3 COMPONENTES PRINCIPALES Introduccin Componentes principales muestrales Comportamiento

3. COMPONENTES PRINCIPALES § § Introducción Componentes principales muestrales Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores 1

Introducción § Reducir la dimensión manteniendo la máxima información posible. § Interpretación. § Paso previo al uso de otras técnicas. COMPONENTES PRINCIPALES 2

Componentes principales Consiste en construir combinaciones lineales de las variables originales. § Media: § Varianza: § Covarianza: COMPONENTES PRINCIPALES 3

Componentes principales § Primera componente principal: combinación lineal de X tal que § Segunda componente principal: combinación lineal de X tal que COMPONENTES PRINCIPALES 4

Componentes principales §. . . § i-ésima componente principal: combinación lineal de X tal que COMPONENTES PRINCIPALES 5

Componentes principales Teorema Sea con matriz de covarianzas y autovalores y autovectores COMPONENTES PRINCIPALES 6

Componentes principales Entonces las componentes principales son: Además, COMPONENTES PRINCIPALES 7

Componentes principales Teorema Sea con matriz de covarianzas y pares de autovalores y autovectores COMPONENTES PRINCIPALES 8

Componentes principales Sean las componentes principales: Entonces COMPONENTES PRINCIPALES 9

Componentes principales Consecuencia La proporción de varianza explicada por la componente es: Proposición COMPONENTES PRINCIPALES 10

Componentes principales Teorema Sean X, , y los pares de autovalores y autovectores de , Entonces las componentes principales de Z = (V 1/2)-1 (X – μ) son: Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con que con COMPONENTES PRINCIPALES 11

Componentes principales Además, y se cumple que Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con que con COMPONENTES PRINCIPALES 12

Componentes principales muestrales Teorema Sea la matriz de datos y autovectores de Sn y los pares de autovalores Entonces la i-ésima componente principal muestral es: § La varianza muestral de es § Varianza total muestral: § Covarianza muestral de e es 0. § Correlación muestral: COMPONENTES PRINCIPALES 13

Componentes principales muestrales Teorema Sea la matriz de datos y autovectores de R y los pares de autovalores Entonces la i-ésima componente principal muestral es: COMPONENTES PRINCIPALES 14

Componentes principales muestrales § Varianza muestral de es § Varianza total muestral: § Covarianza muestral de e es 0 § Correlación: COMPONENTES PRINCIPALES 15

Componentes principales muestrales Ejemplo COMPONENTES PRINCIPALES 16

Componentes principales muestrales Autovalores y autovectores Calcular componentes principales sobre las variables tipificadas. COMPONENTES PRINCIPALES 17

Componentes principales muestrales Diagrama del precipicio Sirve para determinar cuántas componentes principales utilizar. Incluye el número de posibles componentes principales y los autovalores ordenados en los ejes x e y, respectivamente. Autovalores p Nota: Cuando el gráfico se hace horizontal, no se utilizan más componentes principales Se toman i componentes principales 1 2 i n nº c. p. COMPONENTES PRINCIPALES 18

Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores Dada con , sean autovalores de (no se repiten). Sean X 1, X 2, . . . , Xn i. i. d. y los siguientes autovalores y autovectores muestrales COMPONENTES PRINCIPALES 19

Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores (i) Comportamiento asintótico de los autovalores d (ii) Comportamiento asintótico de los autovectores d (iii) Cada de es independiente de los elementos COMPONENTES PRINCIPALES 20

Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores Ejemplo Construir un intervalo con 1 - = 0, 95 para 1, siendo: COMPONENTES PRINCIPALES 21

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Componentes principales con la matriz de correlaciones 24

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