3 SMALL WORLDS The WattsStrogatz model WattsStrogatz Nature
- Slides: 30
3. SMALL WORLDS The Watts-Strogatz model
Watts-Strogatz, Nature 1998 Small world: the average shortest path length in a real network is small Six degrees of separation (Milgram, 1967) Local neighborhood + long-range friends A random graph is a small world
Networks in nature (empirical observations)
Model proposed Crossover from regular lattices to random graphs Tunable Small world network with (simultaneously): – Small average shortest path – Large clustering coefficient (not obeyed by RG)
Two ways of constructing
Original model Each node has K>=4 nearest neighbors (local) Probability p of rewiring to randomly chosen nodes p small: regular lattice p large: classical random graph
p=0 Ordered lattice
p=1 Random graph
Small shortest path means small clustering? Large shortest path means large clustering? They discovered: there exists a broad region: – Fast decrease of mean distance – Constant clustering
Average shortest path Rapid drop of l, due to the appearance of short-cuts between nodes l starts to decrease when p>=2/NK (existence of one short cut)
The value of p at which we should expect the transtion depends on N There will exist a crossover value of the system size:
Scaling hypothesis
N*=N*(p)
Crossover length d: dimension of the original regular lattice for the 1 -d ring
Crossover length on p
General scaling form Depends on 3 variables, entirely determined by a single scalar function. Not an easy task
Mean-field results Newman-Moore-Watts
Smallest-world network
L nodes connected by L links of unit length Central node with short-cuts with probability p, of length ½ p=0 l=L/4 p=1 l=1
Distribution of shortest paths Can be computed exactly In the limit L-> , p->0, but =p. L constant. z=l/L
different values of p. L
Average shortest path length
Clustering coefficient How C depends on p? New definition C’(p)= 3 xnumber of triangles / number of connected triples C’(p) computed analytically for the original model
Degree distribution p=0 delta-function p>0 broadens the distribution Edges left in place with probability (1 -p) Edges rewired towards i with probability 1/N notes
only one edge is rewired exponential decay, all nodes have similar number of links
Spectrum ( ) depends on K p=0 regular lattice ( ) has singularities p grows singularities broaden p->1 semicircle law
3 rd moment is high [clustering, large number of triangles]
- Norton worlds together worlds apart
- Nature and nature's law lay hid in night
- Determinace lidské psychiky
- Hình ảnh bộ gõ cơ thể búng tay
- Lp html
- Bổ thể
- Tỉ lệ cơ thể trẻ em
- Voi kéo gỗ như thế nào
- Tư thế worm breton là gì
- Hát lên người ơi
- Các môn thể thao bắt đầu bằng tiếng nhảy
- Thế nào là hệ số cao nhất
- Các châu lục và đại dương trên thế giới
- Công thức tính thế năng
- Trời xanh đây là của chúng ta thể thơ
- Cách giải mật thư tọa độ
- 101012 bằng
- độ dài liên kết
- Các châu lục và đại dương trên thế giới
- Thơ thất ngôn tứ tuyệt đường luật
- Quá trình desamine hóa có thể tạo ra
- Một số thể thơ truyền thống
- Cái miệng bé xinh thế chỉ nói điều hay thôi
- Vẽ hình chiếu vuông góc của vật thể sau
- Biện pháp chống mỏi cơ
- đặc điểm cơ thể của người tối cổ
- Thế nào là giọng cùng tên
- Vẽ hình chiếu đứng bằng cạnh của vật thể
- Tia chieu sa te
- Thẻ vin
- đại từ thay thế