3 NTERPOLASYON Bir fonksiyonun xi i0 1 N

3. İNTERPOLASYON Bir fonksiyonun xi (i=0, 1, . . . N) noktalarında bilinen fi (i=0, 1, . . . N) değerlerinden hareketle herhangi bir x ara noktasında bilinmeyen f (x) ara değerinin bulunması anlamına gelen interpolasyon teknikleri aynı zamanda sayısal türev ve integrasyon, adi ve kısmi türevli diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü gibi başka sayısal yöntemlerin de esasını teşkil eder.

İnterpolasyon fonksiyonu olarak çoğu zaman çeşitli mertebeden polinomlar kullanılır. Ancak bazı hallerde logaritmik, eksponansiyel, hiperbolik gibi daha özel fonksiyonlar, periyodik veri değerleri için trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilir. Veri noktaları eşit aralıklı olarak dağılmışsa sonlu fark esaslı interpolasyon yöntemleri, eşit aralıklı değilse doğrusal interpolasyon, Lagrange interpolasyonu vb yöntemler daha uygun olur.

İNTERPOLASYON POLİNOMLARI Düzlemde N+1 adet noktadan N ‘inci dereceden bir polinom geçirmek mümkündür. Örneğin Noktalarını dikkate alalım. Bu noktaların ilk dördünden şeklinde üçüncü dereceden bir polinom (kübik) geçirmek mümkündür. Her bir noktanın koordinatları bu denklemi sağlayacağı için şeklinde dört denklem elde edilir. Bu lineer denklem takımı çözülürse polinomun katsayıları şu şekilde edilir. Yani interpolasyon fonksiyonu şeklindedir. Buna göre örneğin x=3. 0 noktasındaki ara değer için y=20. 212 elde edilir.

LAGRANGE INTERPOLASYON YÖNTEMİ (LAGRANGE POLİNOMLARI): Lagrange interpolasyon polinomu, Newton interpolasyon polinomunun yeniden formülleştirilmesidir ve bölünmüş farkların hesaplanmasını gerektirmez. İkinci dereceden bir polinom ile konuyu açıklayalım: Şayet (x 0, f 0), (x 1, f 1) ve (x 2, f 2) gibi üç noktadan şeklinde bir parabol geçirilerek interpolasyon yapılmak istenirse bu defa nokta koordinatları yardımıyla denklem sistemi elde edilir ki bu denklem sisteminin çözümü sonucunda katsayılar olarak bulunur.

Bu durumda parabol denklemi f 0, f 1 ve f 2 için düzenlenerek yine şeklinde daha basit bir biçime sokulabilir. Buradaki Li büyüklükleri şeklinde olup bu büyüklüklere Lagrange polinomları adı verilmektedir. Özet olarak şu şekilde gösterilebilir.

Örnek: x f(x) 0 3 2 60 4 90 10 120

clc, clear x=[0 2 4 10]; f=[3 60 90 120]; xs=8; dx=0. 1; n=length(x); a=polyfit(x, f, n-1), fs=polyval(a, xs) x 2=x(1): dx: x(n); for k=1: length(x 2); f 2(k)=polyval(a, x 2(k)); end plot(x, f, 'o', x 2, f 2) Lagrange interpolasyonu MATLAB Komutu clc; clear x=[0 2 4 10]; f=[3 60 90 120]; interp 1(x, f, 8, 'spline') Lagrange interpolasyonu MATLAB Komutu (text dosyasından veri okuyarak) clc; clear v=load ('c: sahadata. txt') interp 1(v(: , 1), v(: , 2), 8, 'spline') data. txt 0, 3 2, 60 4, 90 10, 120

Serbest düşen bir paraşütçünün hızını ölçen bir alet geliştirilmektedir. Özel bir test için elde edilen ölçme sonuçları aşağıdaki görülmektedir. Ölçüm yapılan t=7 s ve t=13 s zaman dilimi arasındaki büyük açıklığı doldurak için paraşütçünün t=10 s’deki hızını tahmin ediniz. Zaman (s) Ölçülen Hız (cm/s) 1 800 3 2310 5 3090 7 3940 13 4755 İnterpolasyon polinomlarının karakterleri tahmin edilemeyeceği için Lagrange algoritması dördüncü, üçüncü, ikinci, birinci dereceden interpolasyon polinomlarını oluşturmak için kullanılarak sonuçları karşılaştıralım

4. Dereceden polinom y=5430 cm/s 2. Dereceden polinom y=4638 cm/s 3. Dereceden polinom y=4874 cm/s 2. Dereceden polinom y=4347 cm/s

Burada incelenen problem için 1. ve 2. dereceden polinomların daha uygun olduğu görülmektedir. Yapılan hesaplamalarda incelenen sistemin fiziki davranışı mutlaka dikkate alınmalıdır. Not: Neville yöntemi Lagrange yönteminin kapalı bir uygulaması olup Lagrange yönteminin zaaflarını giderebilmektedir. clc, clear x=[1 3 5 7 13]; f=[800 2310 3090 3940 4755]; %x=[3 5 7 13]; f=[2310 3090 3940 4755]; %x=[1 7 13]; f=[800 3940 4755]; %x=[7 13]; f=[3940 4755]; xs=10; dx=0. 1; n=length(x); a=polyfit(x, f, n-1), fs=polyval(a, xs) %x 2=x(1): dx: x(n); x 2=0: dx: x(n); for k=1: length(x 2); f 2(k)=polyval(a, x 2(k)); end plot(x, f, 'o', x 2, f 2) hold on Bu ders notunda M. A. Yükselen’in, Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notlarından faydalanılmıştır.