3 PRODUCTOS NOTABLES Profr Ricardo A Castro Rico

3° PRODUCTOS NOTABLES Profr. Ricardo A. Castro Rico

PRODUCTOS NOTABLES EFECTUAR O SIMPLIFICAR CALCULOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

(x+a)(x–a) (x+a)2 PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS BINOMIO AL CUADRADO ( a x + c ) ( bx + d ) PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA (x+a)(x+b) PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN APLICACION EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

Expresiones algebraicas ( x + a ) (x – a) PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ( x+3) (x-3) = x 2 - 3 x + 3 x - 9 = x 2 - 9 ¿ Qué nombre reciben las cantidades que se multiplican? ( x+3) (x-3) FACTORES ¿ Qué nombre recibe el resultado de una multiplicación? PRODUCTO x 2 - 9

OBSERVA x 2 - 9 PRODUCTO = ( x+3) (x-3) FACTORES ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE ¿ QUE OBSERVAS ? ( x+3) (x-3) SON LOS MISMOS TERMINOS UN SIGNO ES DIFERENTE PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

OBSERVA ( x+3) (x-3) = x 2 - 9 DIFERENCIA PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS x • x 3 • 3 CUADRADOS PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS DIFERENCIA DE CUADRADOS

OBSERVA ( x+3) (x-3) = - x 2 9 DIFERENCIA PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS x • x 3 • 3 CUADRADOS ¿ COMO SE FORMA LA DIFERENCIA DE CUADRADOS ? - x 2 CUADRADO DEL PRIMER TERMINO x • x 9 3 • 3 DIFERENCIA CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO

PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS ( x+9) (x-9) = CUADRADO DEL PRIMER TERMINO x 2 - x • x 81 9 • 9 CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO DIFERENCIA CUADRADO DEL PRIMER TERMINO - CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO

( x+8) (x-8) = CUADRADO DEL PRIMER TERMINO x 2 x • x ( 5 x + 2 ) ( 5 x - 2 ) = 25 x 2 CUADRADO DEL PRIMER TERMINO - 5 x • 5 x 64 8 • 8 - CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO 4 2 • 2 Profr. Ricardo A. Castro Rico CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO

( 3 x – 8 y ) ( 3 x + 8 y ) = 9 x 2 CUADRADO DEL PRIMER TERMINO 3 x • 3 x ( 7 x - 2 z ) ( 7 x + 2 z ) = 49 x 2 CUADRADO DEL PRIMER TERMINO - 7 x • 7 x 64 y 2 8 y • 8 y - CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO 4 z 2 2 z • 2 z CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO

( 4 x – 3 y ) ( 4 x + 3 y ) = 16 x 2 CUADRADO DEL PRIMER TERMINO - 4 x • 4 x 9 y 2 3 y • 3 y CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO EN LOS EJERCICIOS QUE RESOLVISTE ANTERIORMENTE ¿CUAL DE LOS CUADRADOS TIENE SIGNO NEGATIVO? TERMINO QUE TIENE LOS SIGNOS DIFERENTES ( -4 x + 3 y ) ( 4 x + 3 y ) = 9 y 2 CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS IGUALES 3 y • 3 y - 16 x 2 4 x • 4 x CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS DIFERENTES

( 7 x 2 – 3 y 3 ) ( - 7 x 2 - 3 y 3 ) = 9 y 6 CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS IGUALES 3 y 3 • 3 y 3 ( - 8 x – 5 y ) ( - 8 x + 5 y ) = 64 x 2 CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS IGUALES - 8 x • 8 x 49 x 4 7 x 2 • 7 x 2 - CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS DIFERENTES 25 y 2 5 y • 5 y CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS DIFERENTES

PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x 2 - y 3 ) ( x 2 + y 3 ) x 4 - y 6 ( 9 x + 4 y 4 ) ( 9 x – 4 y 4 ) 81 x 2 - 16 y 8 ( b 5 - 4 h 2 ) ( b 5 + 4 h 2 ) b 10 - 16 h 4 ( x a + yb ) ( x a - yb ) x 2 a - y 2 b ( 5 – 4 x ) ( - 5 – 4 x ) 16 x 2 - 25 (- m–n ) (-m +n) m 2 - n 2 ( 9 x-2 + 7 ) ( 9 x-2 - 7 ) 81 x-4 - 49

PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x 12 - y 2 ( x 6 - y ) ( x 6 + y ) ( 9 xa + 4 yb ) ( 9 xa – 4 yb ) 81 x 2 a - 16 y 2 b ( - b 7 + 6 h-2 ) ( b 7 + 6 h-2 ) 36 h-4 - b 14 ( x 2 m + y 5 n ) ( x 2 m - y 5 n ) x 4 m - y 10 n ( 1 – 8 x ) ( - 1 – 8 x ) 64 x 2 - 1 ( - m-2 – n ) ( - m-2 + n ) m-4 - n 2 ( x-2 + 3 ) ( x-2 - 3 ) x-4 - 9 MENU

Expresiones algebraicas ( x + a ) (x + b) PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN

MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ( x+6) (x+3) = x 2 + 3 x + 6 x + 18 = x 2 + 9 x + 18 ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE ¿ QUE OBSERVAS ? ( x+6) (x+3) x SE REPITE EN CADA UNO DE LOS BINOMIOS RECIBEN EL NOMBRE DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN

OBSERVA Término al cuadrado ( x+6) (x+3) = x 2 + 3 x + 6 x + 18 = x 2 + 9 x + 18 Tres términos Trinomio cuadrado Producto binomios con término común Producto de dos binomios con término común es un trinomio cuadrado (x+6) (x+3) = x 2 + 9 x + 18 Trinomio cuadrado es un producto de binomios con término común x 2 + 9 x + 18 = (x+6) (x+3)

OBSERVA TERMINO COMUN x(3+6) ( x+6) (x+3) = x 2 + 3 x + 6 x + 18 = x 2 + 9 x + 18 TERMINOS NO COMUNES ¿ QUE HICE PARA ENCONTRAR x 2 ? TERMINO COMUN AL CUADRADO x • x ¿ COMO ENCONTRE + 9 x ? MULTIPLIQUE LA SUMA ALGEBRAICA DE LOS TERMINOS NO COMUNES POR EL TERMINO COMUN x(3+6) ¿ QUE HICE PARA ENCONTRAR + 18 ? MULTIPLIQUE LOS TERMINOS NO COMUNES 6 • 3

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN ( x+9) (x+5) = x 2 + 14 x + 45 TERMINOS NO COMUNES TRINOMIO CUADRADO DEL TERMINO COMUN (x)(x) SUMA ALGEBRAICA NO COMUNES MULTIPLICADA POR EL TERMINO COMUN x(9+5) PRODUCTO DE TERMINOS NO COMUNES (9)(5)

TERMINO COMUN ( 5 x - 9 ) ( 5 x + 2 ) = 25 x 2 - 35 x - 18 TERMINOS NO COMUNES TRINOMIO CUADRADO DEL TERMINO COMUN ( 5 x ) SUMA ALGEBRAICA NO COMUNES MULTIPLICADA POR EL TERMINO COMUN 5 x ( - 9 + 2 ) PRODUCTO DE TERMINOS NO COMUNES (-9 )(+2 )

TERMINO COMUN ( 3 x - 8 ) ( 3 x - 1 ) = 9 x 2 - 27 x + 8 TERMINOS NO COMUNES 3 x ( - 8 - 1 ) (-8 )(-1 ) TERMINO COMUN ( 4 x + 8 ) ( 4 x - 5 ) = 16 x 2 + 12 x TERMINOS NO COMUNES 4 x ( + 8 - 5 ) (+8 )(-5 ) - 40

TERMINO COMUN ( 6 x - 3 ) ( 6 x + 1 ) = 36 x 2 - 12 x - 3 TERMINOS NO COMUNES 6 x ( - 3 + 1 ) (-3 )(+1 ) TERMINO COMUN ( 9 x + 2 ) ( 9 x - 7 ) = 81 x 2 - 45 x TERMINOS NO COMUNES 9 x ( + 2 - 7 ) (+2 )(-7 ) Profr. Ricardo A. Castro Rico - 14

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x – 11 ) ( x + 3 ) x 2 - 8 x - 33 ( 4 x + 11 ) ( 4 x – 2 ) 16 x 2 + 36 x - 22 ( x – 10 ) ( x – 3 ) x 2 - 13 x + 30 ( 2 x + 5 ) ( 2 x – 9 ) 4 x 2 - 8 x - 45 ( 11 x – 1 ) ( 11 x + 7 ) 121 x 2 + 66 x - 7 ( x – 12 ) ( x + 14 ) x 2 + 2 x - 168 ( 7 x – 5 ) ( 7 x + 8 ) 49 x 2 + 21 x - 40

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x – 10 ) ( x + 2 ) x 2 - 8 x - 20 ( 4 x + 10 ) ( 4 x – 8 ) 16 x 2 + 8 x - 80 ( x + 15 ) ( x – 3 ) x 2 + 12 x - 45 ( 3 x + 6 ) ( 3 x – 7 ) 9 x 2 - 3 x - 42 ( 10 x – 4 ) ( 10 x + 6 ) 100 x 2 + 20 x - 24 ( x – 2 ) ( x + 13 ) x 2 + 11 x - 26 ( 6 x – 9 ) ( 6 x + 1 ) 36 x 2 - 48 x - 9

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse (x– 1)(x + 6) x 2 + 5 x - 6 ( 5 x + 10 ) ( 5 x – 4 ) 25 x 2 + 30 x - 40 ( 11 x + 1 ) ( 11 x – 3 ) 121 x 2 - 22 x - 3 ( 6 x + 2 ) ( 6 x – 11 ) 36 x 2 - 54 x - 22 ( 10 x – 1 ) ( 10 x + 6 ) 100 x 2 + 50 x - 6 ( x – 3 ) ( x + 12 ) x 2 + 9 x - 36 ( 3 x – 8 ) ( 3 x + 1 ) 9 x 2 - 21 x - 8 MENU

Expresiones algebraicas (x+a) 2 BINOMIO AL CUADRADO

MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ( x+8) (x+8) = x 2 + 8 x + 64 = x 2 + 16 x + 64 ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE ¿ QUE OBSERVAS ? ( x+8) (x+8) LOS BINOMIOS SON IGUALES ¿ DE QUE OTRA MANERA SE PUEDE REPRESENTAR ( x + 8 )2

2(8)(x) ( x+8) (x+8) = x 2 + 8 x + 64 = x 2 + 16 x + 64 ( x + 8 )2 = x • x Cuadrado del primer término x 2 + 16 x + 64 2(8)(x) Doble producto Primero por segundo 8 • 8 Cuadrado del segundo término BINOMIO AL CUADRADO ES IGUAL A UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO FORMADO POR DOS CUADRADOS Y UN DOBLE PRODUCTO Profr. Ricardo A. Castro Rico

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ES IGUAL A UN BINOMIO AL CUADRADO x 2 + 16 x + 64 = ( x + 8 )2 CARACTERISTICAS DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO x 2 + 16 x x • x Cuadrado del primer término + 64 2(x)(8) Doble producto Primero por segundo 8 • 8 Cuadrado del segundo término

BINOMIO AL CUADRADO Doble producto ( x + 8 )2 = x 2 + 16 x + 64 x 2 - 18 x + 81 1° 2° Cuadrado Doble producto ( x - 9 )2 = 1° 2° Cuadrado

Doble producto ( 2 x + 3 y ) 2 = 1° Cuadrado 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 16 x 2 - 40 xy + 25 y 2 2° Cuadrado Doble producto ( 4 x 1° Cuadrado - 5 y ) 2 = 2° Cuadrado

Doble producto ( 7 x 3 + 2 y 2 ) 2 = 1° Cuadrado 49 x 6 + 28 x 3 y 2 + 4 y 4 2° Cuadrado Doble producto ( 8 x 5 1° Cuadrado - 5 x 2 ) 2 = 2° Cuadrado 64 x 10 - 80 x 7 + 25 x 4

BINOMIO AL CUADRADO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x 2 + 7 )2 x 4 + 14 x 2 + 49 ( 2 x – 5 y )2 4 x 2 - 20 xy + 25 y 2 ( 4 x 3 – 7 y 2 )2 16 x 6 - 56 x 3 y 2 + 49 y 4 ( a – b )2 a 2 - 2 ab + b 2 ( y – 12 )2 y 2 - 24 y + 144 ( 12 – 3 b )2 144 - 72 b + 9 b 2 ( x + y )2 x 2 + 2 xy + y 2

BINOMIO AL CUADRADO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x 2 + 7 y )2 x 4 + 14 x 2 y + 49 y 2 ( 7 x – 2 y )2 49 x 2 - 28 xy + 4 y 2 ( 9 x 3 – 7 y 5 )2 81 x 6 - 126 x 3 y 5 + 49 y 10 ( 11 a – b )2 121 a 2 - 22 ab + b 2 ( 8 y – 12 z )2 64 y 2 - 192 yz + 144 z 2 ( 2 ab – 3 ba )2 4 a 2 b - 12 abba + 9 b 2 a ( 5 x - 6 y )2 25 x 2 - 60 xy + 36 y 2 MENU

Expresiones algebraicas ( ax + c ) (bx + d) PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA

MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ( 5 x + 8 ) ( 2 x + 1 ) = 10 x 2 + 5 x + 16 x + 8 = 10 x 2 + 21 x + 8 ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE ¿ QUE OBSERVAS ? ( 5 x + 8 ) ( 2 x + 1 ) NO TIENEN TERMINOS COMUNES ES UN PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA

( 5 x + 8 ) ( 2 x + 1 ) = 10 x 2 + 5 x + 16 x + 8 = 10 x 2 + 21 x + 8 Trinomio cuadrado Producto de binomios cualesquiera OBSERVA ( 5 x + 8 ) ( 2 x + 1 ) = + 5 x + 16 x 10 x 2 + 21 x + 8

PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA ( 3 x - 1 ) ( 4 x + 7 ) = 12 x 2 + 17 x - 7 12 x 2 + 50 x - 18 + 21 x - 4 x ( 2 x + 9 ) ( 6 x - 2 ) = - 4 x + 54 x Profr. Ricardo A. Castro Rico

PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS ( 7 x - 1 ) ( 7 x + 1 ) = + 7 x 49 x 2 - 1 - 7 x PRODUCTO BINOMIOS CON TERMINO COMUN ( 2 x + 6 ) ( 2 x - 3 ) = - 6 x + 12 x 4 x 2 + 6 x - 18 APLICABLE A CUALQUIER PRODUCTO DE BINOMIOS

PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( 4 x – 7 ) ( 2 x + 3 ) 8 x 2 - 2 x - 21 ( 5 x + 2 ) ( 5 x – 2 ) 25 x 2 - 4 ( 6 x – 5 ) ( 6 x – 3 ) 36 x 2 - 48 x + 15 ( 3 x + 1 ) ( x + 8 ) 3 x 2 + 25 x + 8 ( 2 y – 5 ) ( 7 y + 3 ) 14 y 2 - 29 y - 15 ( 8 x + 2 ) ( 3 x – 5 ) 24 x 2 - 34 x - 10 ( 2 x – 1 ) ( 9 x + 5 ) 18 x 2 + x - 5

PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( 5 x – 1 ) ( 2 x + 4 ) 10 x 2 + 18 x - 4 ( x + 9 ) ( 5 x + 3 ) 5 x 2 + 48 x + 27 ( 6 x + 1 ) ( 7 x – 5 ) 42 x 2 - 23 x - 5 ( 3 x + 5 ) ( x - 8 ) 3 x 2 - 19 x - 40 ( 2 y + 7 ) ( 7 y + 1 ) 14 y 2 + 51 y + 7 ( 8 x + 4 ) ( 3 x – 5 ) 24 x 2 - 28 x - 20 ( 2 x – 1 ) ( 2 x + 1 ) 4 x 2 - 1 MENU

Productos Notables

Aplicación de los productos notables EJEMPLO 1 55 x 45 = 2475 Se representa como un producto de binomios Descomponemos en dos números, de uno de ellos conocemos su cuadrado ( 50 + 5 ) ( 50 - 5 ) = Resolvemos por inspección ( 50 + 5 ) ( 50 - 5 ) = 2500 - 25 = 2475

EJEMPLO 2 23 x 25 = 575 Se representa como un producto de binomios ( 20 + 3 ) ( 20 + 5 ) = Resolvemos por inspección ( 20 + 3 ) ( 20 + 5 ) = 400 + 160 + 15 Profr. Ricardo A. Castro Rico = 575

EJEMPLO 3 232 = 529 Se representa como un producto de binomios ( 20 + 3 )2 = Resolvemos por inspección ( 20 + 3 )2 = 400 + 120 + 9 = 529

EJEMPLO 4 El área de un rectángulo equivale a 30 m 2, sabemos que su base es un metro mayor que la altura, ¿ qué ecuación cuadrática nos permite encontrar sus dimensiones? Base por altura = área altura x AREA = 30 m 2 base x+1 x 2 + x – 30 = 0

EJEMPLO 5 Observa la siguiente expresión algebraica escrita en una hoja de papel: (x+5) = x 2 + 8 x + 15 ¿ Qué expresión ha sido cubierta por la camisa ? x+3

PROBLEMA 6 Observa la siguiente figura: Si queremos encontrar el valor de x en la figura, ¿cuál de las siguientes ecuaciones debemos resolver ? A. 4 x 2 + 12 x – 10 = 0 B. 4 x 2 + 12 x + 5 = 0 C. 4 x 2 + 12 x + 10 = 0 D. 4 x 2 + 12 x = 0 2 x + 1 Area = 5 2 x + 5 4 x 2 + 12 x = 0 Profr. Ricardo A. Castro Rico

En la ilustración se muestra la maqueta del departamento de Armando. Escribe la expresión que representa un lado del departamento: x+y x ¿ Qué expresión representa el área? SALA x 2 COCINA xy x BAÑO y 2 y RECAMARA y Tiene la forma de un cuadrado. DEPARTAMENTO x 2 + 2 xy + y 2 xy

Aplicación de los productos notables 32 x 28 = EJEMPLO 8 896 Se representa como un producto de binomios Descomponemos en dos números, de uno de ellos conocemos su cuadrado ( 30 + 2 ) ( 30 - 2 ) = Resolvemos por inspección ( 30 + 2 ) ( 30 - 2 ) = 900 MENU - 4 = 896