4 Polinomios 1 Recuerda propiedades de la suma

4 Polinomios 1 Recuerda: propiedades de la suma y el producto Matemáticas 3º de ESO En las operaciones algebraicas letras representan números. Las propiedades de las operaciones con números siguen siendo válidas

4 Polinomios 2 Recuerda: propiedades de las potencias Matemáticas 3º de ESO

4 Polinomios 3 Valor numérico de una expresión algebraica Matemáticas 3º de ESO • Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. • Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. • Si a y b son las medidas de los lados de un rectángulo, 2 a + 2 b es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo. • Su valor numérico para a = 3 y b = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones: 2. 3 + 2. 2 = 10 b a

4 Polinomios 4 Matemáticas 3º de ESO Monomios • Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y potenciación de exponente natural. • El grado de un monomio respecto a una letra es su exponente. • El grado de un monomio es la suma de sus exponentes. Grado respecto de la letra x 8 x 2 y 5 Grado respecto de la letra y El grado de este monomio es 2 + 5 = 7

4 Polinomios 5 Matemáticas 3º de ESO Polinomios • Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios • El grado de un polinomio es el grado mayor de sus monomios. • Cada monomio del polinomio se llama también término del polinomio. • Según su números de términos se clasifican en binomios, trinomios, . . Término Grado del polinomio P = 8 x 5 – 6 x 4 – 3 xy + xt – 2 Término de grado 2 Término independiente o término de grado 0

4 Polinomios 6 Polinomios iguales Matemáticas 3º de ESO Dos polinomios son iguales cuando los términos que los forman son iguales ¿Qué valores han de tomar a, b y c para que sean iguales los polinomios a=3 b = – 5

4 Polinomios 7 Matemáticas 3º de ESO Monomios: suma y diferencia • Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. • La suma o diferencia de varios monomios semejantes es otro monomio semejante. 12 x 2 y – 3 x 2 y + 6 x 2 y = (12 – 3 + 6)x 2 y = 15 x 2 y 5 x 2 + 7 xz = 5 x 2 + 7 xz 12 x 2 y – 3 x 2 y + 6 x 2 y + 5 x 2 + 7 xz = 15 x 2 y + 5 x 2 + 7 xz Interpretación de la suma de monomios 5 Semejantes x 5 x + 5 No semejantes x 5 x 5+3 3 x 3 x = x 5 y + y 2 8 x = y x 5 x + y 2

4 Polinomios 8 Matemáticas 3º de ESO Polinomios: suma y diferencia La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado: – por la suma o diferencia de los términos semejantes de ambos, y – por los términos no semejantes de ambos. P(x) = x 5 + 2 x 4 Q(x) = 3 x 4 – 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x P(x) + Q(x) = x 5 + 5 x 4 – 2 x 3 P(x) = x 5 + 2 x 4 Q(x) = – 3 x 2 + x – 4 + 3 x – 4 – 3 x 2 + x – 4 3 x 4 – 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x P(x) – Q(x) = x 5 – x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – x – 4

4 Polinomios 9 Producto de monomios Matemáticas 3º de ESO El producto de monomios es otro monomio que tiene: – como coeficiente, el producto de los coeficientes. – como parte literal, las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a la suma de los exponentes con que figura en los factores. x 3. x 5 = x 3 +5 = x 8 5 x 2. 7 x 4 = 5. x 2. 7. x 4 = 35 x 6 – 2 xy 2. 5 x 2 y 3. 3 xt = (– 2. 5. 3) (x. x 2. x) (y 2. y 3) t = – 30 x 4 y 5 t El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio 2 xy 2. (3 x – 2 y + 4) = (2 xy 2. 3 x) + (2 xy 2. (– 2 y) + (2 xy 2. 4) = 6 x 2 y 2 – 4 xy 3 + 8 xy 2

4 Polinomios 10 Producto de polinomios Matemáticas 3º de ESO El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes – 7 x 3 + 3 x 2 – 0 x + 2 2 x 2 + 3 x – 1 7 x 3 – 3 x 2 + 0 x – 21 x 4 + 9 x 3 – 0 x 2 + 6 x – 14 x 5 + 6 x 4 + 0 x 3 + 4 x 2 – 14 x 5 – 15 x 4 +16 x 3 + x 2 + 6 x – 2

4 Polinomios 11 Interpretación geométrica de algunos productos Matemáticas 3º de ESO

4 Polinomios 12 Identidades notables: suma por diferencia de monomios Matemáticas 3º de ESO La suma por diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo a+b a–b – ab – b 2 a 2 + ab a 2 – b 2 • (3 x + y)(3 x – y) = (3 x)2 – (y)2 = 9 x 2 – y 2 • (– 5 x + 2 y)(– 5 x – 2 y) = (– 5 x)2 – (2 y)2 = 25 x 2 – 4 y 2 • (– 5 x 2 + 2 y 3)(– 5 x – 2 y) = (– 5 x 2)2 – (2 y 3)2 = 25 x 4 – 4 y 6

4 Polinomios 13 Cuadrado de un binomio Matemáticas 3º de ESO El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo a+b ab + b 2 a 2 + ab a 2 +2 ab + b 2 (2 x + y)2 = (2 x)2 + 2. 2 x. y + (y)2 = 4 x 2 +4 xy + y 2 (5 x – 3 t)2 = (5 x + (– 3 t))2 = (5 x)2 + 2. 5 x. (– 3 t) + (– 3 t)2 = 25 x 2 – 30 xt + 9 t 2 (– 3 x + 2 z)2 = (– 3 x)2 + 2. (– 3 x). 2 z + (2 z)2 = 9 x 2 – 12 xz + 4 z 2 a–b – ab + b 2 a 2 – ab a 2 – 2 ab + b 2

4 Polinomios 14 Interpretación geométrica del cuadrado de la suma y diferencia Matemáticas 3º de ESO

4 Polinomios 15 Cubo de un binomio Matemáticas 3º de ESO El cubo de un binomio es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. a 2 + 2 ab + b 2 a+b a 2 b + 2 ab 2 + b 3 a 3 + a 2 b + ab 2 a 3 + 3 a 2 b +3 ab 2 +b 3 (2 x + y)3 = (2 x)3 + 2. (2 x)2. y + 2. 2 x. y 2 + (y)3 = 8 x 3 +12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3 (x – 3 h 2)3 = (x + (– 3 h 2))3 = x 3 + 3. x 2. (– 3 h 2) + 3. x. (– 3 h 2)2 + (– 3 h 2)3 = = x 3 – 9 x 2 h 2 + 27 xh 4 – 27 h 6