4 2 SUITES cours 24 Au dernier cours
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4. 2 SUITES cours 24
Au dernier cours, nous avons vu ✓ Polynôme de Taylor
Aujourd’hui, nous allons voir ✓ Les suites
On a vu au dernier cours que On aimerait comprendre ce qui se passe si l’on développe le polynôme de Taylor indéfiniment. Pour ça, il faut comprendre un peu mieux les sommes infinis pour comprendre les sommes infinis, il faut comprendre les suite
Une suite est tout simplement une liste infinie de nombre.
Il est pratique de voir une suite comme une fonction Terme général de la suite
Certaines suites sont déterminées à l’aide d’une règle algébrique.
Parfois, certaines suites sont définies par récurrence. C’est-à-dire qu’on donne quelques premiers termes et les suivants sont définis à partir des précédents. Exemple : Cette suite ce nomme la suite de Fibonacci
Faites les exercices suivants Section 4 # 4 et 5
Définition: La limite d’une suite est si pour tout il existe un pour tout on a et on la note Si la limite existe, on dit que la suite converge, sinon on dit qu’elle diverge. tel que
Lorsqu’on a une suite définie à l’aide d’une règle On peut souvent considérer la même fonction, mais sur les réels
Faites les exercices suivants Section 4 # 6
Malheureusement, on ne peut pas toujours trouver une fonction réelle qui donne la suite étudiée lorsqu’on la restreint aux nombres entiers. Ce qui peut rendre l’évaluation de la limite difficile. Mais dans plusieurs cas, on n’a pas besoin de connaître la valeur de la limite. Déterminer si la suite est convergente ou divergente est suffisant.
Définition: On dit qu’une suite est monotone si elle est toujours croissante ou toujours décroissante. On dit qu’une suite est bornée supérieurement s’il existe un nombre tel que On dit qu’une suite est bornée inférieurement s’il existe un nombre tel que On dit qu’une suite est bornée si elle est bornée supérieurement et inférieurement.
Théorème: Si une suite converge alors elle est bornée. Preuve: Si une suite converge alors On peut prendre il existe un certain tel que sont bornés inférieurement par et bornés supérieurement par ensemble fini de nombres possède un plus grand et un plus peti
Énoncé comme ça, ce théorème ne semble pas être très utile. Par contre, sa contraposée fournit un outil simple et rapide pour déterminer si une suite diverge. Si une suite n’est pas bornée alors elle diverge. Théorème:
Théorème: Une suite monotone bornée est convergente. Preuve: Supposons qu’elle est croissante et posons sa plus petite borne supérieure. Montrons que avec une preuve par contradiction Fixons un certain et supposons qu’on ait jamais Puisque la suite est croissante, on a donc que pour tout. Ce qui contredit le fait que est la plus petite borne supérie
Faites les exercices suivants Section 4 # 7, 8 et 9
Aujourd’hui, nous avons vu ✓ Suites définis par récurrence ✓ Convergence et divergence de suite
Devoir: Section 4. 2
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