4 Logaritmische functies 1 Logaritmen inleiding Een persoon

4. Logaritmische functies 1

Logaritmen: inleiding Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13. Zolang zijn nummer niet uitkomt verdubbelt hij zijn inzet. Op een bepaald ogenblik zien we hem 1024 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer al niet uitgekomen? 1 keer niet uitgekomen: inzet is 1 2 = 21 (euro) 2 keer niet uitgekomen: inzet is 21 2 = 22 (euro) … enz. x keer niet uitgekomen: inzet is 2 x (euro) Bijgevolg: 2 x = 1024 en dus … x = 10 want 210 = 1024 Nieuwe “wiskundige bewerking” nodig om x te vinden, EXPONENT “PLUKKEN” VAN 2 BIJ 1024: x = exppl 2 1024 = 10 notatie: x = 2 log 1024 = 10 2

Logaritmen: algemeen Voorbeeld van de inleiding: x = 2 log 1024 is hetzelfde als x = exppl 2 1024 en omdat 1024 = 210 is dus x = 10 Zo ook bijvoorbeeld: x = 5 log 125 is hetzelfde als… x = exppl 5 125 en omdat 125 = 53 is dus x = 3 Oefening 1 Algemeen: y = glog x betekent x = gy (g > 0, g 1 en x > 0) 3

Bijzondere grondtallen • g = 10: decimale of Briggse logaritme: voorbeeld: log 10 000 = 10 log 10 000 = = log 104 = 4 • g = e = 2. 71…: natuurlijke of Neperiaanse logaritme: elog = ln voorbeeld: ln (1/e 3)= elog e 3 = 3 Beide staan op rekenmachine! Oefeningen 2 en 3 4

Rekenregels logaritmen (1) Voorbeeld: Algemeen: (g > 0, g 1 en x 1, x 2 > 0) 5

Rekenregels logaritmen (2) Voorbeeld: Algemeen: (g > 0, g 1 en x 1, x 2 > 0) 6

Rekenregels logaritmen (3) Voorbeeld: Algemeen: (g > 0, g 1 en x > 0, r willekeurig getal) 7

“Rekenregel” (!) logaritme DIE GEEN REKENREGEL IS Voorbeeld: Bijgevolg: Algemeen: 8

Verandering van grondtal 3 log 0. 23 = = -1. 3377… Oefening 4 9

Exponentiële vergelijkingen (1) Een kapitaal van 10 000 euro staat uit op samengestelde intrest aan 10% per jaar. Hoelang duurt het vooraleer het verdubbeld is? na 1 jaar: 10 000 1. 10, na 2 jaar: 10 000 1. 10, … na t jaar: 10 000 1. 10 t (bij uitbreiding ook voor fracties!) Bijgevolg moet gelden: De onbekende t staat in een exponent: EXPONENTIËLE VERGELIJKING. 10

Exponentiële vergelijkingen (2) Oplossen van de vergelijking links en rechts delen door 10 000 links en rechts logaritme nemen rekenregel (3) links en rechts delen door log 1. 1 Oefeningen 5, 6 en 7 11

Logaritmische functies Voorbeeld: 23 = 8 3 = 2 log 8 2 exp 3 8 en 2 log zijn elkaars inverse functie 2 exp 2 log Algemeen: g log: x g log x is de inverse functie van g exp: x g exp x Eigenschap: Grafieken van inverse functies zijn elkaars spiegelbeeld t. o. v. de eerste bissectrice (d. i. de rechte met vergelijking y = x). De grafiek van de functie g log verkrijgt men dus door de grafiek g exp te 12 spiegelen rond de eerste bissectrice.

Logaritmische functies: grafieken Definitie: Voor g > 0 en g ≠ 1 is de functie de logaritmische functie met grondtal (of basis) g g>1 gexp 0<g<1 gexp glog 1 1 1 g glog 1 =0 glogg =1 g 1 glog dom glog = IR+0 glog im glog = IR de Y-as is een verticale asymptoot heeft één nulpunt, nl 1 13

Bijzondere logaritmische functies y = ln x y = log x ln 1 = 0 ln e = 1 log 1 = 0 log 10 = 1 14

Inverse functies Omdat g exp en g log elkaars inverse functie zijn, is: Bijzondere gevallen: 15

Oefening 8 Exponentiële en logaritmische functies met grondtallen 4 en 1/4 Oefeningen 9, 10 en 11 16