4 Estadstica y probabilidad 1 Variables estadsticas 2

4 Estadística y probabilidad 1. Variables estadísticas 2. Gráficos estadísticos 3. Medidas de centralización 4. Medidas de dispersión 5. Agrupación de datos en intervalos 6. Fenómenos deterministas y aleatorios 7. Técnicas de recuento 8. La regla de Laplace 9. Experimentos compuestos Índice del libro

4 Estadística y probabilidad 1. Variables estadísticas ESTADÍSTICA La Estadística se encarga de describir, analizar e interpretar las características de un conjunto de individuos. Población: conjunto de individuos objeto de un estudio. Individuo: cada uno de los miembros de la población. Muestra: porción de la población elegida para realizar un estudio estadístico. Técnicas de muestreo • Muestreo aleatorio: todos los individuos de la población tienen las mismas posibilidades de ser elegidos. • Muestreo aleatorio simple: muestreo aleatorio sin reposición de los elementos. • Muestreo aleatorio estratificado: se divide la población en estratos, por ejemplo, sexo, edad, . . .

4 Estadística y probabilidad 1. Variables estadísticas VARIABLE ESTADÍSTICA Variable estadística: característica de la población que vamos a estudiar, que puede ser medida, adoptando diferentes valores. Tipos de variables estadísticas. § Cualitativa: se designa mediante una palabra. § Cuantitativa: se designa por un número. ‒ Discreta: toma valores dentro de un rango finito de posibilidades. ‒ Continua: puede tener cualquier valor dentro de un intervalo.

4 Estadística y probabilidad 1. Variables estadísticas ORGANIZACIÓN DE DATOS: TABLAS DE FRECUENCIA Para organizar los datos obtenidos al realizar un estudio estadístico construimos tablas de frecuencia. 1. º Agrupamos los xi diferentes y los ordenamos en orden creciente. 2. º Hallamos las frecuencias. § Frecuencia absoluta fi = veces que se repite cada xi § Número total de valores n = suma ( fi ) § Frecuencia absoluta acumulada Fi = la obtenemos sumando las frecuencias absolutas de los datos anteriores a cada valor xi de la variable estadística § Frecuencia relativa hi = se obtiene al dividir cada una de las frecuencias absolutas fi entre el número total de valores n hi = fi /n § Frecuencia relativa acumulada Hi = se obtiene al dividir la frecuencia absoluta acumulada Fi entre el número total de datos n Hi = Fi /n

4 Estadística y probabilidad 2. Gráficos estadísticos DIAGRAMAS DE BARRAS Están formados por barras que relacionan cada valor de la variable con su frecuencia absoluta. En el eje X situamos los valores de las variables. En el eje Y situamos las frecuencias absolutas. EJEMPLO Color del pelo de 110 jóvenes.

4 Estadística y probabilidad 2. Gráficos estadísticos HISTOGRAMAS Están constituidos por barras que relacionan cada intervalo de datos en los que se agrupan los valores de la variable con su frecuencia absoluta. EJEMPLO Estatura de 200 jóvenes de 15 años.

4 Estadística y probabilidad 2. Gráficos estadísticos DIAGRAMA DE SECTORES Relacionan la frecuencia absoluta de una variable con cada valor de un sector de una circunferencia proporcional a dicha frecuencia. EJEMPLO Número de hermanos de los alumnos de una clase.

4 Estadística y probabilidad 2. Gráficos estadísticos PIRÁMIDE DE POBLACIÓN EJEMPLO Edad de una población de animales

4 Estadística y probabilidad 2. Gráficos estadísticos CARTOGRAMA EJEMPLO Precipitaciones anuales

4 Estadística y probabilidad 2. Gráficos estadísticos PICTOGRAMA EJEMPLO Comercio mundial de mercancías.

4 Estadística y probabilidad 3. Medidas de centralización MEDIA, MODA Y MEDIANA Media, o media aritmética Moda Mo Valor de la variable xi que más se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia absoluta fi Mediana Me Posición central. Ordenados los valores xi en orden creciente, es el valor de la variable xi que deja el mismo número de datos a la derecha que a la izquierda. ‒ Si el número de datos n es impar Me = valor central ‒ Si el número de datos n es par Me = media de los dos valores centrales

4 Estadística y probabilidad 4. Medidas de dispersión RANGO, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA § Rango o recorrido Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable xi § Varianza s 2 Media de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media § Desviación típica s

4 Estadística y probabilidad 5. Agrupación de datos en intervalos AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS 1 de 6 EJEMPLO Alturas de un grupo de 30 alumnos. Alturas, en cm: { 179, 181, 176, 184, 173, 167, 161, 185, 177, 165, 178, 176, 169, 181, 174, 179, 166, 174, 171, 180, 178, 183, 171, 184, 173, 165, 168, 170, 175, 168 } § Organizar los datos en una tabla. § Calcular las medidas de centralización: mediana, moda y media. § Calcular las medidas de dispersión: rango, desviación típica y varianza. 1. Calcular el campo de variación de la variable, es decir, los valores mayor y menor que toma. Mínimo = 161 cm Máximo = 185 cm

4 Estadística y probabilidad 5. Agrupación de datos en intervalos AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS 2 de 6 2. Repartimos los datos en intervalos de igual amplitud. Tomamos las alturas de cinco en cinco centímetros: [160, 165]; (165, 170]; (170, 175]; (175, 180]; (180, 185] 3. Le asignamos a cada intervalo su frecuencia absoluta. 4. Elegir un representante de cada intervalo. Se denomina marca de clase del intervalo, MC Tomamos como marca de clase la media de los extremos del intervalo.

4 Estadística y probabilidad 5. Agrupación de datos en intervalos AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS Clasificamos por intervalos, y hallamos las frecuencias. 3 de 6

4 Estadística y probabilidad 5. Agrupación de datos en intervalos AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS Organizamos los datos que necesitamos en una tabla. 4 de 6

4 Estadística y probabilidad 5. Agrupación de datos en intervalos AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS § Medidas de centralización: mediana, moda y media. Mediana Me = (170, 175] Moda Media Mo = (175, 180] 5 de 6

4 Estadística y probabilidad 5. Agrupación de datos en intervalos AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS 6 de 6 § Medidas de dispersión: rango, desviación típica y varianza. Rango o recorrido R = 185 – 160 = 25 cm Varianza Desviación típica

4 Estadística y probabilidad 6. Fenómenos deterministas y aleatorios FENÓMENOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS: PROBABILIDAD Experimento aleatorio: no conocemos con certeza el resultado, y al repetirlo el resultado no es el mismo aunque repitamos el experimento en las mismas condiciones. Experimento determinista: podemos predecir el resultado que vamos a obtener siempre que lo realicemos en las mismas condiciones. Probabilidad: rama de las matemáticas que se dedica al estudio de los procesos aleatorios. Espacio muestral: conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Suceso: subconjunto del espacio muestral. ‒ Suceso elemental: suceso compuesto únicamente por un resultado. ‒ Suceso compuesto: suceso compuesto por dos o más resultados.

4 Estadística y probabilidad 7. Técnicas de recuento DIAGRAMA DE ÁRBOL La probabilidad es una de las ramas de las matemáticas que más se emplea en la actualidad. Las técnicas de recuento se utilizan para calcular probabilidades. Diagrama de árbol EJEMPLO Lanzamos al aire tres monedas. ¿Cuántos resultados posibles existen?

4 Estadística y probabilidad 7. Técnicas de recuento PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Siempre que tengamos un suceso compuesto por n sucesos independientes, es decir, cuando el resultado de un suceso no influya en el siguiente, siendo m 1, m 2, …, mn el número de resultados posibles de cada suceso independiente, obtendremos el número total de posibilidades multiplicando m 1 ⋅ m 2 ⋅ … ⋅ mn EJEMPLO Lanzamos cinco dados. Si lanzamos cinco dados, cada uno de ellos con seis posibles resultados, tendremos 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 65 = 7 776 resultados posibles.

4 Estadística y probabilidad 7. Técnicas de recuento FACTORIAL Factorial de un número n es un símbolo matemático para esta operación de multiplicación n! = n ⋅ (n – 1) (n – 2) (n – 3) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1

4 Estadística y probabilidad 7. Técnicas de recuento PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS Permutaciones de n elementos son las diferentes ordenaciones que podemos realizar de todos ellos sin repetir ninguno. Se escribe Pn Se cumple que Pn = n! EJEMPLO P 5 = 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

4 Estadística y probabilidad 8. La regla de Laplace REGLA DE LAPLACE Siempre que en un experimento aleatorio todos los resultados posibles sean equiprobables, la probabilidad de un suceso S determinado viene dada por Siendo los casos favorables al suceso S aquellos que están incluidos en él, y los casos posibles todos los sucesos elementales que componen el espacio muestral.

4 Estadística y probabilidad 9. Experimentos compuestos EXPERIMENTOS COMPUESTOS 1 de 3 Experimentos compuestos: situaciones aleatorias formadas por el encadenamiento sucesivo de otras situaciones aleatorias más sencillas. EJEMPLO Clima. P (día soleado) = 0, 3 P (día nublado) = 0, 2 P (día lluvioso) = 0, 5 a) Calcular la probabilidad de que llueva durante dos días seguidos. b) Calcular la probabilidad de que un día haga sol y otro llueva. c) Calcular la probabilidad de que ningún día sea soleado.

4 Estadística y probabilidad 9. Experimentos compuestos EXPERIMENTOS COMPUESTOS Diagrama de árbol 2 de 3

4 Estadística y probabilidad 9. Experimentos compuestos EXPERIMENTOS COMPUESTOS 3 de 3 La probabilidad de cada resultado se obtiene multiplicando las probabilidades de las ramas que conducen a él. Si hay varias formas de obtener un mismo resultado, tendremos que sumar las probabilidades de todas las ramas que nos llevan a él. a) P (dos días de lluvia) = 0, 5 ⋅ 0, 5 = 0, 25 b) Valen dos ramas: Soleado – Lluvioso y Lluvioso – Soleado. P (día de sol y día de lluvia) = 0, 3 ⋅ 0, 5 + 0, 5 ⋅ 0, 3 = 0, 3 c) «Ningún día soleado» incluye: Nublado – Lluvioso – Nublado Lluvioso – Lluvioso P (ningún día soleado) = 0, 2 ⋅ 0, 2 + 0, 2 ⋅ 0, 5 + 0, 5 ⋅ 0, 2 + 0, 5 ⋅ 0, 5 = 0, 49