30 Erste Anwendungen 30 1 Cramersche Regel Fr

§ 30 Erste Anwendungen (30. 1) Cramersche Regel: Für invertierbare (n, n)-Matrizen A ist die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b gegeben durch: Vgl. § 1. 04. 02 (30. 2) Rangberechnung: Zur Rangberechnung wird man häufig die elementaren Umformungen verwenden. Gelegentlich ist es günstiger, die Unterdeterminanten zu betrachten. Eine (r-reihige) Unterdeterminante einer (m, n)-Matrix A ist jede Determinante det(B), bei der B eine (r, r)-Matrix ist, die aus A durch Streichen von m-r Zeilen und n-r Spalten entsteht. Folie 1

Kapitel V, § 30 (30. 3) Satz: Für eine (m, n)-Matrix A sind äquivalent: 1 o rg A = r. 2 o Es gibt einen r-reihige Unterdeterminante von A ungleich 0 , und jede r+1 -reihige Unterdeterminante von A ist 0. (30. 4) Invertierbarkeit: Eine (n. n)-Matrix A ist invertierbar, genau dann wenn det A ungleich 0 ist. Entsprechend hat eine lineare Abbildung f von Kn nach Kn genau dann eine Umkehrabbildung, wenn die Matrix von f nichtverschwindende Determinante hat. In der Analysis analog: Sind U und V offene Mengen in Rn und ist f eine stetig differenzierbare Abbildung von U nach V , so gilt: Hat die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) nichtverschwindende Determinante in einem Punkt x aus U , so hat f bei x eine lokale Umkehrabbildung. Folie 2

Kapitel V, § 30 (30. 5) Zweidimensionale (affine) Geometrie: 1 o Für Punkte P, Q aus K 2 liegt X genau dann auf der Geraden durch P und Q, wenn 2 o Je drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkte P, Q und R aus K 2 liegen auf einer eindeutig bestimmten Kreislinie, und zwar auf: (30. 6) Kreuzprodukt: 1 o Für Vektoren X, Y aus K 3 ist das Kreuzprodukt von X und Y definiert durch die Formel Folie 3

Kapitel V, § 30 Also ist und diese Komponenten sind drei Determinanten! 2 o Daraus folgt: Für eine (3, 3)-Matrix A mit den Spaltenvektoren X, Y und Z gilt (30. 7) Eigenwerte: Zu den wichtigsten Problemen in Theorie und Anwendungen gehört die Bestimmung von Eigenwerten: (30. 8) Definition: Ein Eigenwert einer (n, n)-Matrix A ist ein Element λ aus K, zu dem es einen Vektor x aus Kn{0} gibt mit Ax = λx. (30. 9) Satz: λ ist genau dann Eigenwert von A , wenn λ Nullstelle des Polynoms det(A - λE) ist. Folie 4

Kapitel V, § 30 (30. 10) Determinante von Endomorphismen: 06. 02 Für einen Endomorphismus f aus End(V) = Hom(V, V) eines endlichdimensionalen K-Vektorraums V wird durch Festlegung einer geordneten Basis b die zu f gehörige Matrix A = A(b) definiert. Für eine weitere Basis c liefert die zu f gehörige Matrix A = A(c) dieselbe Determinante! Denn für die durch Gegebene Transformationsmatrix T gilt: A(c) = TA(b)T-1 , also det(A(c)) = det(T)det(A(b))det(T-1) = det(A(b))det(TT-1) = det(A(b)). (30. 10) Orientierung: Der Körper sei jetzt der Körper der reellen Zahlen: K = R , und V sei endlichdimensional. Zwei geordnete Basen b und c von V heißen gleichorientiert, wenn die Transformationsmatrix T zwischen ihnen eine positive Determinante hat. Folie 5

Kapitel V, § 30 Behauptung: Die Menge der geordneten Basen zerfällt in zwei Äquivalenzklassen. Diese Äquivalenzklassen sind definitionsgemäß die beiden Orientierungen von V. Sei b eine geordnete Basis von V. b setzt eine Orientierung von V fest. Die Resultate über die Parametrisierung von Basen zeigen: Die Menge aller zu b gleichorientierten Basen, also die durch b gegebene Äquivalenzklasse ist {(Ab 1, Ab 2, . . . , Abn) : A aus GL+(n, R)} Dabei ist GL+(n, R) : = {A aus GL(n, R) : det(A) > 0}. Bemerkung: GL+(n, R) ist eine Gruppe. (30. 11) Definition: Ein orientierter reeller Vektorraum ist ein Vektorraum über R mit einer Orientierung. Folie 6

Kapitel V, § 30 (30. 12) Satz: Sei V ein orientierter, endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem euklidischen Skalarprodukt. Die Menge der Matrizen, welche die Orientierung und das Skalarprodukt erhalten, ist die spezielle orthogonale Gruppe: SO(n, R) : = {A aus O(n, R) : det(A) = 1}. Hintergrund: Für Matrizen A aus O(n, R) gilt stets det. A = 1 oder det. A = -1. Folie 7