3 Zkladn metdy rieenia elektrickch obvodov vod Metdy

3. Základné metódy riešenia elektrických obvodov • • Úvod Metódy riešenia Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov Metóda stavových premenných

Náplň predmetu Elektrické obvody I Problematika teórie a riešenia elektrických obvodov (EO) je príliš rozsiahla na možnosti náplne jedného semestra. V predmete Elektrické obvody I sa preto budeme zaoberať len niektorými vybranými oblasťami. Obsahom predmetu Elektrické obvody I budú tri tématické celky: 1. Lineárne EO v ustálenom stacionárnom stave 2. Nelineárne EO v ustálenom stacionárnom stave 3. Lineárne EO v ustálenom harmonickom stave Elektrické obvody (EO) So sústredenými parametrami Lineárne Podľa linearity prvkov Podľa časových priebehov napätia a prúdu S rozloženými parametrami Stacionárne Nelineárne Periodické Harmonické Neperiodické Neharmonické 3 -1

3. Metódy riešenia elektrických obvodov Pod pojmom riešenie elektrického obvodu najčastejšie myslíme určenie všetkých neznámych napätí a/alebo prúdov - tzv. analýzu elektrického obvodu. Niekedy je problém formulovaný opačne: v určitých úsekoch obvodu požadujeme isté hodnoty napätia a prúdu a úlohou je nájsť také zapojenie prvkov obvodu, ktorým tieto hodnoty dosiahneme. V takomto prípade hovoríme o syntéze elektrického obvodu. Pri analýze elektrického obvodu postupujeme tak, že najprv definujeme všetky neznáme veličiny, potom sformulujeme matematický model (sústavu rovníc potrebných na určenie všetkých neznámych) a nakoniec použijeme vhodnú matematickú metódu na vyriešenie tejto sústavy rovníc. V úlohách, ktoré budeme riešiť, pôjde predovšetkým o analýzu elektrických obvodov. Pre obvody pozostávajúce z elementárnych ideálnych dvojpólov to znamená určiť: • Prúdy cez všetky rezistory (resp. napätia na všetkých rezistoroch) • Prúdy (príp. napätia) cez všetky induktory • Napätia (príp. prúdy) na všetkých kapacitoroch • Prúdy cez všetky ideálne zdroje napätia • Napätia na všetkých ideálnych zdrojoch prúdu Tieto veličiny umožňujú vypočítať všetky výkony v obvode. Formulácia matematického modelu elektrického obvodu vychádza z I. a II. Kirchhoffovho zákona a terminálových vzťahov pre jednotlivé dvojpóly (resp. n-póly). Najjednoduchšou (pokiaľ ide o postup pri zostavovaní sústavy rovníc) a najvšeobecnejšou metódou je metóda priamej aplikácie Kirchhoffových zákonov, resp. metóda stavových premenných. Táto metóda však zvyčajne nie je najvýhodnejšia z hľadiska počtu rovníc a „prácnosti“ pri výpočte. Existuje preto viacero iných metód (metóda uzlových (vetvových) napätí, slučkových (tetivových) prúdov, riešenie použitím rôznych transformácií (Fourierova, Laplaceova. . . )), ktoré podľa konkrétneho typu obvodu zjednodušujú a urýchľujú výpočet. 3 -2

3. 1. Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov (1/2) Pri metóde priamej aplikácie Kirchhoffových zákonov zostavíme rovnice na analýzu obvodu použitím len I. a II. KZ a terminálových vzťahov pre jednotlivé n-póly. Postup ukážeme na jednoduchom príklade obvod na obrázku. R 2 R 1 i. R(t) uz(t) C u. C(t) L i. L(t) Úlohou je určiť prúdy i. R(t), i. L(t) a napätie u. C(t) - spolu 3 neznáme veličiny – pri známych hodnotách R 1, R 2, L, C a zadanom časovom priebehu uz(t). Predpokladajme najprv, že napíšeme rovnice I. KZ pre všetky uzly a II. KZ pre všetky slučky. V obvode sú 2 uzly a 3 slučky - spolu 5 rovníc. Je zrejmé, že dve rovnice sú „navyše“ - sústava rovníc je lineárne závislá a preto nesprávne zostavená. Pri analýze ľubovoľného elektrického obvodu je preto v prvom rade potrebné nájsť správny počet rovníc a následne tieto rovnice zostaviť správnym spôsobom. Pravidlá pri určovaní rovníc vychádzajú z topologického rozboru elektrického obvodu a budú detailnejšie objasnené neskôr. Na tomto mieste len uvedieme, že rovnice I. KZ je potrebné napísať pre všetky nezávislé uzly a rovnice II. KZ pre všetky nezávislé slučky. Pri ich voľbe platia nasledujúce pravidlá: Počet nezávislých uzlov = počet všetkých uzlov 1 (jeden (ľubovoľne zvolený) uzol je lineárne závislý) Počet nezávislých slučiek= počet všetkých úsekov počet nezávislých uzlov alebo = počet jednoduchých slučiek („oká“ elektrického obvodu) Nezávislé slučky môžeme zvoliť ľubovoľne, nutnou podmienkou však je, aby každý úsek obvodu bol zahrnutý aspoň v jednej slučke. 3 -3

Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov (2/2) Podľa uvedených pravidiel dostaneme pre analyzovaný obvod: Počet nezávislých uzlov (I. KZ) = 1 i. R(t) uz(t) Počet nezávislých slučiek (II. KZ) = 2 u. R 1(t) u. R 2(t) R 1 R 2 i. C(t) C u. C(t) L u. L(t) i. L(t) Použitím terminálových vzťahov pre pasívne dvojpóly a po úprave získame: čo sú 3 lineárne nezávislé (diferenciálne) rovnice na výpočet 3. neznámych veličín i. R(t), i. L(t) a u. C(t). Matematické (t. j. analytické, resp. numerické) riešenie výslednej sústavy rovníc vyžaduje okrem znalosti R 1, R 2, L, C a uz(t) aj hodnotu napätia na kapacitore a prúdu cez induktor v čase, ktorý zvolíme ako začiatok riešenia - teda počiatočné podmienky u. C(0) a i. L(0). 3 -4

3. 2. Metóda stavových premenných Kvôli zjednodušeniu ďalej označme x 1 i. R(t), x 2 u. C(t), x 3 i. L(t) a x d x(t)/d t, čím dostaneme Z matematického pohľadu pritom nejde o sústavu 3 diferenciálnych rovníc, pretože ani v jednej z nich nevystupuje derivácia x 1. Ak vyjadríme z prvej rovnice x 1 a dosadíme do druhej, dostaneme: čo je sústava dvoch diferenciálnych rovníc (prvého rádu) pre x 2 a x 3. Týmto spôsobom sme zostavili sústavu diferenciálnych rovníc pre stavové veličiny obvodu, ktorými sú v prípade elektrických obvodov pozostávajúcich z elementárnych dvojpólov napätia na kapacitoroch (v našom prípade x 2) a prúdy induktormi (v našom prípade x 3). Táto metóda riešenia sa nazýva metóda stavových premenných. Uvedený príklad slúžil len ako ilustrácia tejto metódy; problematika riešenia elektrických obvodov pomocou metódy stavových premenných je podstatne rozsiahlejšia a záujemcom odporúčame napr. [3]. Táto metóda je vhodná predovšetkým pre numerické metódy riešenia, keďže numerické algoritmy riešenia sústav diferenciálnych rovníc (či už lineárnych, alebo nelineárnych) sú v sučasnosti všeobecne známe a zahrnuté prakticky v každom matematickom programovom balíku (Mathematica, Mat. Lab, Maple, Math. Cad atď. ). 3 -5

3. 2. 1. Ukážka výsledkov riešenia Na záver tejto kapitoly ukážeme výsledky pre analyzovaný obvod, získané numericky pomocou štandardnej numerickej metódy Runge-Kutta. Počiatočné podmienky u. C(0) = 0 a i. L(0) = 0 zodpovedajú nenabitému kapacitoru a induktoru s nulovým prúdom – riešime priebeh napätí a prúdov po pripojení zdroja napätia. R 2 R 1 i. R(t) C uz(t) u. C(t) R 1 = 50 , R 2 = 40 L C = 100 F, L = 0, 5 H i. L(t) uz(t) = 200 V zdroj konštantného napätia 4. 5 i [A] u [V] 140 4. 0 u. C(t) 3. 5 120 3. 0 2. 5 4 i [A] i. L(t) 80 2 40 1. 0 120 80 i. L(t) 40 0 60 i. R(t) 1. 5 u [V] u. C(t) 100 2. 0 -2 0 i. R(t) -40 -80 20 0. 5 0. 00 uz(t) = 200 sin(2 f t) zdroj harmonického napätia s frekvenciou f = 60 Hz 0. 01 0. 02 0. 03 t [s] 0. 04 0 0. 05 -4 0. 00 0. 01 0. 02 0. 03 0. 04 -120 0. 05 t [s] 3 -6