4 EK 213 LINERN MODELY ter 11 00

4 EK 213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11: 00 – 12: 30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová © L&K

2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP © L&K 2

OSNOVA PŘEDNÁŠKY • • • Obecná formulace MM Množina přípustných řešení úlohy LP Optimální řešení úlohy LP Rozbor řešitelnosti úlohy LP Standardní tvar MM úlohy LP Přídatné proměnné v modelu úlohy LP © L&K 3

OBECNÁ FORMULACE MM • Na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 nxn R b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . . + a 2 nxn R b 2. . . (2. 1) am 1 x 1+ am 2 x 2 +. . . + amnxn R bm a podmínek nezápornosti xj ≥ 0 , j = 1, 2, . . . , n (2. 2) nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +. . . + cnxn (2. 3) © L&K 4

• kde je xj. . . proměnná modelu (strukturní) aij. . . strukturní koeficient bi. . . pravá strana i-tého omezení cj. . . cenový koeficient j-té proměnné (cena) R. . . jedno z relačních znamének ≤, ≥, = n. . . počet strukturních proměnných modelu m. . . počet vlastních omezení modelu i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n © L&K 5

EKONOMICKÁ INTERPRETACE • xj. . . úroveň j-tého procesu (počet jednotek j−té činnosti) • bi. . . úroveň i-tého činitele (maximální nebo minimální možná hodnota) • aij. . . norma spotřeby, popř. produkce i-tého činitele na jednotku j-tého procesu • cj. . . cena j-tého procesu • i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n © L&K 6

Příklad 2. 1 • Formulujte MM úlohy z příkladu 1. 1 ve tvaru (2. 1) – (2. 3): na množině řešení omezení x 1 + 2 x 2 ≤ 120 x 1 + 4 x 2 ≤ 180 x 1 − x 2 ≥ 90 x 1 ≤ 110 xj ≥ 0, j = 1, 2 nalézt maximum účelové funkce z = 40 x 1 + 60 x 2 © L&K 7

• kde jsou: x 1, x 2. . . strukturní proměnné, a 11=1, a 12=2, a 21=1, a 22=4, a 31=1, a 32=-1, a 41=1, a 42=0. . . strukturní koeficienty, b 1=120, b 2=180, b 3= 90, b 4=110. . . pravé strany omezení, c 1=40, c 2=60. . . cenové koeficienty © L&K 8

Další způsoby formulace MM • • Vektorový zápis Maticový zápis Zápis pomocí sumací Různé způsoby zápisu budeme ilustrovat na kapacitní úloze z příkladu 1. 1 © L&K 9

Vektorový zápis obecného MM Nalézt na soustavě vlastních omezení a 1 x 1 + a 2 x 2 +. . . + an xn R b (2. 4) a podmínek nezápornosti x≥ 0 (2. 5) extrém účelové funkce z = c. Tx. . . max (min. ) (2. 6) © L&K 10

kde je: x =(x 1, x 2, . . . , xn)T . . . vektor struktur- ních proměnných a 1=(a 11, a 21, . . . , am 1)T a 2=(a 12, a 22, . . . , am 2)T . . . vektor strukturních koeficientů an=(a 1 n, a 2 n, . . . , amn)T b =(b 1, b 2, . . . , bm)T . . . vektor pravých stran omezení. . . vektor cen c. T=(c 1, c 2, . . . , cn) R. . . vektor relačních znamének ≤, ≥, = © L&K 11

Příklad 2. 2 • Vektorový zápis modelu: • Dosaďme z příkladu 2. 1 vektory a 1, a 2, b, R, x, c. T: R= © L&K 12

• Vektorová formulace modelu: na množině omezení nalézt extrém účelové funkce © L&K 13

• Rozepište tento vektorový model: . . ? © L&K 14

Maticový zápis MM • Nejstručnější je maticový zápis MM: za podmínek Ax R b (2. 7) x≥ 0 maximalizovat (minimalizovat) účelovou funkci z = c. T x (2. 8) © L&K 15

kde je: x = (x 1, x 2, . . . , xn)T. . . vektor strukturních proměnných, A = [aij]mxn. . . matice strukturních koeficientů, b = (b 1, b 2, . . . , bm)T. . . vektor pravých stran omezení, c. T = (c 1, c 2, . . . , cn). . . vektor cenových koeficientů, R. . . je vektor relačních znamének ≤, ≥, = © L&K 16

Příklad 2. 3 • Z příkladu 2. 1 dosadíme A, b, R, c. T, x : • Formulujeme maticový zápis © L&K 17

Na množině omezení maximalizovat účelovou funkci © L&K 18

• Rozepište tento maticový model: . . . ? © L&K 19

Zápis MM pomocí sumací Za podmínek i = 1, 2, . . . , m (2. 9) j = 1, 2, . . . , n maximalizovat účelovou funkci (2. 10) © L&K 20

POZOR ! • Při psaní vzorců je nutné dodržovat určitá elementární pravidla • Není možno kombinovat libovolně různé způsoby zápisu • Je nutno respektovat pravidla maticového počtu • Je třeba definovat všechny použité symboly • Je nutno určit definiční obor všech použitých indexů © L&K 21

CHYBY V ZÁPISU VZORCŮ Chybný zápis Správný zápis aijxj = bi, i=1, . . . , m Axj = b z = x. c. T z = c. T. x x. A = b A. x = b B. u. T = xj u TB = x ti = bi/ci, i=1, . . . , m t = b/c © L&K 22

Přípustné řešení úlohy LP • Nezáporné řešení soustavy vlastních omezení (2. 1) nazveme přípustné řešení (PŘ) • Úloha LP má: - nekonečně mnoho přípustných řešení - žádné přípustné řešení • Množina PŘ je: - konvexní s konečným počtem krajních bodů (definujte !) omezená nebo neomezená - prázdná množina © L&K 23

• Pokud je množina PŘ omezená, je to konvexní polyedr (definujte !) • Která ze zobrazených množin je konvexním polyedrem. . . . . ? © L&K 24

Optimální řešení úlohy LP • Mezi nekonečným množstvím přípustných řešení hledáme to, které je nejlepší, tj. maximalizuje (popř. minimalizuje) hodnotu účelové funkce • Takové řešení nazveme optimální (OŘ) • Úloha LP má: - jedno optimální řešení - nekonečně mnoho optimálních řešení - žádné optimální řešení © L&K 25

Rozbor řešitelnosti 1. Je-li množinou PŘ konvexní polyedr, má úloha LP vždy optimální řešení • Účelová funkce může na této množině nabývat jak svého maxima, tak minima • Optimální řešení může být: - jedno (obrázek 2. 2) - nekonečně mnoho (obrázek 2. 3) © L&K 26

• Jediné OŘ je ve vrcholu (krajním bodu) konvexní množiny PŘ • Má−li úloha LP nekonečně mnoho OŘ, je účelová funkce rovnoběžná s hranicí (hranou, stěnou, nadrovinou) konvexní množiny • Optimálním řešením je každý bod této hranice – konvexní obal krajních bodů • Ve dvourozměrném prostoru je to množina konvexních kombinací dvou krajních bodů této hranice (tj. úsečka mezi nimi) © L&K 27

z. . . max. C x 2 D OPTIMUM B x 1 A Obrázek 2. 2 − Jediné OŘ úlohy LP © L&K 28

z. . . max. C x 2 D OPTIMUM B E A x 1 Obrázek 2. 3 − Nekonečně mnoho OŘ úlohy LP © L&K 29

2. Neomezená množina PŘ • Obsahuje alespoň jednu polopřímku • Na této množině může mít úloha LP: - jedno OŘ - nekonečně mnoho OŘ - žádné OŘ 1. Jedno OŘ leží ve vrcholu množiny PŘ 2. Nekonečně mnoho OŘ tvoří ve dvourozměrném prostoru polopřímku (paprsek) © L&K 30

3. OŘ neexistuje: - konvexní množina PŘ je neomezená ve směru zadaného extrému účelové funkce (obrázek 2. 7) - účelová funkce může na této množině nabývat neomezených hodnot - v tomto případě existuje nekonečně mnoho přípustných řešení - nelze ale určit optimální hodnotu účelové funkce © L&K 31

z. . . max. x 2 C B D OPTIMUM A x 1 Obrázek 2. 4 − Neomezená množina PŘ, jedno OŘ © L&K 32

E z. . . max. x 2 OPTIMUM C B D OPTIMUM A x 1 Obrázek 2. 5 − Neomezená množina PŘ, nekonečně mnoho OŘ © L&K 33

x 2 z. . . max. C B A x 1 Obrázek 2. 6 − Neomezená množina PŘ, „neexistuje“ OŘ © L&K 34

3. Prázdná množina PŘ • Soustava vlastních omezení MM je nekonzistentní • Neexistuje přípustné řešení úlohy LP • Množina PŘ je prázdná • Tudíž neexistuje optimální řešení této úlohy © L&K 35

• Prázdná množina PŘ Obrázek 2. 7 − Prázdná množina PŘ úlohy LP © L&K 36

ŘEŠENÍ MM • Pro zjednodušení výkladu přijmeme na začátku kurzu tyto dva předpoklady: 1. Všechna omezení modelu jsou zadána jako nerovnice: - rovnici převedeme na dvě nerovnice opačného typu, např. : 3 x 1 + 2 x 2 = 60 vyjádříme jako 3 x 1 + 2 x 2 ≤ 60 3 x 1 + 2 x 2 ≥ 60 © L&K 37

2. Budeme uvažovat MM s maximalizační účelovou funkcí • Minimalizační funkci f(x) upravíme na maximalizační z(x) podle z(x) = − f(x). . . max. kde min (f) = − max (z) • Např. funkci f = 20 x 1 + 10 x 2. . . min. převedeme na tvar z = − 20 x 1 − 10 x 2. . . max. © L&K 38

ÚPRAVA MM K VÝPOČTU • Metody řešení úloh LP pracují se soustavou rovnic, nikoliv se soustavou nerovnic Proč ? • Je proto třeba vlastní omezení zadaná ve tvaru nerovnic převést na rovnice Jak ? • Model rozšíříme o další proměnné, které nazveme přídatné proměnné © L&K 39

1. Nerovnice typu ≤: ai 1 x 1+ ai 2 x 2 +. . . + ainxn ≤ bi • K levé straně nerovnice přičteme přídatnou proměnnou: ai 1 x 1+ ai 2 x 2 +. . . + ainxn + xn+i = bi • Odtud je xn+i = bi – (ai 1 x 1+ ai 2 x 2 +. . . + ainxn) • Např. první omezení v příkladu (2. 1) x 1 + 2 x 2 ≤ 120 upravíme na: x 1 + 2 x 2 + x 3 = 120 © L&K 40

2. Nerovnice typu ≥: • Od levé strany nerovnice typu ≥ odečteme přídatnou proměnnou: ai 1 x 1+ ai 2 x 2 +. . . + ainxn − xn+i = bi • Odtud je xn+i = ai 1 x 1+ ai 2 x 2 +. . . + ainxn − bi • Např. třetí omezení v příkladu 2. 1 x 1 − x 2 ≥ 90 upravíme na: x 1 − x 2 − x 5 = 90 © L&K 41

• Přídatné proměnné jsou nezáporné • Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení • Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje objem nevyužité kapacity • Přídatná proměnná v omezení typu ≥ ukazuje velikost překročení požadavku • Cena přídatné proměnné je vzhledem k její ekonomické interpretaci rovna nule © L&K 42

Příklad 2. 4 • Uvažujme soustavu vlastních omezení kapacitní úlohy z příkladu 2. 1: x 1 + 2 x 2 x 1 + 4 x 2 x 1 − x 2 x 1 © L&K ≤ 120 ≤ 180 ≥ 90 ≤ 110 43

• Nerovnice vyrovnáme na rovnice pomocí přídatných proměnných: x 1 + 2 x 2 + x 3 = 120 x 1 + 4 x 2 + x 4 = 180 x 1 − x 2 − x 5 = 90 x 1 + x 6 = 110 • Dosadíme x 1 = 110, x 2 = 5 (viz př. 1. 1) • Hodnoty přídatných proměnných. . . . ? • Ekonomická interpretace. . . . . ? © L&K 44

• x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = • Ekonomická interpretace: • x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = © L&K 45

• Vstupní údaje úlohy zadáme v Lin. Pru: Obr. 2. 8 – vstupní tabulka příkladu 1. 1 © L&K 46

• Úlohu vyřešíme: Obr. 2. 9 – výsledky řešení © L&K 47

• Hodnoty strukturních proměnných : x 1 = 110, x 2 = 5, • Hodnoty přídatných proměnných: • x 3 = 0, x 4 = 50, x 5 = 15, x 6 = 0 • Stručněji: x = (110, 5, 0, 15, 0)T • Hodnota účelové funkce: z = 4700 © L&K 48

• Zvýšíme čas lisu o 1 minutu: Obr. 2. 10 – změna pravé strany © L&K 49

KONEC © L&K 50