3 Revised Simplex Method slacks variablesinitial basic variables

3. Revised Simplex Method 一般狀況，我們可以用slacks variables構成initial basic variables (x. B) ，得到一組initial feasible solution。 必須是 單位矩陣 NXN + BXB = [b] B-1 NXN + XB = B-1[b] 但，不是每個LP model的標準化都使用slack var. !!! Max f = 4 x 1 + 2 x 2 - x 3 + 5 x 4 + 0 sl 1 + 0 su 1 Max f = 4 x 1 + 2 x 2 - x 3 + 5 x 4 3 x 1 + x 2 - 2 x 3 + 4 x 4 25 2 x 1 - x 2 + x 3 + 2 x 4 15 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 20 x 1, x 2, x 3, x 2 0 3 x 1 + x 2 - 2 x 3 + 4 x 4 + sl 1 標準化 2 x 1 - x 2 + x 3 + 2 x 4 = 25 - su 1 = 15 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 20 x 1, x 2, x 3, x 2, sl 1, su 1 0 Surplus var. 不能當basic var. 少一個basic var. 所以為了利用simplex method求解，必須再製造出兩個 var. s出來 “artificial var. ”才會使initial B是單位矩陣。 2020/11/22 1

3. 1 Revised Simplex Method – Big M method Max f = 4 x 1 + 2 x 2 - x 3 + 5 x 4 + 0 sl 1 + 0 su 1 3 x 1 + x 2 - 2 x 3 + 4 x 4 + sl 1 = 25 2 x 1 - x 2 + x 3 + 2 x 4 - su 1 = 15 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 20 sl 1 = 25 su 1 = -15 …… V X none x 1, x 2, x 3, x 2, sl 1, su 1 0 Max f = 4 x 1 + 2 x 2 - x 3 + 5 x 4 + 0 sl 1 + 0 su 1– Ma 1 – Ma 2 3 x 1 + x 2 - 2 x 3 + 4 x 4 + sl 1 2 x 1 - x 2 + x 3 + 2 x 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 - su 1 + a 1 = 25 = 15 + a 2 = 20 x 1, x 2, x 3, x 2, sl 1, su 1 , a 1, a 2 0 2020/11/22 在最後的optimal solution中， 一定必須使a 1, a 2=0，才能滿足 原來的constraints。 2

3. 1 Revised Simplex Method – Big M method (cont’) Max f = 4 x 1 + 2 x 2 - x 3 + 5 x 4 + 0 sl 1 + 0 su 1– Ma 1 – Ma 2 3 x 1 + x 2 - 2 x 3 + 4 x 4 + sl 1 = 25 2 x 1 - x 2 + x 3 + 2 x 4 - su 1 + a 1 = 15 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 + a 2 = 20 x 1, x 2, x 3, x 2, sl 1, su 1 , a 1, a 2 0 Cj 4 2 -1 5 0 x. B x 1 x 2 x 3 x 4 sl 1 su 1 a 2 bi x. B 1=sl 1 3 1 -2 4 1 0 0 0 25 2 c. B 2= – M x. B 2=a 1 2 -1 1 2 0 -1 1 0 15 3 c. B 3= – M x. B 3=a 2 1 2 3 1 0 0 0 1 20 fj -3 M -M -4 M -3 M 0 M -M -M Cj-fj 3 M +4 M +2 4 M 3 M -1 +5 0 -M 0 0 i c. B 1= 0 2020/11/22 0 -M -M i ∑ic. Bibi= – 35 M 3

3. 3 Revised Simplex Method – Two Phase method Phase I : 找initial feasible solution (不用M)。 Phase II: 根據I找到的solution求optimal solution。 Phase I: 如果化標準式時，引用了p個artificial var. s，則令 Min f’=a 1+a 2+…+ap為新的objective function。 Cases in the final tableau of Phase I Min f’ > 0; 表示有些 artificial var. s在得optimal solution時，其值不為 0！ 這表示原題無解。 Min f’ = 0且沒有artificial var. 留在basic var. s (x. B)中; 表示所有artificial var. s在 求解過程中均被替換掉。 Min f’ = 0且有artificial var. 留在basic var. s (x. B)中; 表 示原題中有多餘的 constraint。 Phase II 不須進行Phase II 2020/11/22 把f’換回 f，把所有 artificial var. s自Phase I的 final tableau中移除，繼續 做simplex method。 把f’換回f，把所有artificial var. s自 Phase I的final tableau中移除，去掉多 餘的constraint，繼續做simplex method。 5

3. 3 Two Phase method - example 4 x 1 + 2 x 2 80 4 x 1 + 2 x 2 – su 1 2 x 1 + 3 x 2 90 2 x 1 + 3 x 2 Cj’ c. B 4 x 1 + 2 x 2 – su 1 + a 1 = 80 2 x 1 + 3 x 2 – su 2 = 90 x. B (12 5 0 0) 0 0 x 1 x 2 – su 2 + a 2 = 90 1 1 su 2 a 1 a 2 bi i 0 80 20 1 c. B 1= 1 x. B 1=a 1 4 2 -1 0 1 2 c. B 2= 1 x. B 2=a 2 2 3 0 -1 0 4 x 11+2 x 2 -su 901+a 1=8045 2020/11/22 fj’ 6 5 -1 -1 Cj’-fj’ -6 -5 1 1 = 80 x 1, x 2, su 1, su 2, a 1, a 2 0 x 1, x 2 su 1, su 2 0 x 1, x 2 0 i Min f = 12 x 1 + 5 x 2 x 1=20 -0. 5 x 2+0. 25 su 1 -0. 25 a 1 1 此時x 1 每單位可降低成本為 6 ∑ic. Bibi= 170 1 0 2 x 10+3 x 2 -su 2+a 2=90 x 1=45 -1. 5 x 2+0. 5 su 2 -0. 5 a 2 6

3. 3 Two Phase method – example (cont’) Phase I final i c. B Min Cj (12 ) Min Cj’ 0 x. B 5 0 0 - - 0 0 0 1 1 a 2 x 1 x 2 su 1 su 2 a 1 1 c. B 1= 0 x. B 1=x 1 1 0 -⅜ ¼ 2 c. B 2= 0 x. B 2=x 2 0 1 ¼ -½ -¼ ½ fj’ 0 0 0 Cj’-fj’ 0 0 1 1 Min Cj 12 5 0 Phase II first i x 2 su 1 su 2 1 c. B 1= 12 x. B 1=x 1 1 0 -⅜ ¼ 2 x. B 2=x 2 0 1 ¼ -½ fj 12 5 ½ Cj-fj 0 0 -½ c. B 2= 5 x. B i ⅜ -¼ 25 ∑ic. Bibi= 0 0 x 1 2020/11/22 c. B bi bi i 30 25 - ∑ic. Bibi= 215 7

3. 3 Two Phase method – example (cont’) Phase II final Min Cj 12 i c. B x 1 x 2 1 c. B 1= 0 x. B 1=su 2 4 0 2 c. B 2= 5 x. B 2=x 2 2 1 fj 10 5 Cj-fj 2020/11/22 5 0 0 bi i 1 30 30 0 40 40 su 1 su 2 -½ 0 ∑ic. Bibi= 200 2 0 0 沒有小於 0的值 8

3. 4 Revised Simplex Method – Unrestricted Variable 當任何一個decision variable 以xj xj，沒有受到非負( 0)限制時則， = xj’ - xj’’其中xj’, xj’’ 0來取代原來的xj。 Max f = 3 x 1 +2 x 2 + x 3 Max f = 3 x 3 x 21+2 y ’’ +2 x 3 y 1’–– 3 y 3 +2 y+4 x 3 2 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 ≤ 12 2 x 2 x 21+’’ 5 y + 5 x + 2 x ≤ 12 2 y 1’–– 2 y 3 +2 2 y 4 ≤ 3 12 6 x 1 + 8 x 2 ≤ 22 x 2, x 3 0 x 1 = x 1’ – x 1’’ 6 x 6 x 21+’’ 8 y + 8 x 6 y 1’–– 6 y 3 2 ≤ 22 xy 1’, , yx 21, ’’, y 3, xy 2, 4 x 3 0 0 x 1沒有受到限制 2020/11/22 9

3. 5 用simplex method觀察linear programming解的特性 ☻多重解(Multi-solutions) - An example of final tableau Max Cj 3 2 0 0 sl 1 sl 2 bi i i c. B x 1 x 2 1 c. B 1= 2 x. B 1=x 2 0 1 - 2 c. B 2= 3 x. B 2=x 1 1 0 12 fj 3 2 ½ 0 ∑ic. Bibi= 12 Cj-fj 0 0 -½ 0 不會增加利益 也不會減少利益 表示有另一組optimal sol. Max Cj 3 2 0 0 x 1 x 2 sl 1 sl 2 bi i c. B x. B 1 c. B 1= 2 x. B 1=x 2 1 ¼ 0 6 2 c. B 2= 0 x. B 2=sl 2 0 -¾ 1 12 2020/11/22 i fj 3 2 ½ 0 ∑ic. Bibi= 12 Cj-fj 0 0 -½ 0 不生產x 1也可以 10

3. 5 用simplex method觀察linear programming解的特性 – Cont’ ☻無限值解(Unbounded solution) - An example of 1 st and 2 nd tableaus Max Cj 2 3 0 0 -M x. B x 1 x 2 su sl a bi 1 c. B 1= -M x. B 1= a 1 1 -1 0 1 3 i 3 2 x. B 2= sl 1 -2 0 1 0 4 - fj -M -M M 0 Cj-fj 2+M 3+M -M 0 Max Cj 2 3 0 0 i c. B 2= 0 -M ∑ic. Bibi= -3 M 0 x 1 ＋ x 2 3 x 1 － 2 x 2 4 i c. B x 1 x 2 su sl bi i 1 c. B 1= 3 x. B 1= x 2 1 1 -1 0 3 - 2 c. B 2= 0 x. B 2= sl 3 0 -2 1 10 - fj 3 3 -3 0 ∑ic. Bibi= 9 Cj-fj -1 0 3 0 2020/11/22 x 1 + x 2 – su = 3 ? x 2 = 3 + su – x 1 3 x 1– 2 su + sl = 10 + 2 su – 3 x 1 11

3. 5 用simplex method觀察linear programming解的特性 – Cont’ ☻無可行解(Infeasible solution) - An example of 1 st and final tableaus Max Cj 4 3 0 0 0 -M i c. B x 1 x 2 sl 1 sl 2 su a bi i 1 c. B 1=0 x. B 1= sl 1 1 0 0 0 3 3 2 c. B 2=0 x. B 2= sl 2 2 -1 0 0 3 1. 5 3 c. B 3=-M x. B 3= a 1 0 0 0 -1 1 4 4 fj -M 0 0 0 M Cj-fj 4+M 3 0 0 -M Max Cj 4 -M ∑ic. Bibi= -4 M 0 3 0 0 0 -M x 1 x 2 sl 1 sl 2 su a bi i i c. B x. B 1 c. B 1=3 x. B 1= x 2 0 1 2/3 0 0 0 3 3 2 c. B 2=4 x. B 2= x 1 1 0 1/3 1 0 0 3 1. 5 3 c. B 3=-M x. B 3= a 0 0 -1/3 0 -1 1 4 4 fj 4 3 (10+M)/3 (1+M)/3 M Cj-fj 0 0 -(10+M)/3 -(1+M)/3 -M 2020/11/22 -M ∑ic. Bibi= 11 -2 M 0 12

3. 5 用simplex method觀察linear programming解的特性 – Cont’ ☻退化解(Degenerate solution有個限制條件是多餘的) - An example of final tableaus Max Cj 5 3 0 0 0 i c. B x 1 x 2 sl 1 sl 2 sl 3 bi 1 c. B 1=3 x. B 1= x 2 0 1 -1/2 0 2 2 2 c. B 2=5 x. B 2= x 1 1 0 1/2 0 -1 2 3 c. B 3=0 x. B 3= sl 2 0 0 -3/2 1 2 0 fj 5 3 1 0 1 Cj-fj 0 0 -1 i ∑ic. Bibi= 16 ☻Cycling cond’n in Simplex method - An example of final tableaus Max Cj 5 3 0 0 0 i c. B x 1 x 2 sl 1 sl 2 sl 3 bi i 1 c. B 1=0 x. B 1= sl 1 0 1 1 -1 0 2 2 2 c. B 2=5 x. B 2= x 1 1 1/4 0 5/2 10 3 c. B 3=0 x. B 3= sl 3 0 3/4 0 -1/4 1 3/2 2 fj 5 5/4 0 Cj-fj 0 7/4 0 -5/4 0 2020/11/22 ? ? ∑ic. Bibi= 25/2 13