4 2 Ensayos aleatorios simples Gustavo Rocha 2012

4. 2 Ensayos aleatorios simples Gustavo Rocha 2012 - 1

Distribución de Bernoulli Si se considera que en un nacimiento, la probabilidad de que sea niño es p = 18/35, y se define la variable aleatoria X, que si toma el valor 0 significa el nacimiento de una niña, y si toma el valor 1 significa el nacimiento de un niño, entonces, la variable aleatoria discreta es una distribución de Bernoulli, con parámetro 18/35.

Distribución binomial La varianza máxima ocurre para p = ½, y la varianza mínima es cero en los extremos, cuando p = 0 o p = 1, como es obvio.

Distribución binomial Si X es la variable aleatoria que describe el número de águilas que caen, al lanzar consecutivamente tres veces una moneda y considerando que la moneda no está cargada, identifique la distribución de probabilidad de la variable aleatoria, determine su función de masa de probabilidad y su función de distribución acumulada, calcule la probabilidad de que caigan exactamente dos águilas y la probabilidad de que caigan al menos dos águilas, determine la media, la varianza y el coeficiente de variación de la variable aleatoria X.

Distribución binomial Se tiene un registro que indica que el 4% de los tornillos producidos por la fábrica Tor son defectuosos. Para efectos de control de calidad del producto, cada día se toma una muestra de 15 tornillos y se determina el número de defectuosos. Determine la probabilidad de que haya dos o más defectuosos.

Distribución binomial Un circuito tiene n interruptores en paralelo, cada uno de los cuales opera independientemente y está cerrado con probabilidad p. El circuito pasa corriente de la terminal A a la terminal B si al menos la mitad de sus interruptores se mantienen cerrados. Determine para qué valores de p opera mejor un circuito con 5 interruptores que un circuito con 3

Teorema de Bernoulli ¿Cómo estimar el valor del parámetro de proporción p, denominado probabilidad de éxito? v el clásico o a priori, restringido casi en absoluto a los juegos de azar NO v el frecuencial o a posteriori, aplicable a cualquier experimento repetible OK El criterio de probabilidad frecuencial consiste en asignar, como probabilidad de un evento, la frecuencia relativa obtenida al repetir el experimento v un número grande de veces ¿qué es grande? v en condiciones similares ¿qué son similares?

“… si la probabilidad de una suceso es p, después de un número n grande de repeticiones, lo más razonable es apostar a que ocurrirá alrededor de np veces” Cardano

“Aquí hay otro camino disponible para alcanzar el resultado deseado. Lo que no se puede hallar a priori se puede obtener a posteriori, es decir, mediante la observación múltiple de los resultados de pruebas similares…” Jacob Bernoulli

Teorema de Bernoulli Es la ley de los grandes números, en su forma más intuitiva y básica: Certeza moral: probabilidad intuida, indicativa de un muy alto grado de probabilidad, suficiente para la toma de decisiones, aunque falto de certeza absoluta. Y se dice que la frecuencia relativa X/n converge a la probabilidad p.

“Hay certeza moral cuando la probabilidad es casi igual a la certeza total. . . una cosa es considerada moralmente cierta cuando tiene 999/1000 de certeza, y otra será moralmente imposible cuando tenga 1/1000 de certeza” Bernoulli

Ley de los grandes números La ley de los grandes números suele interpretarse en forma equivocada: – No es cierto que al lanzar una moneda n veces, la mitad de ellas caerá águila y la otra mitad caerá sol – Tampoco es cierto que si lanzamos la moneda el número de veces que establece el teorema de Bernoulli, se va a cumplir en automático que la frecuencia relativa de obtener águilas no diferirá de la probabilidad p = 0. 5, en más de , porque la frecuencia relativa f = X/n es una variable aleatoria y no un valor observado. – No es cierto que la duración media de un juego específico se pueda predecir con certeza, con solo conocer las reglas establecidas. Si se considera un conjunto grande de diferentes juegos

Ley de los grandes números Ø Si se considera un conjunto grande de diferentes juegos de lanzamiento de monedas, es razonable esperar que, en cierto momento, las águilas estén en ventaja la mitad de las veces; que es distinto a que haya igual número de águilas y soles. Ø Si se realizan juegos de lanzamiento de monedas en un número grande de lugares diferentes, es razonable esperar que, si lanzamos la moneda el número de veces establecido por Bernoulli, en cerca de (1 - ) % de ellas, la frecuencia relativa observada diferiría de p = 0. 5 en menos de . Ø La duración media de un determinado juego no tiene nada que ver con la duración media de un conjunto de juegos. Ø Es bastante probable que el jugador que finalmente gana, haya estado en ventaja prácticamente durante todo el juego.

Distribución multinomial Si X es la variable aleatoria que describe el número de águilas que caen, al lanzar consecutivamente tres veces una moneda, también se puede considerar la variable aleatoria Y, que describe el número de soles que caen. Determine la función de masa de probabilidad conjunta de las variables X e Y.

Distribución multinomial Si un dados se lanzan ocho veces consecutivas, determine la probabilidad de que haya caído tres veces el 4, dos veces el 6, una vez el 1 el 3 y el 5, y ninguna vez el 2. n = número de ensayos = 8 Xi = número de veces que cae i = 1, 2, …, 6 pi = probabilidad de que caiga i = 1/6

Distribución multinomial v Según el comportamiento mendeliano, la cruza de cierta especie de ratones da por resultado crías negras, grises y blancas, conforme a la relación 8: 4: 4. Calcule la probabilidad de que, de diez ratones elegidos al azar, 6 sean negros, 3 grises y 1 blanco. v n = número de ratones considerados = 10 v X 1 = número de ratones negros; p 1 = 8/16 = 0. 5 v X 2 = número de ratones grises; p 2 = 4/16 = 0. 25 v X 3 = número de ratones blancos; p 3 = 4/16 = 0. 25

Distribución multinomial

Modelos directos e inversos Modelo directo: describe el comportamiento de una variable aleatoria generada mediante cierto proceso. Ø la distribución binomial, que cuenta el número x de éxitos en n ensayos Modelo inverso: describe la conducta de otra variable aleatoria, que cuenta o mide los eventos en sentido inverso a la anterior. Ø la distribución binomial negativa, que cuenta el número x de ensayos para obtener k éxitos.

Distribución geométrica El primer éxito en el ensayo x se presenta con probabilidad máxima cuando la probabilidad de éxito p es el recíproco de x.

Distribución geométrica Si X es la variable aleatoria que describe el número de volados requeridos para que caiga la primera águila, considerando que la moneda no está cargada, identifique la distribución de probabilidad de la variable aleatoria, determine su función de masa de probabilidad y su función de distribución acumulada, calcule la probabilidad de que se requieran exactamente tres volados para obtener la primera águila, la probabilidad de que se requieran más de dos volados, determine la media, la varianza y el coeficiente de variación de la variable aleatoria X.

Distribución geométrica Un matrimonio decide tener tantos hijos como sea necesario hasta que llegue una niña; suponiendo que la probabilidad de que tener una hija mujer es 17/35, calcule la probabilidad de que la pareja tenga en total, tres hijos o más y determine el número total esperado de hijos, entre niños y la niña, que tendrá el matrimonio.

Distribución geométrica En un proceso de fabricación se sabe que, en promedio, uno de cada 50 artículos sale defectuoso. Determine la probabilidad de que el cuarto artículo que se inspecciona resulte ser el primer artículo defectuoso.

Distribución binomial negativa La probabilidad de que un pozo exploratorio resulte productor de aceite es de 0. 15. Si se perforan pozos exploratorios hasta obtener cuatro productores, calcule la probabilidad de que se tengan que perforar 10 o más pozos y determine el número esperado de pozos a ser perforados.

Distribución binomial negativa Stefan Banach, un matemático fumador, siempre llevaba dos cajas de fósforos, uno en su bolsillo izquierdo y otro en su bolsillo derecho. Cada vez que necesitaba un fósforo, escogía al azar uno de los dos bolsillos y sacaba un fósforo de la caja correspondiente; suponga que cada una de las cajas contenía originalmente N fósforos. Si al intentar sacar un fósforo de un bolsillo descubrió que la caja estaba vacía, él se preguntó ¿cuántos fósforos quedarán en la otra caja? Sea X la cantidad de fósforos restantes; determine su densidad de probabilidad.

Distribución binomial negativa Considere un cable eléctrico constituido por varios alambres de aluminio independientes; cuando el cable se somete a una sobrecarga, la probabilidad de que un alambre se fracture es 0. 04. Si el cable debe ser reemplazado cuando se hayan fracturado 3 alambres y suponiendo que no ocurre la falla de 2 o más alambres en una misma sobrecarga, determine la probabilidad de que el cable pueda soportar al menos 5 sobrecargas, antes de ser reemplazado.

Distribución de Pascal El caballero e Méré sabía que en cuatro tiradas de un dado perfecto, si apostaba por conseguir al menos un seis, había una ventaja a su favor de 0. 5177; en cambio, en 24 tiradas de dos dados lanzados simultáneamente, parecía haber una cierta desventaja y él no se explicaba por qué ocurría esto, si la relación de 4 a 6 es la misma que la relación 24 a 36. El problema puede plantearse así: Si un jugador conoce la probabilidad de éxito en una jugada, ¿cuántas jugadas le garantizan obtener al menos un éxito con una probabilidad de 0. 5? Se entiende que las jugadas son independientes, por lo que los resultados en cada una de ellas no afectan los resultados futuros.

Distribución hipergeométrica Se tiene en inventario 2, 000 piezas de azulejo, 70 de las cuales no fueron terminadas adecuadamente y es muy probable que se quebrarán cuando sean expuestos a la intemperie. Desafortunadamente, las baldosas están todas mezcladas y no es posible identificar visualmente las defectuosas. Si un cliente compra 800 piezas, el número de baldosas defectuosas que se lleva puede ser estimado mediante una distribución hipergeométrica con parámetros 800, 2000, 70. Determine la FMP, la FDA, la probabilidad de que haya al menos 30 piezas defectuosas, la media y la varianza.

Distribución hipergeométrica Considere una urna que contiene 40 bolas blancas y 60 negras; si X es el número de bolas blancas, de un total de 15 bolas extraídas de la urna, sin reemplazo, obtenga la función de masa de probabilidad que modela el problema, su función de distribución acumulada, su media y su varianza.