3 Representao didrica de pontos rectas e planos

3. Representação diédrica de pontos, rectas e planos Geometria Descritiva 2006/2007 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Geometria de Monge n n Utilizam-se simultaneamente dois sistemas de projecção paralela ortogonal. Os planos de projecção são perpendiculares. Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Planos de projecção Plano frontal ( 0 ) A 1 – Projecção horizontal 0 A 2 – Projecção frontal y A z A 1 Plano horizontal ( 0 ) 0 X Eixo X Linha de terra Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra y – ordenada ou afastamento z – cota ou altura

Semi-planos de projecção 0 r erio sup l a nt o fr ano i pl Sem 2º Quadrante anoontal rior l p i riz ste Sem ho po 3º Quadrante 0 or nta teri n a l 1º Quadrante zo ori h o an pl mi Se l nta o 4º Quadrante r f no a l ip Sem ior er inf Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Cota e asfastamento 0 A 2 y A y – ordenada ou afastamento z z – cota ou altura A 1 2º Quadrante 1º Quadrante X 3º Quadrante 4º Quadrante Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra 0

Representação num plano A 2 ior l ta ron of n pla i Sem er sup z (cota) A 2 z no pla i r Sem rio e f l in nta o r of A 1 or teri n a al ont an i pl Sem X y (afastamento) z i hor r no al pla izont sterio X i r m po Se ho A y Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra A 1

Planos bissectores 0 X b 24 0 b 13 45º b 13 - 1º bissector b 24 - 2º bissector Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do ponto Pontos no 1º Quadrante C 2 D 2 A 2 D D 2 E 2 C A 2 A B 2 C 1 E 2 E B 2 X E 1 D 1 C 1 D 1 B B 1 E 1 A 1 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra B 1

Representação do ponto A 1 Pontos no 2º Quadrante B 1 D 2 C 2 B 2 D D 2 C C 2 D 1 X A 2 D 1 B 2 B C 1 A A 1 B 1 A 2 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra C 1

Representação do ponto Pontos no 3º Quadrante A 1 C 1 X B 1 X C 1 B 1 C A 1 C 2 B 2 A A 2 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra A 2 B 2 C 2

Representação do ponto Pontos no 4º Quadrante B 1 X D 2 C 1 B 1 D D 1 C C 2 A 1 X B B 2 A Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra D 2 A 1 C 2 A 2 B 2 D 1

Representação do ponto Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação da recta n n As projectantes dos vários pontos da recta definem planos projectantes A intersecção dos planos projectantes com os planos de projecção são as projecções da recta. Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação da recta n Recta oblíqua B 2 r B 2 B r 2 X A 2 r 2 B 1 r 1 A 2 A A 1 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra A 1 r 1 B 1

Representação da recta n Recta vertical r 2 r A 2 A B 2 B A 1 B 1 r 1 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra r 2 X r 1

Representação da recta n Recta de topo A 2 B 2 r 2 A B r 2 r X r 1 A 1 B 1 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra r 1

Representação da recta n Recta horizontal ou recta de nível r B 2 r 2 A 2 r 2 B A 2 B 2 A X r 1 A 1 B 1 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação da recta n Recta frontal ou de frente B 2 r B 2 A 2 r 2 A 2 B A X r 2 B 1 A 1 r 1 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra r 1 A 1 B 1

Representação da recta n Recta horizontal de frente B 2 r 2 A 2 B r A r 2 A 2 B 2 X B 1 A 1 r 1 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra r 1 A 1 B 1

Representação da recta n Recta de perfil r 2 A 2 B 2 A 2 r B B 2 A X r 1 B 1 A 1 B 1 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra A 1 r 1

Representação da recta n Recta passante r 2 A 2 B 2 A 2 r r 2 B B 1 B 2 A X A 1 r 1 B 1 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra r 1 A 1

Representação da recta n Uma recta do 1º bissector terá projecções simétricas em relação ao eixo X. r 2 A 2 B 2 X Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra B 1 r 1 A 1

Representação da recta n Uma recta do 2º bissector terá projecções coincidentes. X B 1 B 2 A 1 A 2 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra r 1 r 2

Traços de uma recta n n Traço de uma recta num plano é o ponto de intersecção da recta com o plano. Traços de uma recta nos planos de projecção: Traço horizontal da recta (H) n n. Intersecção da recta com o plano horizontal de projecção n Traço frontal da recta (F) n. Intersecção da recta com o Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra F H

Traços de uma recta n n Traço horizontal da recta tem cota nula Traço frontal da recta tem afastamento nulo F F 2 H 2 F 1 H H 1 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Traços de uma recta n Para encontrar os traços frontal e horizontal de uma recta procuram-se os pontos da recta que têm respectivamente afastamento e cota nulas. F 2 r 2 H 2 F 1 X r 1 H 1 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Traços de uma recta H 1 s 1 F 2 r 2 H 2 X s 2 F 1 r 1 H 2 F 1 H 2 u 2 X F 2 t 1 X H 1 F 1 u 1 t 2 F 2 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra H 1

Traços de uma recta no plano bissector b 13 F 2 F 1 F 1 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Traços de uma recta no plano bissector b 24 F F 2 F 1 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Ponto pertencente a uma recta n Um ponto pertence a uma recta se e só se as projecções do ponto estiverem sobre as projecções homónimas da recta (excepto no caso da recta ser de perfil) r 2 A 2 E 1 B 1 C 2 K 2 D 1 R 2 L 1 E 2 X B 2 r 1 Apenas A e E pertencem à recta r R 1 C 1 D 2 O ponto R poderá pertencer ou não à recta definida pelos pontos K e L K 1 L 2 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Posição relativa de duas rectas n Rectas complanares (rectas situadas sobre o mesmo plano) n n n Concorrentes: têm um e um só ponto comum Paralelas: não têm nenhum ponto comum Rectas enviesadas Não existe um plano que contenha ambas as rectas n Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Posição relativa de duas rectas n Representação de rectas concorrentes: n O ponto comum às duas rectas tem as suas projecções situadas sobre as projecções homónimas das rectas e sobre a mesma linha de referência. Rectas pertencentes a um plano frontal um plano de topo Rectas pertencentes a um plano de perfil r 1 s 1 r 2 s 2 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Posição relativa de duas rectas n Representação de rectas paralelas: n Duas rectas paralelas, não de perfil, têm as suas projecções homónimas paralelas Rectas oblíquas pertencentes a um plano de topo Rectas de topo Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra Rectas pertencentes a um plano de perfil

Representação do plano n Um plano é definido por: n Três pontos não colineares n Uma recta e um ponto exterior à recta Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Um plano é definido por: n Duas rectas concorrentes n Duas rectas paralelas n rectas concorrentes num ponto impróprio (no infinito) Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n n n Qualquer uma das formas apresentadas serve para definir e representar um plano em Geometria de Monge No entanto, não dão uma ideia imediata da posição do plano Assim, recorre-se habitualmente à sua representação pelos seus traços (duas rectas concorrentes especiais) Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Traço de um plano noutro plano é a recta de intersecção dos dois planos n Traço horizontal do plano n n Recta de intersecção do plano com o plano horizontal de projecção Traço frontal do plano n Recta de intersecção do plano com o plano frontal de projecção Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Plano oblíquo Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Plano vertical ou projectante horizontal Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Plano de topo ou projectante frontal Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Plano horizontal ou de nível (fn 1) Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Plano frontal ou de frente Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Plano de perfil Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Plano de rampa Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Representação do plano n Plano passante Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Determinar os traços de um plano n Definido por duas rectas n Se uma recta pertence a um plano os seus traços encontram-se sobre os traços do mesmo nome do plano. Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Determinar os traços de um plano n Determinam-se traços da recta n Faz-se os r 2 f s 2 passar: n pelas projecções frontais dos traços frontais das rectas o traço frontal do plano F 2 s F 2 r A 2 H 2 s H 2 r X n pelas projecções horizontais dos traços horizontais das rectas o traço horizontal do plano Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra F 1 r F 1 s r 1 H 1 r A 1 h H 1 s s 1

Determinar os traços de um plano n Definido por três pontos não colineares n n Pelos três pontos passam-se duas rectas Procede-se de acordo com o procedimento indicado para determinar o traço de um plano definido por duas rectas Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Rectas pertencentes a planos n Determinar se uma recta pertence a um plano n n n Uma recta pertence a um plano se contiver dois pontos desse plano Toda a recta que é concorrente com duas rectas de um dado plano em pontos diferentes é também recta do plano Toda a recta que é concorrente com uma recta do plano e paralela a outra recta desse plano é também recta do plano Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Rectas pertencentes a planos n Determinar uma recta pertencente a um plano definido por duas rectas concorrentes n. Determina-se uma recta concorrente com ambas as rectas que definem o plano n. Ou determina-se uma recta concorrente a uma das rectas e paralela à outra Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Rectas pertencentes a planos n Determinar uma recta pertencente a um plano definido por duas rectas paralelas uma recta concorrente com ambas as rectas que definem o plano B 2 n. Determina-se 2 A 2 2 2 1 1 A 1 1 B 1 Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Rectas pertencentes a planos n Determinar uma recta pertencente a um plano definido por uma recta e um ponto n Converte-se num dos problemas anteriores n Passando pelo ponto uma recta concorrente ou paralela à recta dada. Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Rectas pertencentes a planos n Determinar se uma recta pertence a um plano n n n Uma recta pertence a um plano (não paralelo nem a 0) se tiver os seus traços situados sobre os traços homónimos do plano Uma recta frontal pertence a um plano frontal se o seu único traço pertencer ao único traço (horizontal) do plano Uma recta horizontal pertence a um plano horizontal se o seu único traço pertencer ao único traço (frontal) do plano Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Rectas pertencentes a planos n Determinar uma recta pertencente a um plano definido pelos seus traços Determina-se a projecção frontal do traço frontal da recta sobre o traço frontal do plano n Determina-se a sua projecção horizontal n f Fr 2 Hr 2 X Analogamente para o traço horizontal n Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra r 1 Fr 1 h Hr 1

Rectas pertencentes a planos n Determinação das rectas horizontais de um plano n n Uma recta horizontal é uma recta cujos pontos têm todos a mesma cota Uma recta horizontal de um plano com determinada cota é o conjunto de todos os pontos do plano com a essa cota as rectas horizontais de um plano são paralelas entre si, logo são paralelas ao traço horizontal do plano f n Todas Fn 2 X n 2 Fn 1 h Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Rectas pertencentes a planos n Determinação das rectas horizontais (com uma cota dada) de um plano dado por duas rectas concorrentes n n n Marca-se a projecção frontal da recta em função da cota dada (paralela ao eixo X) Os pontos de intersecção com as rectas que definem o plano determinam a posição da projecção frontal de dois pontos A projecção horizontal desses pontos determina a projecção horizontal da recta Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra r 2 s 2 n 2 X s 1 n 1 r 1

Rectas pertencentes a planos n Determinação das rectas frontais de um plano n n Uma recta frontal é uma recta cujos pontos têm todos o mesmo afastamento Uma recta frontal de um plano com determinado afastamento é o conjunto de todos os pontos do plano com a esse afastamento f as rectas frontais de um plano são paralelas entre si, logo são paralelas ao traço frontal do plano f 2 n Todas Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra Hf 2 X Hf 1 h f 1

Rectas pertencentes a planos n Determinação das rectas frontais (com um afastamento dado) de um plano dado por duas rectas concorrentes n n n Marca-se a projecção horizontal da recta em função do afastamento dado (paralela ao eixo X) Os pontos de intersecção com as rectas que definem o plano determinam a posição da projecção horizontal de dois pontos A projecção frontal desses pontos determina a projecção frontal da recta Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra f 2 s 2 r 2 X s 1 r 1 f 1

Pontos pertencentes a planos n Determinar um ponto (de que se conhece uma das projecções) pertencente a um plano dado pelos seus traços n. Um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta desse plano uma recta do plano que contém o ponto Fr 2 f r 2 A 2 n. Determine a posição da outra projecção do ponto Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra Hr 2 X Hr 1 A 1 r 1 h Fr 1

Pontos pertencentes a planos n Determinar um ponto pertencente a um plano definido pelos seus traços n n Escolha a posição de uma das projecções do ponto Identifique a posição da outra projecção do ponto utilizando o procedimento indicado no acetato anterior Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Pontos pertencentes a planos n Determinar um ponto pertencente a um plano definido por rectas concorrentes n. Determina-se uma recta pertencente ao plano n. Qualquer ponto dessa recta pertence ao plano (por exemplo o ponto P) Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Pontos pertencentes a planos n Determinar se um dado ponto pertence a um plano n Parte-se de uma das projecções do ponto n Aplicam-se os métodos anteriores para verificar se a sua outra projecção corresponde ou não à projecção que o ponto deveria ter para pertencer ao plano Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra