3 Membranen Platten und Schalen Analogien 1 DSystem

3. Membranen, Platten und Schalen Analogien: 1 -D-System 2 -D-System ideale Saite ideale Membran steife Saite steife Membran Stab Platte gekrümmter Stab Schale, Glocke Knotenpunkt 25. 05. 2007 Knotenlinie Vortrag Perkussionsinstrumente

3. 1. Membranen y z Einspannung x Massendichte: Spannung: T ds = Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements = (konstante) Oberflächenspannung der Membran Kleine Auslenkung ( lineare Näherung ): 2 -D-Wellengleichung: Koordinatenwahl Form der Einspannung (Transversalschwingung) Rechteckmembran 25. 05. 2007 Kreismembran Vortrag Perkussionsinstrumente

Statische Auslenkung: F θ = 0 für Angriffspunkt T ds Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt Saite 25. 05. 2007 Membran Vortrag Perkussionsinstrumente

Schwingungsmoden von Rechteckmembranen: z y Lx Ly m=1 n=1 Quadratische Membran Lx = Ly x m=2 n=1 m=1 n=2 m=2 n=2 m=3 n=1 m=3 n=2 Þ Entartung ωmn = ωnm Þ Modenüberlagerung möglich 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Schwingungsmoden von Kreismembranen: z 2 R y x ξmn = n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm 25. 05. 2007 m=0 n=1 m=1 n=1 m=2 n=1 m=3 n=1 m=0 n=2 m=3 n=2 Vortrag Perkussionsinstrumente

Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen: 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Kreismembran Applet • http: //www. falstad. com/mathphysics. html 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

3. 2. Dünne isotrope Platten frei / einfach unterstützt / eingespannt Massendichte: z y h x a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung „Unendliches“ Medium (rel. zu λ) 25. 05. 2007 „Dünne“ (rel. zu λ) Balken / Platten Vortrag Perkussionsinstrumente

frei / einfach unterstützt / eingespannt Massendichte: z y h x b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben) „Unendliches“ Medium oder „unendlich große“, „flache“ Platten (rel. zu λ) 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

frei / einfach unterstützt / eingespannt Massendichte: z y h x c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung) Wellengleichung: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit: 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Beispiel: Die dünne Rechteckplatte z Ly h ( i. A. schwieriges Problem ) (x, y) – Kopplung Lx • Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m, n) wie Membran • Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch Mischung der (m, n) und (n, m) Membranmoden für |m – n| = 2, 4, 6, . . . Freie Platte: 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Messung an freier Aluminiumplatte (x, y) – Kopplung bei Lx Ly: Modenaustausch Ringmode Diagonal. Mode (X -Mode) 25. 05. 2007 Lx = const. L /L x y Vortrag Perkussionsinstrumente

Fundamentalmoden quadratischer Platten: frei ( ν = 0, 3 ) einfach unterstützt eingespannt (1, 1) (0, 0) 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Moden quadratischer Platten: frei ( ν = 0, 3 ) eingespannt 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand m=0 n=1 • Qualitativ wie starre Kreisplatte • Effizienter Strahler Fundamentalmode m=0 n=2 • Quantitativ unterschiedlich: u( r' ) J 0( k r' ) m = 0 Moden: • Verbleibende Netto-Monopolkomponente • Schwache Strahler m=2 n=1 m=3 n=1 m > 0 Moden: m=1 n=1 25. 05. 2007 m=3 n=2 • Keine Monopolkomponente • Völlig ineffiziente Strahler Vortrag Perkussionsinstrumente

Perkussionsinstrumente -Trommeln 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Perkussionsinstrumente -Trommeln: Geschichte • Trommeln sind praktisch so alt wie die Menschheit. Ausgenommen die menschliche Stimme stellen Sie die ältesten Musikinstrumente dar! • Die ersten Trommel waren wahrscheinlich Holzstücke über Erdlöchern und etwas später hohle Baumstümpfe! • Die ältesten bekannten Trommeln mit Membranen sind 5000 Jahre alt. Die Membran bestand aus Fischhaut oder Wildleder. • In der Kulturgeschichte des Menschen spielten Trommeln in der Musik allgemein vor allem aber in religiösen Ritualen und Festen eine wichtige Rolle! 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Perkussionsinstrumente -Trommeln : Kategorisierung • Alle Trommeln lassen sich grob in 2 Hauptkategorien einteilen: Solche die ein gutes Gefühl für die Tonhöhe vermitteln und solche, die das nicht tun. • Zur ersten Gruppe gehören z. B. kettledrums und tabla. • Zur zweiten Gruppe gehören bass drum, snare drum, tom-toms, bongos, congas… • Als schwingungsfähige Systeme unterteilt man Trommeln in 3 Gruppen: solche mit von der Membran abgeschlossenem Resonanzkörper (kettledrums), solche mit Luft zu beiden Seiten der Membran (tom-toms, Tambourine) und solche mit einem durch 2 Membranen isolierten Hohlraum (bass drum und snare drum). 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Perkussionsinstrumente -Trommeln • kettledrums oder timpani sind die wichtigsten Trommeln in modernen Orchestern. Ihre Bedeutung resultiert vor allem aus den Einstellungsmöglichkeiten. • Eine timpani kann in etwa eine Quinte (5 Töne) je nach Membranspannung abdecken. Über die Pedale kann der Spieler einen weiteren Ton hinzufügen. • Die Moden einer idealen Membran sind nicht harmonisch. Eine gut eingestellte timpani einen Grundton und nur 2 oder 3 Obertöne. Der Grundton stammt dabei von der 1, 1 mode. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Aufbau einer Kesselpauke Aufsicht 25. 05. 2007 Seitenansicht Vortrag Perkussionsinstrumente

Energieverlust • Es gibt vier hauptsächliche Ursachen für den Energieverlust einer Membran in einer Trommel: 1. 2. 3. 4. Schallabstrahlung Mechanische Verluste in der Membran Wärmeverlust der eingeschlossenen Luft Mechanische Verluste in den Außenwänden 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Schallabstrahlung 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Schallabstrahlung 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Das Schlagzeug Toms Hi Hat Crashbecken Snare Bass-Drum 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Elektronisches Drumset 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Bass Drums • Erzeugt die höchste Leistung aller Instrumente in einem Orchester (bis zu 20 W) • Normaler Durchmesser 80 -100 cm • Meist 2 Membranen, unterschiedlich stark gespannt • Mylarmembranen (Polyester), manchmal auch Kalbsfell für große Konzertbassdrums • Schlagfell (batter) ist stärker gespannt als das Resonanzfell (carry) (Unterschied von bis zu 75%), • Sound erscheint verstärkt und klingt schneller ab • Für Soli wird auch das Gegenteil empfohlen, bzw. beide auf gleiche Spannung 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Bass Drums • Moden sind überraschend nahe einer harmonischen Serie • Ab 200 Hz entstehen viele unharmonische Anteile (ca. 160) • Interessante Kopplungseffekte für die niedrigsten Moden • Bei gleicher Spannung 0, 1 einfacher 2 -Massen-Oszillator mit: • f 1=f 0 • f 2=sqrt(f 0^2+2 fc^2) • fc: Kopplungsfrequenz, die von der Beschaffenheit des Luftvolumens und der Membranmassen abhängt • fc= 67 Hz für 0, 1 25. 05. 2007 Moden Carry bei kleinerer Spannung Gleiche Spannung Batter und Carry 0, 1 39 44 , 104 1, 1 80 76 , 82 2, 1 120 3, 1 162 160 4, 1 204 198 5, 1 248 240 Vortrag Perkussionsinstrumente

Bass Drums • Entfernt man das Resonanzfell, ändert sich nur wenig gegenüber den Frequenzen bei Carry auf kleinerer Spannung • Abklingraten ca. 3 -9 d. B/s • Steigt auf 6 -11 d. B/s, wenn man Spannungen von Carry und Batter angleicht • Ohne Carry: 3 -8 d. B/s • Oberflächenspannung einer Membran steigt beim Schwingen mit einer endlichen Amplitude • ΔT ~ d 2 • f ~ √(T 0+ΔT) ~ √(T 0+ d 2) • daher hat jede Mode eine höhere Frequenz, im Moment des Anschlags, die dann mit Abklingen der Amplitude kleiner wird • Typische Amplitude 6 mm Frequenz – Shift von 10%, was ungefähr einem ganzen Ton entspricht 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Snare Drums • Typische Maße: 35 cm Durchmesser, 13 -25 cm Tiefe • An der unteren Membran befinden sich gespannte Metalldrähte ergeben typischen Snaresound • Bei Anschlag der oberen Membran, schwingen die Snareseiten gegen die Membran • Kopplungen der Membranen wie bei Bass • Eingeschlossene Luft und/oder das Gehäuse Paare von Moden 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Snare Drum • Bei ersten beiden Moden schwingen Batter und Snare gleich oder entgegen (kann wiederum mit einem simplem 2 -Massen Modell beschrieben werden) • Bei Mode 3 und 4 sind Berechnungen wesentlich komplizierter • Offensichtlich muss die Luft jedoch bei Mode 3 einen größeren Weg zurück legen als bei Mode 4, was den Frequenzunterschied erklärt 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Snare Drum 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Snare Action • Kopplung zwischen Snare und Membran hängt von der Masse der Federkonstante der Snares • Bei genügend großer Anschlagamplitude lösen sich die Snares von der Membran ab einem bestimmten Zeitpunkt im Schwingungszyklus und schwingen die Membran zurück charakteristischer Snare Sound • Je größer die Spannung der Snares, umso größer ist die dazu benötigte Amplitude • Zu Beginn verhält sich die Geschwindigkeit der Snare sinusförmig, wobei Periodendauer größer als die der Membran ist • Dadurch kehrt die Membran erst ihre Richtung um und verliert dann den Kontakt zur Snare • Anschließend schlagen beide stark zusammen bei der Rückwärtsbewegung charakteristischer Snare Sound 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Snare Action 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Snare Action 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Tom Toms • Durchmesser 20 -45 cm, 20 -50 cm Tiefe • Eine oder zwei Membranen • Toms mit Verstärkung im Zentrum geben klarere Töne, was daran liegt, dass die niedrigen Frequenzen harmonischer liegen • Außerdem vergrößern die Verstärkungen die Abklingzeiten aller Moden • Wie bei Bass Drum erzeugen 2 Membranen wieder 2 Frequenzen in der (0, 1)-Mode • Wieder Effekt der Tonerhöhung bei starkem Anschlag 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Tom Toms 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Onset und Decay • Wird die Membran zentral angespielt größter Teil der Energie geht in kreissymmetrische Moden (0, 1) und (0, 2) • Zum Ende der 1. Sekunde enthält das Spektrum viele weitere Moden über die Kopplung zu (0, 1) und (0, 2) • Abklingzeit: – Art der Membran – Spannung – Kesselgewicht und –material – Halterung des Toms • Bsp. : Die Änderung der Länge des Armes, der das Tom hält, kann die Zerfallszeit von 5. 5 s auf 0. 6 ändern 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Onset und Decay 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Perkussionsinstrumente -Trommeln: Indian Drums • Die beiden wichtigsten Trommeln aus Indian sind die Tabla: 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Indian Drums • und die mrdanga aus Nord- und Südindien: 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Indian Drums • Beide Trommeln produzieren harmonische Obertöne durch Verwendung bestimmter Materialien, wie Gummi oder Speisestärke im Trommelkopf (Paste). • Der Kopf der Tabla besteht aus drei Lagen Tierhäuten, die an den Enden zusammen geflochten sind und durch einen Lederring befestigt sind. • Die Spannung kann durch die Position kleiner Holzzylinder auf der Oberfläche der Außenwände variiert werden. • Mittels eines Hammers kann der Lederring nach oben oder unten verschoben werden, was eine noch feinere Einstellung erlaubt. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Indian Drums • Im Zentrum der Membran befindet sich ein runder schwarzer Fleck einer aus Reis und Eisenoxid hergestellten Paste, welche die Dichte erhöhen soll. (*) • Die ersten vier Obertöne der Tabla sind harmonische über der Fundamentalen, welche von (0, 1) mode erzeugt wird. • Die Obertöne werden durch unterschiedliche Mode, welche dieselbe Frequenz erzeugen produziert. • Zweite (1, 1); Dritte (2, 1) und (0, 2); Vierte (3, 1) und (1, 2); Fünfte (4, 1), (0, 3) und (2, 2) 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Indian Drums 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Indian Drums • Abb 18. 15 (Verschiedene Moden produzieren gleiche Frequenzen) Die meiste Energie ist eingeschlossen im Trommelkopf. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Indian Drums • Der Trommelkopf ist im wesentlichen in drei konzentrische Bereiche aufgeteilt, die es dem Spieler ermöglichen drei deutlich unterschiedlich Töne hervorzubringen. • „tun“ Mitte; „tin“ nicht gedämpfter Bereich und „na“ Rand. • Erwähnenswert ist auch noch, dass die verschiedenen Moden umso eher gleiche Frequenzen erzeugen je größer die Anzahl dünner Schichten an Paste ist. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Indian Drums Abb. 18. 16 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Japanese Drums • Viele verschiedene Trommeln wie die O-daiko, turi daiko und die kotodumi. (Abb. 18) 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Japanese Drums 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Japanese Drums • Die o-daiko besteht aus einem Holzzylinder von ca. 50100 cm Durchmesser über dessen Enden eine Membran aus Kuhhaut gespannt ist. • Sie wird mit großen, fellüberzogenen Schlägern angeschlagen und produziert eine tiefen, donnernden Ton. Ihr ursprünglicher Einsatzzweck waren religiöse Feste in Tempeln und bei heiligen Schreinen. • Die Moden der o-daiko sind denen der bass drum sehr ähnlich. • Dämpfung durch Luft wichtig bei großen Membranen. Die Frequenzen der o-daiko stimmen sehr gut mit den theoretischen Werten ohne Luft überein die Membranspannung und Masse sind groß! 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Japanese Drums • Die turi-daiko ist eine kleine Hängetrommel, die im klassischen japanischen Theater und Orchester verwendet wird. • Der Trommelkörper besteht aus einem ausgehöhlten Baumstamm. Durchmesser ca. 30 cm Länge 7 cm. • Die (0, 1) mode liefert eine Frequenz von 195 Hz welche sich verringert, wenn man die Länge der Trommel erhöht. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Japanese Drums • Die kotodumi besteht aus einem Holzkörper an dessen Enden Eisenringe befestigt sind, über die eine Membran gespannt ist. Hanfseile erlauben es dem Spieler die Spannung der Membran zu variieren. • Die kotodumi produziert vier verschiedene Klänge: `ta`, `ti`, `pu` und `po`, abhängig von der gewählten Spannung. • `ta` und `ti` Klänge beruhen auf hoher Membranspannung. `pu und `po` Klänge werden erzeugt in dem bei hoher Membranspannung angeschlagen wird unmittelbar nach dem Schlag die Spannung der Membran verringert wird, was den Klang zu tieferen Frequenzen hin verschiebt. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Latin American Drums 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Latin American Drums • Die Wurzeln dieser Trommeln liegen Afrika. • In heutigen Tanz Orchestern und Jazz Ensembles findet man hauptsächlich bongos, congas und timbales. • Die Trommelkörper der Congavorläufer bestand aus einem ausgehöhlten Baumstamm. Heute wird die Conga aus Holzleisten zusammengesetzt (Durchmesser ca. 2330 cm). • Die Tonhöhe variiert von 131 Hz – 262 Hz. • Unterschiedliche Klänge werden hauptsächlich durch die Schlagposition und Technik bestimmt. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Latin American Drums • Bongos produzieren die höchsten Frequenzen unter den Lateinamerikanischen Trommeln (Durchmesser 1525 cm). Die Außenhaut besitzt konische Gestalt. • Ursprünglich wurde die Membran festgenagelt, heute werden aber Schrauben zum Regulieren der Spannung angebracht. • Timbales waren ursprünglich aus Holz werden heute aber aus Metall gefertigt (Durchmesser ca. 30 -35 cm). • Die Außenhaut ist entweder am Boden offen oder es existiert nur eine handgroße Öffnung. Gespielt werden timbales mit Holzschlägern, mit denen unter um Umständen auch die Außenhaut angeschlagen wird. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Das Xylophon • Beispiel einer quadratischen Platte siehe Theorieteil. • Das Wort „Xylophon“ leitet sich aus dem Griechischen ab und bedeutet soviel wie „Holzklang“. • Decken in etwa 3 - 3 1/2 Oktaven ab f=349 -4186 Hz). • An der Unterseite bogenförmig angeschnitten. • Grund: Dies verändert (verringert) die Frequenzen, welche von den Moden erzeugt werden, die das Torsionsmodul beanspruchen. • Der erste Oberton liegt in der Frequenz in etwa dreimal höher als die Fundamentalfrequenz (Grundton). • Das Holz wirkt auf diesen Oberton wie ein Resonator was den Klang „verbreitert“ siehe Fig. 5. 6. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Das Xylophon • Manchmal wird dem ganzen Instrument noch ein Resonator zugefügt. Oder die Xylophonhölzer (bars) werden über einem kastenartigen Hohlraum montiert, der den Klang „dehnt“, indem er Interferenz reduziert, die aus Schallabstrahlung der Hölzerenden resultiert. 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

Quellen • • • Skript Physik der Musikinstrumente (Vorlesung SS 2007) „The Physics of Musical Instruments“ (Springer Verlag, 2000) google Wikipedia http: //home. comcast. net/~scottxs/piezogyro/applet/index. html 25. 05. 2007 Vortrag Perkussionsinstrumente