Champ électrique à deux composantes et On se retrouve donc finalement avec 3 composantes de champ rayonné. Suivant la distance du point d’observation P par rapport à la source, on va faire des approximations différentes pour simplifier les expressions. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 33

Approximations en fonction de r Les termes en 1/r représentent le champ rayonné (prédominant quand r grand), les termes en 1/r 2 donnent les champs induits et les termes en 1/r 3 le champ électrostatique. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 34

Rayonnement du doublet Approximation en champ lointain : i(t) dans le vide Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 35

Les zones de rayonnement Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 36

Les zones de rayonnement Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 37

Propagation champ lointain En revenant aux équations dans le cas de milieux homogènes, isotropes et ne contenant pas les sources primaires, en régime harmonique on obtient les équations suivantes : Rq : Dans ce cas, on constate que les équations en E et H sont presque symétriques, la seule différence étant l’absence de charges et courants magnétiques. On peut alors introduire des sources magnétiques fictives pour symétriser ces équations. La solution du problème électrique donne alors celle du problème magnétique et inversement. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 38

Equations de propagation Les équations de propagation pour les champs et (exprimés en valeurs instantanées complexes) s’écrivent sous la forme suivante : Elles deviennent dans le cas où la propagation se fait selon la direction Oz : et Le rapport représente la vitesse de propagation de l’onde. Sachant que généralement on considère que ionisés et magnétiques) on écrit : (sauf milieux Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 39

Solutions En régime sinusoïdal, ces équations admettent des solutions de la forme : et avec : (paramètre de phase de l’onde) Le rapport des modules de et exprime l’impédance d’onde du milieu considéré (en W) : c’est une quantité réelle. Valeur dans l’air : 377 ohms On a alors la relation fondamentale : Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 40

Onde sphérique - onde plane Une source ponctuelle (charge Q) produit le rayonnement d’une onde sphérique. En effet la résolution des équations de potentiels dans le cas d’une source ponctuelle est à symétrie de révolution sphérique, et donne pour solution : En champ lointain, cela donne : La surface d’onde est une sphère centrée sur la source Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 41

Approximation d’onde plane Les solutions des équations de Maxwell sont nombreuses (dépendant des conditions initiales). Toutes peuvent s’exprimer comme la somme d’ondes planes. l de n o d’ t fron E H Sens de propagation Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 42

Puissance transportée x E z y Quand la condition de champ lointain est respectée, la surface d’onde peut être assimilée à un front d’onde plane. La puissance transportée par l’onde est traduite par le vecteur de Poynting : Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 43

Polarisation de l’onde On sait qu’en champ lointain E et H sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation. Par contre, suivant le type de source utilisé, l’orientation de ces vecteurs dans le plan d’onde peut varier. En se basant sur les variations de l’orientation du champ E au cours du temps, on définit la polarisation de l’onde. En repère sphérique, le champ E d’une onde plane est décrit par ses composantes : avec et Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 44

Polarisation rectiligne Première hypothèse : les composantes vibrent en phase Plusieurs possibilités : polarisation horizontale, verticale ou oblique animation Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 45

Exemple d’un doublet i(t) Polarisation rectiligne verticale Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 46

i(t) Polarisation rectiligne horizontale Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 47

Exemple de 2 doublets en phase i(t) Polarisation rectiligne oblique Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 48

Polarisation circulaire Deuxième hypothèse : les composantes vibrent en quadrature de phase et leurs modules sont égaux Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 49

i(t) Polarisation circulaire par dé-synchronisation Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 50

Polarisation elliptique 3 modes de polarisation – polarisation rectiligne • verticale, horizontale (plan H ou E) – polarisation circulaire • droite ou gauche – polarisation elliptique • droite ou gauche Øanimations Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 51

Les grands théorèmes Pour l’étude du fonctionnement des antennes, quatre grands théorèmes fondamentaux sont à connaître : Ø le théorème de réciprocité de Lorentz Øle théorème de Huygens-Fresnel Øla théorie des images Øle principe de Babinet Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 52

Réciprocité de Lorentz Si on considère deux distributions de courants I 1 et I 2 qui sont à l’origine de champs E 1 et E 2, on montre d’après les équations de Maxwell : les systèmes rayonnants sont réciproques (attention seulement dans le cadre des antennes passives). Pf Pr Pr Pf Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 53

Principe de Huyghens-Fresnel Principe permettant de calculer le rayonnement à l’infini de n’importe quel type de source surface arbitraire sources champs nuls Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes sources superficielles équivalentes (électriques et magnétiques) 54

Application radar Principe permettant de calculer le rayonnement à l’infini de n’importe quel type de source onde plane cible point d’observation Le champ reçu en P est la somme du champ que l’on recevrait sans obstacle (connu) et du champ diffracté par l’obstacle. On peut alors à l’inverse calculer la surface constituée de sources fournissant un tel champ. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 55

Théorème des images Au niveau d’un point d’observation, le champ créé par une source +q placée au-dessus d’un plan réflecteur parfait de dimensions infini est équivalent au champ créé par l’association de cette charge avec son image par symétrie par rapport au plan de charge –q. x +q P x +q -q Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 56 P

Images en courant Le même principe s’applique pour les sources de courants. L’image sera formée de la symétrie de la répartition de courant de signe opposé (opposition de phase). x I P x P I I Øà la base de très nombreuses applications en antennes Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 57

Principe de Babinet Le théorème de Babinet reprend l’aspect symétrique des équations de Maxwell. E H cas 1 cas 2 Le champ total du cas 1 va être égal au champ diffracté du cas 2 et inversement. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 58

Application aux antennes Toute fente pratiquée dans un plan de masse de grande dimension aura le même comportement en rayonnement que l’antenne métallique complémentaire à ceci près que les champs E et H sont inversés. E H Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 59