4 EQUIVALENZA DI FIGURE PIANE A cura di

  • Slides: 23
Download presentation
4. EQUIVALENZA DI FIGURE PIANE A cura di Mimmo CORRADO

4. EQUIVALENZA DI FIGURE PIANE A cura di Mimmo CORRADO

FIGURE CONGRUENTI In questa U. D. studieremo l’estensione delle figure geometriche; dove per estensione

FIGURE CONGRUENTI In questa U. D. studieremo l’estensione delle figure geometriche; dove per estensione si intende la caratteristica che hanno le figure di occupare parti di piano. Negli studi precedenti abbiamo detto che: se due figure sono congruenti allora sono sovrapponibili In questo caso si può concludere che hanno la stessa estensione. A B

ESTENSIONE DI UNA FIGURA Se sovrapponendo due figure la prima risulta completamente interna alla

ESTENSIONE DI UNA FIGURA Se sovrapponendo due figure la prima risulta completamente interna alla seconda, si può dire che la prima figura è meno estesa della seconda oppure che la seconda è più estesa della prima. A B

ESTENSIONE DI UNA FIGURA Più difficile è il confronto fra due figure che non

ESTENSIONE DI UNA FIGURA Più difficile è il confronto fra due figure che non sono sovrapponibili o che lo sono solo in parte. Per esempio, che cosa si può dire dell'estensione della figura in colore azzurro nei confronti di quella in colore verde: hanno uguale estensione ? la prima è più estesa della seconda ?

ESTENSIONE DI UNA FIGURA Quotidianamente capita spesso di dover confrontare le estensioni di figure

ESTENSIONE DI UNA FIGURA Quotidianamente capita spesso di dover confrontare le estensioni di figure diverse fra loro. Ad esempio, nel confronto fra due stanze, si dice che una stanza è più estesa di un’altra se occorre un numero maggiore di piastrelle quadrate per pavimentarla. In queste operazioni di confronto non si fa altro che suddividere il pavimento in tanti poligoni (le piastrelle) e contare quanti di questi poligoni occorrono per eseguire il ricoprimento. A ? B

EQUIESTENSIONE Definizione Due figure si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione. In simboli

EQUIESTENSIONE Definizione Due figure si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione. In simboli si scrive A A=B ? B

FIGURE EQUICOMPOSTE Riconsiderando il metodo utilizzato precedentemente, per stabilire l’ordine di grandezza dei due

FIGURE EQUICOMPOSTE Riconsiderando il metodo utilizzato precedentemente, per stabilire l’ordine di grandezza dei due pavimenti: abbiamo contato il numero di mattonelle necessarie per pavimentare i due pavimenti di forma diversa. Tale metodo può essere generalizzato considerando non più elementi base di forma quadrata, ma di qualsiasi forma. Consideriamo pertanto, su un foglio di carta millimetrata le due figure disegnate sotto e cerchiamo di individuare in esse poligoni a due congruenti.

FIGURE EQUICOMPOSTE Se si riesce a suddividere le due figure A e A’ in

FIGURE EQUICOMPOSTE Se si riesce a suddividere le due figure A e A’ in poligoni a due congruenti si può dire che le due figure sono equivalenti. Si può dare la seguente definizione: Due figure A e A’ sono equicomposte se sono scomponibili nello stesso numero di poligoni a due congruenti.

FIGURE EQUICOMPOSTE Dai ragionamenti precedenti possiamo affermare che: Se due figure A e A’

FIGURE EQUICOMPOSTE Dai ragionamenti precedenti possiamo affermare che: Se due figure A e A’ sono equicomposte Le due figure A e A’ sono equivalenti

EQUIVALENZA DI PARALLELOGRAMMI Due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le altezze

EQUIVALENZA DI PARALLELOGRAMMI Due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le altezze corrispondenti sono equivalenti. Dimostrazione - I CASO (LI e HG hanno in comune un segmento HI) Consideriamo il parallelogramma EFIL ABCD ottenuto sovrapponendo la base AB di ABCD su EF. I triangoli EHL e FGI sono congruenti per il III C. C. T. Infatti: LH LI – HI HG – HI IG da cui si ottiene: LH IG EL FI e EH FG Essendo i due parallelogrammi EFGH e EFIL equicomposti dal quadrilatero comune EFIH e dai due triangoli congruenti EHL e FGI, sono equivalenti. D A L C B E I H F G

EQUIVALENZA DI PARALLELOGRAMMI Due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le altezze

EQUIVALENZA DI PARALLELOGRAMMI Due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le altezze corrispondenti sono equivalenti. Dimostrazione - II CASO (LH e IG hanno in comune i punti H e I) Consideriamo il parallelogramma EFIL ABCD ottenuto sovrapponendo la base AB di ABCD su EF. I triangoli EHL e FGI sono congruenti per il III C. C. T. Infatti: LH IG EL FI EH FG Essendo i due parallelogrammi EFGH e EFIL equicomposti dal triangolo comune EFH e dai due triangoli congruenti EHL e FGI, sono equivalenti. D A H I L C B E G F

EQUIVALENZA DI PARALLELOGRAMMI Due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le altezze

EQUIVALENZA DI PARALLELOGRAMMI Due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le altezze corrispondenti sono equivalenti. Dimostrazione - III CASO (LI e HG non hanno punti in comune) Consideriamo il parallelogramma EFIL ABCD ottenuto sovrapponendo la base AB di ABCD su EF. I triangoli EHL e FGI sono congruenti per il III C. C. T. Infatti: LH LI + IH HG + IH IG da cui si ottiene: LH IG EL FI e EH FG Essendo EFIL EFGL – FGI e EFGH EFGL – EHL ed essendo FGI EHL si ha che: EFIL e EFGH sono equicomposti e quindi equivalenti. D A I H L C B E G F

EQUIVALENZA TRIANGOLO-PARALLELOGRAMMA Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha per base metà

EQUIVALENZA TRIANGOLO-PARALLELOGRAMMA Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha per base metà base e per altezza la stessa altezza del triangolo. Dimostrazione Tesi Ipotesi I triangoli DBF e CFE sono ABC e ADEC sono congruenti (II C. C. T. ) equiscomponibili Infatti: C E Il triangolo ABC e il parallelogramma ADEC sono composti dal quadrilatero comune ADFC e dai due triangoli congruenti BDF e CEF. F Pertanto ABC e ADEC sono equicomposti, e quindi equivalenti. A D B

EQUIVALENZA FRA TRIANGOLO E TRAPEZIO Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente per

EQUIVALENZA FRA TRIANGOLO E TRAPEZIO Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente per base la somma delle sue basi e medesima altezza. b 2 h b 1 b 2

AREA DI UN POLIGONO L’area di un poligono è la misura della sua estensione.

AREA DI UN POLIGONO L’area di un poligono è la misura della sua estensione. L’area di un poligono deriva dal confronto fra l’estensione del poligono e l’estensione di un quadrato assunto come unità di misura.

AREA DEL RETTANGOLO L’area del rettangolo è uguale al prodotto delle misure delle sue

AREA DEL RETTANGOLO L’area del rettangolo è uguale al prodotto delle misure delle sue dimensioni. h b

AREA DEL QUADRATO L’area del quadrato è uguale al quadrato del suo lato. l

AREA DEL QUADRATO L’area del quadrato è uguale al quadrato del suo lato. l

AREA DEL TRIANGOLO L’area del triangolo è uguale al semiprodotto della base con l’altezza.

AREA DEL TRIANGOLO L’area del triangolo è uguale al semiprodotto della base con l’altezza. h b

AREA DEL PARALLELOGRAMMA Un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo.

AREA DEL PARALLELOGRAMMA Un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo.

AREA DEL PARALLELOGRAMMA L’area del parallelogramma è uguale al prodotto della base per l’altezza.

AREA DEL PARALLELOGRAMMA L’area del parallelogramma è uguale al prodotto della base per l’altezza. h b

AREA DEL TRAPEZIO Essendo il trapezio equivalente ad un triangolo avente per base la

AREA DEL TRAPEZIO Essendo il trapezio equivalente ad un triangolo avente per base la somma delle sue basi e medesima altezza, si ha che la sua area è uguale al prodotto fra la semisomma delle basi e l’altezza. b 2 h b 1

AREA DEL ROMBO Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo avente per

AREA DEL ROMBO Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo avente per dimensioni le due diagonali. d 2 d 1

AREA DEL ROMBO Pertanto l’area del rombo è uguale al semiprodotto delle sue diagonali.

AREA DEL ROMBO Pertanto l’area del rombo è uguale al semiprodotto delle sue diagonali. d 2 d 1