3 Peubah 2 Acak Random Variables Mis F

3. Peubah 2 Acak (Random Variables) Mis ( , F, P) adalah model peluang suatu percobaan. Peubah acak X adalah sebuah fungsi Di sini, adalah lambang himpunan semua bilangan real yg seringkali dinyatakan sebagai garis bilangan (Lihat Fig. 3. 1). Jika B , fungsi P : F [0, 1] menghitung peluang unsur 2 lapangan, yaitu peluang himpunan 2 B yg memuat titik 2 Perhatikan himp A Fig. 3. 1 Dlm ilustrasi B = {x | x 1 x x 2} x B 1

Agar peluang B bisa didefiisikan, harus menjadi anggota lap F, sehingga A adalah sebuah kejadian yg nilai peluangnya sudah terdefinisi lebih dahulu. Dalam hal ini, peluang B didefinisikan berdasarkan peluang A = X 1(B) (3 -1) Sayangnya, tidak selalu mrpk unsur dari F, shg muncul masalah. Konsep peubah acak memastikan bahwa fungsi balikan (invers) X 1 selalu menghasilkan kejadian 2 yang peluangnya bisa dihitung. Peubah Acak: Fungsi X: Ω yg memetakan semua hasil 2 eksperiment (unsur 2 kejadian elementer) ξ ke dalam disebut peubah acak jhj untuk setiap a , himpunan {ξ Ω | X(ξ) a} (di dalam buku 2 teks lebih sering ditulis 2 {X a} atau (X a)) adalah sebuah kejadian (artinya F).

Dengan kata lain, X adalah peubah acak jika untuk setiap selang B = ( , a] atau untuk setiap himpunan yang diturunkan dari selang-selang semacam (lewat operasi gabungan, irisan atau komplemen), himpunan X 1(B) F. Koleksi semua subhimpunan B - disebut lapangan Borel - adl lap- terkecil yg memuat semua selang berbentuk ( , a], untuk sembarang a . Jadi apabila X adalah peubah acak, maka untuk setiap bilangan real a (3 -2) adalah sebuah kejadian. Bgm dengan himpunan 2 {X = a}, {a X b}, dsb, apakah mereka juga termasuk kejadian ? Dg asumsi b > a, karena dan adl kejadian 2, maka dan = {a < X b} merupakan suatu kejadian. 3

Jadi untuk setiap n, { } adl suatu kejadian. Sbg akibatnya (dan sbg akibat aksioma peluang ke-iv) (3 -3) juga mrpk kejadian yang semuanya bisa dikenai fungsi peluang. Jadi nilai peluang kejadian dlm peubah acak X selalu tergantung pada nilai x. Nyatakan (3 -4) dimana subindeks X dalam (3 -4) menyatakan peubah acak sesungguhnya. FX disebut Fungsi Distribusi Kumulatif (FDK) dari peubah acak X. 4 PILLAI

Fungsi Distribusi Kumulatif: Setiap FDK FX (di sini selanjutnya ditulis F, tanpa ‘X’) adalah fungsi tak pernah turun (nondecreasing), kontinu kanan dan memenuhi (3 -5) Dengan kata lain, jika F adl FDK dari X, maka (i) (ii) jika maka dan (iii) untuk setiap a , (3 -6) Harus dibuktikan bahwa di (3 -4) memenuhi semua sifat 2 (3 -6). Sesungguhnya, untuk setiap peubah acak X, 5

(i) (3 -7) dan (3 -8) (ii) Jika Karena maka berakibat Sbg akibatnya, maka (3 -9) Ini membuktikan bahwa FDK adalah tak negatif dan juga monoton tak turun. (iii) Misalkan dan perhatikan kejadian (3 -10) Karena (3 -11) 6

maka dengan menggunakan sifat 2 kejadian ME, diperoleh (3 -12) Tetapi sehingga (3 -13) Jadi Tetapi adl limit kanan untuk a, jadi (3 -14) Dg kata lain, FX adalah kontinu kanan. Ini adl justikfikasi terakhir pemenuhan syarat FX sebagai FDK. 7

Sifat 2 Tambahan sebuah FDK (iv) Jika a , FX(a) = 0, maka FX(x) = 0, x a. (3 -15) sebab FX(a) = P{X( ) a} = 0 berakibat {X( ) a} adl kejadian berpeluang nol padahal jika x a maka {X( ) a} sehingga (dari ekspresi (3. 6)) 0 P{X( ) a} = 0. (v) (3 -16) karena (vi) sebab kejadian dan gabungannya sama dengan adl dua kejadian ME. (3 -17) saling ME, 8

(vii) Misalkan (3 -18) dan Dari (3 -17), (3 -19) Ini adalah pernyataan (3 -20) Menurut (3 -14), FX(a+) (limit dari FX (x) ketika x a dari kanan) selalu ada dan sama dengan FX(a). Sebaliknya nilai limit kiri FX(a ) tidak harus sama dg FX(a). Jadi FX tidak harus kontinu kiri. Pada titik 2 tak kontinu dari FX, kedua limit kiri dan kanan berbeda sehingga dari (3 -20) berlaku (3 -21) 9

Jadi jenis diskontinu di titik x = a dari FX hanyalah jenis loncatan (sebesar FX(a) FX(a )) yg terjadi pada titik 2 di mana (3 -21) berlaku. Titik-titik ini membentuk barisan titik -titik diskontinu a 1, a 2, a 3, … yg banyaknya paling banyak terhitung (countable), mungkin berhingga. Contoh 3. 1: X dirumuskan dengan X( ) = c, . Tentukan FX ! Solusi: Untuk x c, {X( ) < x} = shg FX(x) = 0, jika x c. Untuk x > c, {X( ) < x} = shg FX(x) = 1, jika x > c (Fig. 3. 2) Fig. 3. 2 Contoh 3. 2: Mis = {H, T} adl ruang kejadian dalam percobaan lempar koin dan Y adalah p. a. dengan Y(T) = 100 dan Y(H) = 1. Tentukan FY !

Solusi: Utk y < 0, {Y( ) < y} = shg FY (y) = 0, jika y < 0. Utk 0 y < 1, {Y( ) < y} = {T} shg FY(y) = P(T) = 1 p, jika 0 y < 1. Utk y 1, {Y( ) < y} = {H, T} = shg FY(y) = P(H) = 1, jika y 1. Fig. 3. 3 X disebut p. a. jenis kontinyu jika FDK-nya adalah fungsi kontinyu. Dalam hal ini berlaku a , FX(a ) = FX(a) shg dari (3 -21) disimpulkan: P(X = a) = 0. Jika FX konstan, kecuali pada sebanyak hingga titik 2 loncatan, yaitu diskontinyu se-potong 2, berjenis tangga (steptype), maka X disebut p. a. jenis diskrit. Jika x = ai, i = 1, 2, 3, … adl salah satu titik diskontinyu FX, maka dari (3 -21) 11 pi = P(X = ai) = FX(a) FX(a ) > 0. (3 -22)

Dari Fig. 3. 2, di titik diskontinyu x = c berlaku P(X = c) = FX(c) FX(c ) = 1 sedangkan dari Fig. 3. 3, di titik diskontinyu y = 0 berlaku P(Y = 0) = FY(0) FY(0 ) = q 0 = q. Contoh 3. 3: Sebuah koin ideal dilemparkan dua kali dan Z menyatakan banyaknya head yang muncul. Tentukan FZ ! Solusi: Jelas = {HH, HT, TH, TT} shg menurut premis dalam soal di atas, p. a. Z: didef sbb (Fig. 3. 4): Z(HH) = 2 , Z(HT) = Z(TH) = 1 , Z(TT) = 0 . • z < 0, {Z( ) < z} = FZ(z) = 0, • 0 z < 1, {Z( ) < z} = {TT} FZ(z) = ¼, • 1 z < 2, {Z( ) < z} = {TT, HT, TH} FZ(z) = ¾, • 2 z, {Z( ) < z} = {TT, HT, TH, HH} = FZ(z) = 1. 12

Dari Fig. 3. 4, P(Z = 1) = FZ(1) FZ(1 ) = ¾ ¼ = ½. Fungsi Peluang Massa (FPM) Fig. 3. 4 Turunan fungsi distribusi FX disebut Fungsi Peluang Massa (probability density/mass function) f. X dari X. Jadi (3 -23) Karena (3 -24) (ketaksamaan ‘ 0’ adl akibat sifat monoton naik FDK FX ). 13

Jadi untuk setiap x , berlaku f(x) 0. f. X kontinyu jika X adl p. a. jenis kontinyu. Tetapi dalam kasus X adl p. a. jenis diskrit, spt pada (3 -22), FPM-nya memiliki bentuk umum semacam (Fig. 3. 5) (3 -25) Fig. 3. 5 di mana xi menyajikan titik 2 diskontinyu-lompat FX. Dari Fig. 3. 5, f. X(x) menyatakan kumpulan massa diskrit, sesuai dengan namanya FPM. Dalam kasus kontinyu, definisi (323) memungkinkan penggunaan integral tak tentu, tetapi tak sejati (improper) (3 -26) Dg (3 -26) sifat pertama FX di ekspresi (3. 7): FX(+ ) = 1, bisa ditulis sbg (3 -27) 14

Nama density function (bukan mass function) diilhami oleh ekspresi (3. 27). Lebih jauh, dari (3 -26) diperoleh (Fig. 3. 6 b) (3 -28) Pada Fig 3. 6, luas daerah f. X(x) di dalam selang buka (x 1, x 2) adalah visualisasi nilai peluang (3 -28). (a) Fig. 3. 6 (b) Karena suatu peubah acak sering hanya dinyatakan oleh FPMnya (diskrit atau kontinyu), berikut diberikan beberapa FPM untuk masing-masing kategori (diskrit dan kontinyu). 15 PILLAI

Peubah Acak Jenis Kontinyu 1. Distribusi Normal (Gauss): X dikatakan berdistribusi normal atau Gauss, jhj (3 -29) Grafik fungsi ini berbentuk bel yang simetri terhada garis tegak x = (lengkapnya X, mean dari X). FPM-nya adl (3 -30) Daftar nilai banyak tersedia dan FX tergantung pada parameter dan 2 (variance dari X). P. a. X yang disajikan melalui (3 -29) biasa ditulis dg lambang X N( , 2). O 16 Fig. 3. 7

2. Dist. seragam (uniform) pada [a, b], X U(a, b) (Fig. 3. 8) (3. 31) 3. Eksponensial: X ( ) Fig. 3. 8 (Fig. 3. 9) (3 -32) Fig. 3. 9 17 PILLAI

4. Dist. Gamma: X G(α, β), α > 0, β > 0, jika (Fig. 3. 10) (3 -33) Fig. 3. 10 Hanya utk α = n bulat, 5. Dist. Beta: X β(a, b), dg a > 0, b > 0, jika (Fig. 3. 11) (3 -34) dimana fungsi Beta β(a, b) didefinisikan sbb (3 -35) Fig. 3. 11 18

6. Distr. Chi-Square: X 2 (n) jika (Fig. 3. 12) (3 -36) Fig. 3. 12 Perhatikan bahwa 2(n) = 7. Distr. Rayleigh, X R( 2) jika (Fig. 3. 13) (3 -37) Fig. 3. 13 8. Distribusi Nakagami-m dinyatakan oleh FPM-nya (3 -38) 19

9. Distr. Cauchy: X C(α, ) apabila (Fig. 3. 14) (3 -39) Fig. 3. 14 10. Distribusi Laplace: (Fig. 3. 15) (3 -40) 11. Distribusi-t ‘Student’ dg n derajat kebebasan (Fig 3. 16) (3 -41) Fig. 3. 15 Fig. 3. 16 20

12. F-distribution dari Fisher (3 -42) 21 PILLAI

Peubah Acak Jenis Diskrit 1. Distr. Bernoulli: daerah hasil X adl {0, 1} dengan P(X = 0) = q dan P(X = 1) = p. (3 -43) 2. Binomial: X B(n, p) jika (Fig. 3. 17) (3 -44) 3. Poisson: X P( ) jika (Fig. 3. 18) (3 -45) Fig. 3. 17 Fig. 3. 18 22 PILLAI

4. Distr. Hipergeometrik: (3 -46) 5. Geometrik: X g(p) jika (3 -47) 6. Negative Binomial: ~ if (3 -48) 7. Dist. Seragam-Diskrit: (3 -49) Kita simpulkan dengan distribusi umum yang diberikan 23 oleh PILLAI

Polya. Distribusi ini menjadikan distribusi Binomial dan Hipergeometrik sebagai kasus-kasus khusus. Distribusi Polya: Sebuah kotak berisi a bola putih dan b bola hitam. Sebuah bola diambil secara acak, dikembalikan bersama-sama dg penambahan c buah bola yang berwarna sama. Jika X menyatakan banyak bola putih yang terambil, X = 0, 1, 2, …, n, cari FPM dari X ! Solusi: Renungkan satu kejadian ketika k bola putih terambil secara berurutan, disusul oleh n – k bola hitam. Peluang k bola putih terambil secara berurutan adalah (3 -50) 24 Jadi peluang k bola putih terambil secara berurutan, diikuti

oleh n – k bola hitam, adalah (3 -51) Sangat menarik bahwa pk di (3 -51) juga menyatakan peluang k bola putih dan (n – k) bola hitam terambil tanpa mengikuti urutan pengambilan tertentu (yaitu, pembilang dan penyebut dalam (3 -51) memberi kontribusi sama pada urutan apa pun. Jadi (3. 51) berlaku untuk semua urutan hasil pengambilan yang berbeda. Dengan menjumlah semuanya, distribusi Polya diperoleh, yaitu (3 -52) 25

Telah disinggung bahwa distribusi Binomial dan Hipergeometrik adalah kasus khusus dari (3 -52). Sesungguhnya jika c = 0, maka (3 -52) adalah distribusi binomial (3 -53) dengan Demikian pula, apabila pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, maka dalam (3 -52) berlaku c = – 1 sehingga P(X = k) = 26

(3 -54) yang membuktikan bahwa X berdistribusi hipergeometri. Nilai c = +1 menghasilkan (penggantian dua kali lipat bola yang sama dengan bola yang terambil) FPM (3 -55) yang disebut distribution +1 Polya. Bentuk umum distribusi Polya dalam (3 -52) pernah digunakan dalam study penyebar 27 an penyakit menular (epidemic modeling).