4 Booleova algebra i logiki sklopovi Kljune rijei

4. Booleova algebra i logički sklopovi Ključne riječi: asocijativnost, Booleova algebra, De Morganova pravila, disjunkcija, distributivnost, I (engl. AND), ILI (engl. OR), involutivnost, istina (T, 1), komplementarnost, komutativnost, konjunkcija, laž (F, 0), logička algebra, logički izraz, logički sklop, minimizacija, NE (engl. NOT), negacija, neutralni element, NI (engl. NAND), NILI (engl. NOR), poluzbrajač (HA), punizbrajač (FA), tablica stanja

Logička algebra • Logička ili Booleova algebra se bavi matematičkim opisom logičkog zaključivanja • polazi od pretpostavke da se za svaku izjavu može nedvojbeno tvrditi je li istinita ili lažna, te da se među njima mogu uspostaviti različite operacije • naziv je dobila prema svom tvorcu, engleskom matematičaru George Booleu (1815. – 1864. )

Logičke operacije • logička izjava = osnovni element logičke algebre • „Danas je vedar dan” ili „Medvednica je viša od 1000 metara” ili „ 1+1 = 3”. • za svaku od tih izjava se može jednoznačno tvrditi da je istinita ili lažna • istinitost izjave označava se pojmom „istina” ili engl. true, a zbog jednostavnosti često se označava slovom T ili oznakom „ 1” • lažnost izjave označava se pojmom „laž” ili engl. false, a zbog jednostavnosti često se označava slovom F ili oznakom „ 0” • s logičkim se izjavama mogu izvoditi razne logičke operacije • logičke operacije se zapisuju pomoću logičkih operatora - osnovni logički operatori su: – NE – ILI

Logički operator NE (eng. NOT) • unarna operacija uključuje samo jedan operand i jedan operator, a naziva se i negacija • zadatak operacije NE je promjena vrijednosti logičke izjave iz istine u laž i obrnuto (iz laži u istinu) • negacija izjave nova je izjava • operator NE predočuje se jednim od simbola: ~ ili ￣ ili ‘ – npr.

Negacija (NE) • prikaz tablicom stanja ili tablicom istinitosti • tablica stanja izražava odnose između operanada i rezultata logičke operacije • sadrži sva moguća stanja operanada i pripadajuće rezultate ovisne o logičkoj operaciji • istina će biti označena znamenkom 1, a neistina (laž) znamenkom 0

Logički operator I (engl. AND) • logička operacija I je binarna operacija jer uključuje dva operanda i jedan operator, a naziva se i konjunkcija • rezultat logičke operacije I je istina samo ako su obje logičke izjave uključene u operaciju istinite • operator I predočuje se se simbolom: ili •

Logički operator ILI (engl. OR) • logička operacija ILI je binarna operacija jer uključuje dva operanda i jedan operator, a naziva se i disjunkcija • rezultat logičke operacije ILI je istina ako je bar jedna od logičkih izjava uključenih u operaciju istinita • operator ILI predočuje se simbolom: ili +

Složene logičke operacije • osnovne logičke operacije se mogu kombinirati u složene s proizvoljnim brojem operanada i logičkih operatora • prioriteti operacija: 1. 2. 3. NE I ILI. • za promjene prioriteta koriste se zagrade • minimizacija = pojednostavnjenje složenih logičkih operacija

Minimizacija/pojednostavljivanje složenih logičkih operacija

Primjena pravila – primjeri

Logički sklopovi • obrada podataka unutar računala moguća je samo za one podatke koji su predočeni električkim veličinama najpogodniji prikaz s dva stanja omogućuje jeftinu izradu pouzdanih elektroničkih sklopova: – logička nula - jedna razina napona (npr. 0 V) – logička jedinica - druga razina napona (npr. 5 V) sličnost logike rada računala i logičke algebre

Osnovni logički sklopovi sklop NE (invertor, engl. NOT) sklop I (engl. AND) sklop ILI (engl. OR)

Osnovni logički sklopovi sklop NI (engl. NAND) sklop NILI (engl. NOR)

Složeni logički sklopovi • međusobnim spajanjem osnovnih logičkih sklopova nastaju složeni logički sklopovi koji sadrže stotine, tisuće, a u suvremenim računalima i milijune osnovnih logičkih sklopova • uvijek je moguće napisati pripadajući logički izraz koji opisuje složeni sklop i sastaviti pripadajuću tablicu stanja (temelji se na tablicama stanja svakog ugrađenog osnovnog logičkog sklopa)

Složeni logički sklopovi - primjeri

Sklop za zbrajanje binarnih brojeva • složeni logički sklop • binarni brojevi se zbrajaju na pravilima za zbrajanje 2 bita • potrebno prvo projektirati sklop koji zbraja 2 jednoznamenkasta broja (2 bita) poluzbrajač (engl. half adder) ili HA

Poluzbrajač (HA) • A = prvi pribrojnik, B = drugi pribrojnik, YAB = rezultat, CAB = prijenos (1 dalje) • tablica stanja logičkog sklopa za zbrajanje 2 bita

Poluzbrajač (HA) • povezivanjem sklopova složeni sklop • simbol

Puni zbrajač (FA) • zbrajanje 2 višeznamenkasta binarna broja: pribrojnici A i B i prijenos sa susjednih znamenaka niže težinske vrijednosti

Sklop za zbrajanje višeznamenkastih binarnih brojeve

Pitanja • Što je osnovni element logičke algebre? • Kako je uobičajeno označivati dva moguća logička stanja? • Što su operatori, a što operandi logičke algebre? • Nabrojite osnovne logičke operacije. • Što prikazuje tablica stanja? • Koji se simboli koriste za logičke operatore: NE, I, ILI? • Što su logički sklopovi? • Nabrojite osnovne logičke sklopove. Nacrtajte njihove simbole. • Može li se na temelju iste tablice stanja konstruirati više različitih logičkih sklopova koji se ponašaju sukladno tablici stanja? • Čemu služe logički sklopovi koji se nazivaju poluzbrajač (engl. half adder) i puni zbrajač (engl. full adder)?