3 Kebebasan Linier Kombinasi Linier Dimensi Basis Kebebasan

3. Kebebasan Linier, Kombinasi Linier, Dimensi, Basis Kebebasan Linier Definisi : Ø Himpunan n buah vektor {u 1, u 2, …. , un} disebut bergantung linier(liniearly dependent), bila terdapat skalar-skalar k 1, k 2 , …. , kn yang tidak semua nol sedemikian sehingga k 1 u 1+k 2 u 2 + …. +knun= 0 Ø Himpunan n buah vektor {u 1, u 2, …. , un} disebut bebas linier(liniearly independent), bila k 1 u 1+k 2 u 2 + …. +knun= 0 hanya terpenuhi oleh k 1= k 2= …. = kn =0

Contoh : 1. {[2, -1, 3], [3, -2, 0], [-1, 0, -6]} merupakan himpunan vektor yang bergantung linier 2. {[1, 1, -2], [2, -3, 2], [1, 5, -8]} merupakan himpunan vektor yang bebas linier. Catatan : § Jika himpunan terdiri dari 1 vektor, misal {u} maka: - Bila u merupakan vektor 0, maka himpunannya bergantung linier - Bila u bukan vektor 0, maka himpunannya bebas linier § Jika himpunan terdiri dari 2 vektor yang berkelipatan (u = kv), maka {u, v) bergantung linier. Karena u = kv 1 u – kv = 0, artinya ada k 0 sedemikian shg 1 u – kv = 0

§ Bila dalam himpunan terdapat vektor nol, maka himpunan tersebut bergantung linier v Teorema 1: Jika sebagian dari n vektor {u 1, u 2, …. , un} bergantung linier, maka keseluruhan n vektor tersebut bergantung linier v Teorema 2: Jika himpunan n vektor {u 1, u 2, …. , un} bebas linier, maka himpunan bagiannya bebas linier v Teorema 3: Jika n vektor (n>1) bergantung linier, maka paling sedikit terdapat satu vektor yang dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari vektor selebihnya v Teorema 4: Jika satu diantara {u 1, u 2, …. , un} merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya, maka himpunan n vektor tersebut bergantung linier.

Kombinasi Linier Definisi : Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor {u 1, u 2, …. , un} bila terdapat skalar-skalar k 1, k 2 …. , kn sedemikian sehingga : v = k 1 u 1+ k 2 u 2+ …. Knun Contoh : [2, -1, 4] merupakan kombinasi linier dari [3, -2, 1] dan [-1, 1, 3]

Dimensi dan Basis Suatu ruang vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat ditemukan suatu himpunan n vektor V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n +1) vektor V selalu bergantung linier. Dengan perkataan lain maksimum banyaknya vektor V yang bebas linier ada n. Definisi : • Suatu himpunan vektor {u 1, u 2, …. , un} disebut sistem pembentuk dari ruang vektor V, ditulis V=L{u 1, u 2, …. , un} bila setiap vektor v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari {u 1, u 2, . . , un}

• Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis dari ruang vektor Setiap himpunan n vektor yang bebas linier dari ruang vektor berdimensi n disebut basis dari ruang vektor Karena ada banyak vektor V, dan jika dimensi V = n maka dapat dipilih banyak basis untuk V