3 5 Equilbrio Termodinmico A existncia de equilbrio

3. 5: Equilíbrio Termodinâmico A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbrio termodinâmico local (ETL) no interior estelar grandes simplificações: » » pode-se escrever: (3. 15) (3. 16) No caso do Sol, em e

PROGRAMA DE AGA 0293 - Astrofísica Estelar A - Conceitos Básicos de Astrofísica: 1, 5 semanas Corpo Negro - Intensidade - Fluxo Espectros - Leis dos Gases B - Propriedades Físicas das Estrelas: 4 semanas Magnitudes - Índices de Cor - Luminosidade – Temperatura Tipos Espectrais - Diagrama HR Massas - Raios Rotação - Composição Química Distâncias C - Atmosferas Estelares: Equação de Transporte Radiativo Formação de Linhas Espectrais e Composição Química Modelos de Atmosferas 2, 5 semanas

PROGRAMA DE AGA 0293 - Astrofísica Estelar (cont. ) D - Estrutura Estelar: 3 semanas Equilíbrios Hidrostático e Termodinâmico Equilíbrio Radiativo - Equações de Estado Produção e Transporte de Energia – Convecção Equações Básicas da Estrutura Estelar Politropos E - Evolução Estelar: 4 semanas Formação de Estrelas Evolução Anterior à Sequência Principal A Seqüência Principal – Estrelas de Baixa Massa: o Sol Evolução após a Seqüência Principal Estágios Finais da Evolução Estelar (Anãs Brancas, colapso gravitacional, Estrelas de Nêutrons, Buracos Negros)

» » O caminho livre médio (mean free path) para as interações (colisões) entre as partículas no interior estelar é: (3. 17) onde ≡ seção eficaz de interação. Para colisões de elétrons ou íons com elétrons ou íons, 10− 16 − 10− 18 cm 2. Para interações de fótons com elétrons ou íons, 10− 24 cm 2. » » Define-se o peso molecular médio como o nº médio de u. m. a. / partícula de um gás (adimensional) u. m. a. 1, 661 x 10 -24 g

Exemplos de valores de : H ionizado: = ½ (<massa>/ part. ) = ½ m. H Copo d’água: 18 Atmosfera da Terra: 29 » » Define-se a Densidade Numérica média n de partículas como: onde m. H é a massa do átomo de H, A densidade numérica de partículas no interior estelar é, (3. 18)

» » Com esses valores de n, ~ 10 -7 cm para interações entre partículas e ~ 1 cm para interações envolvendo fótons. Isto é, se compararmos esses valores com os gradientes de P e T (eqs. (3. 15) e (3. 16) ) e variação muito pequena desses parâmetros em alguns : no caso mais desfavorável ( ~ 1 cm), ou, e CONCLUSÃO ? ?

CONCLUSÃO: P e T podem ser consideradas CONSTANTES nas regiões onde acontecem as interações ≡ ≡ ≡ EQUILÍBRIO TERMODIN MICO 3. 6: A Variação da Energia com r » » Seja a taxa de produção de energia nuclear (erg g− 1 s− 1) na região central da ; sua luminosidade L pode ser escrita: Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura » Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura dr (figura 2. 1)

Sendo L(r) e L(r + dr) as energias/seg emitidas em r, e r + dr, e os valores locais, pode-se escrever: e (3. 19) (euler) , (3. 20) (lagrange) ≡ variação radial de L; ou,

» » Ordens de grandeza: De (3. 19), com , deduz-se que: (3. 21). Para o Sol, , o que permite escrever-se: para Estrelas em geral. Ex: SP

» » Da forma lagrangiana da eq. da variação radial de L, (3. 20) , pode-se escrever: d. L = є d. M FÍSICA? ? » » Implementações na eq. (3. 20): inclusão dos neutrinos e caso não-estacionário: na presença de expansão e/ou contração, ocorre U e cabe a inclusão de um termo e a eq. de variação radial de L completa será: (3. 21)

III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR (continuação) 3. 8: O Gás de Elétrons Três simplificações importantes: ET (ETL), gás ionizado e gás perfeito* 3. 8. 1: Gases Perfeitos (GP): Um <energia de interação> entre partículas << energia térmica delas Quando isso ocorre? escrita: --------------* num gás perfeito, só existem as interações colisionais entre as partículas. (isto é, não existem forças de atração/repulsão intermoleculares). 9

Ocorre quando a interação é pequena ou quando o gás é suficientemente rarefeito. » » A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é: (3. 22) , sendo k a cte. de Boltzmann. » Em termos do número total de partículas N no volume V, , sendo o nº de moles, o nº. de Avogadro e R= 8, 31 x 107 erg K-1 mol-1 é a constante dos gases. Como , segue que

» » INFORMAÇÃO PRÁTICA: um gás totalmente ionizado comporta-se como um GP, mesmo a densidades relativamente altas. » » Comparação entre as Etérmica e Ec de interação coulombiana num GP: para partículas com separação média de r, (3. 22), sendo . o volume ocupado por uma partícula é e seja e T ~107 no interior estelar; com isso, e ;

» Por outro lado, < Et > ~ (3/2) k. T ~ 10 -9 erg ~ 103 e. V, isto é, Ec << Et Se a condição acima não for satisfeita, desvio clássico do GP Outros casos de desvio: degenerescência, ioniz. Incompleta, criação de pares 3. 8. 2: Funções de Distribuição » » A distribuição das partículas de um gás em função de sua energia depende da estatística aplicada. a) No limite clássico, para partículas idênticas e distinguíveis, aplica-se a estatística de Maxwell-Boltzmann:

(3. 23), sendo o peso estatístico do nível E, ≡ ≡ nº de configurações com energia E /cm 3. é o fator de degenerescência, que é f(n). » Para baixas densidades, Para fótons, e para altas, ; . b) Para partículas idênticas e indistinguíveis de spin semi-inteiros (≡ férmions), como elétrons, prótons e neutrinos, a estatística a aplicar é a de Fermi-Dirac:

(3. 24) c) Para partículas idênticas e indistinguíveis, de spin inteiro (bósons), como fótons, partículas alfa e mésons , há que aplicar-se a estatística de Bose-Einstein: (3. 25) » » Além da densidade de partículas usa-se às vezes o fator de ocupação, ou índice de ocupação f(E) = n(E)/g(E), que é ~

~ A probabilidade de ocupação do estado de energia E. Para a distribuição de MB, (baixas densidades) , e se f(E) << 1. » » O que mais nos interessa no interior estelar? a Pg é exercida essencialmente pelos elétrons, que seguem a Estatística de FD; nesse caso, (3. 26) E nas altas densidades em questão, O valor 1 não é novidade. e obtemos PORQUE? ? ,

» Em condições de T e n tais que (ocorre em baixas n ), FD MB 3. 8. 3: Pressão de um Gás Perfeito PRESSÃO ≡ TRANSFERÊNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO P = F / unidade de área ≡ taxa de transferência de QM; » Seja uma partícula com QM que incide numa superfície S no gás; Se a reflexão for especular (elástica), a QM transferida para S será: (ver Fig. 3. 1)

Fig. 3. 1 Seja o número de partículas com QM entre que incidem na superfície unitária/unid. de tempo, vindas de direções que fazem com a normal no intervalo ângulos ; Nessas condições, a Pressão no cone d pode ser escrita: e a pressão total no interior do gás será, (3. 27) ;

» chamando a densidade de partículas movendo-se nas condições em questão, pode-se escrever (3. 28) , onde QM a componente de é a velocidade das ptclas. de v ao longo da normal n. » » Em condições de ET, a distribuição de velocidades é ISOTRÓPICA ∝ = d. S/r 2 e como ângulo sólido subtendido pela figura 3. 1; daí, teremos que =2 sin d e (3. 29) sendo a densidade de ptclas. com QM entre

» de 3. 27, 3. 28 e 3. 29, (3. 30), para cuja integração temos de conhecer (cf. efeitos relativísticos) e a estatística adequada. da eq. 3. 30 EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas. » » Estamos interessados no momento num gás de elétrons; Não muito próximo ao centro da , pode-se considerar que isto é, FD → MB, e a estatística dos e- pode ser escrita: (3. 31), sendo n = densidade total de ptclas. /cm 3 e ,

» » Assim, a Eq. de ESTADO de um gás Perfeito, Monoatômico, não-degenerado, não-relativístico e sem radiação, será: (3. 32) , sendo (mostra-se que este termo = 1, o que nos faz recuperar (3. 22): P=nk. T 3. 8. 4: O Peso Molecular Médio A equação de estado de um gás perfeito formado de partículas de diferentes espécies, pode então ser escrita na forma que , com sendo µ o peso molecular médio e , .

» Nessas condições, podemos definir µ como (3. 33) ou seja, sendo n a densidade numérica (cm-3) de partículas livres, µ é a massa média das partículas do gás, em unidades de m. H. >> Pode-se definir também o peso molecular médio como o nº médio de u. m. a. / partícula de um gás (adimensional) ( u. m. a. 1, 661 x 10 -24 g; m. H 1, 673 x 10 -24 g) Exs: gás H 0 H+ He 0 He++ 26 Fe (26+) ZEl(Z+) < nº uma > / ptcla. 1/1 µ 1 1/2 0, 5 (2+2) / 1 4 4 / (1+1) 2 4 / (1+2) 4/3 26 x 2 / (1+26) Z x 2 / (1+Z) 2 Copo d’água: 18 Atm. da Terra: 29 2

» » Chamando X, Y e Z as frações por massa de H, He e elementos pesados ("metais") , podemos obter uma relação µ(X, Y, Z) : a) parâmetros físicos em função de X : b) pode-se escrever para a densidade total, sendo Z um valor médio;

» Com , resulta (3. 34) e sendo µ EXs. : H puro: (3. 35) µ = ½ ; He puro: µ = 4/3 ; “metais” puros: µ = 2; Gás totalmente ionizado: » » » Pode-se definir também um Peso Molecular relativo à me ,

3. 8. 5: Degenerescência » » Cálculo de n(p) em condições de densidade elevada. Utilizando-se o o Princípio de Heisenberg, que nos diz que: e como (3. 41) ISTO É, À medida em que n , os e- são forçados a ocupar estados de maior , pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite estabelecido em (3. 41).

MORAL DA HISTÓRIA? ? Nesse caso, os e- de maior contribuição importante pressão do gás; é a chamada PRESSÃO DE DEGENERESCÊNCIA. ►► ILUSTRAÇÃO DA DITA CUJA P Deg: Façamos um corte no espaço de fase a seis dimensões (Fig. 3. 2):

Fig. 3. 2 1) baixas n : é a de MB (curvas a, b) [n = f(T)] 2) dobrando o nº de e- para a mesma T, também dobra n(px) (curva b) 3) esse comportamento NÃO continua indefinidamente: tem um limite, devido ao Princípio de Pauli (cf. Eq. 3. 41). As células de menor p são ocupadas primeiro e os e- adicionais terão de ocupar estados de > energia curva de MB deformada, f(T) (curvas c, d, e, c/ graus de Deg. crescentes) 4) estágio de Deg. Completa: todas as células abaixo de pf ocupadas (f)

►► Outra ilustração da P Deg : Fig. 3. 3 MBs para 106 e 107 K com n = 1026 cm− 3 > n(p)max , (3. 31) e (3. 41) Na distribuição MB, pmax = (2 mek. T)1/2. Ou seja, para dada n, MB não é mais válida para Ts suficientemente baixas. O mesmo naturalmente ocorre para uma dada temperatura, se n for suficientemente alta. Gás a 107 K: não-DG Gás a 106 K: DG

» » A degenerescência (quando existe) nos interiores estelares, é restrita aos e- , os íons permanecendo não degenerados Em ET, a Ecinética média dos íons e e- é a mesma, e Vol. do espaço de fases ocupado por partícula numa caixa de vol. V = (3. 42) = V d 3 p Para um dado volume V, íons ocupam no espaço de fase um volume maior que o dos e- por um fator. para os p+, , isto é, o número de células do espaço de fase disponíveis aos p+ é maior por um fator 8 × 104 que o dos e-.

A Pressão Total no Interior de uma : Ela será a resultante das contribuições de todos os componentes: (3. 72) fótons elétrons núcleos » » Balanço entre Pr e Pgás: e ; Igualando as duas expressões, obtém-se a região limite para P :

Limite entre predominâncias de Pr e Pgás : ( em g/cm 3 e T em K). Isso pode ser visto na Fig. 3. 6 (Maciel’s): não-relativístico Pr domina Pgás domina relativístico não DG DG cristalização

◐◑ OBSERVAÇÃO 1: transportes CONVECTIVO e RADIATIVO » » a) O Frad é: (eq. 6. 11) ; "aprox. de difusão" P/ o , o <valor> estimado é K/cm r/RO ≈ 0, 05 cf. cap. 2 P/ regiões centrais, o que dá e Mais longe do centro, o que dá [FTot(r=0, 05) ~ 2, 5 x 1013 c. g. s. ] [FTot(r=0, 80) ~ 8 x 1010 c. g. s. ]

» » b) O Fconv é: e o fluxo TOTAL no interior da estrela é para o , e o gradiente médio solar, e pode-se escrever: sendo Pode-se mostrar que para r/R ≲ 0. 3 , ≤ 10 -7, ≡ transporte é praticamente TOTALMENTE CONVECTIVO

» » c) Comparação de Escalas de Tempo no interior solar, Radiativa X Convectiva: o tempo para um elemento do plasma percorrer um é , onde nesse caso, é a aceleração do elemento; ~1010 cm, e tc ≈ 1, 6 x 106 s ≈ 20 dias. a escala de tempo radiativa pode ser estimada por "random walk" (cf. Reif) : tr ≈ 3, 3 x 109 s , ou, no interior solar tr >> tc a CAMADA CONVECTIVA é misturada eficazmente

CÁLCULO DA equação (3. 41) » Para uma distribuição contínua de estados de energia, definimos a densidade de estados = o número de estados por unidade de volume com energia entre E + d. E. » No espaço de quantidade de movimento, definimos analogamente como o nº de estados /unidade de volume, tal que a componente do vetor esteja no intervalo , etc. . . » o Princípio de Heisenberg nos diz que: e a incerteza na posição associada a partículas de quantidade de movimento que dá um volume associado de incerteza de: é:

» Para que os estados possam ser resolvidos e identificados, cada volume deve ser associado a um estado. portanto, o nº de estados / unidade de volume = inverso do (volume de incerteza)-1, Em ET as quantidades de movimento são isotrópicas, e como para estudar a DEGENERESCÊNCIA, devemos examinar a densidade de estados com entre (3. 39). , segue que: ≡ dois graus de polarização

» » Como a pode ser escrita , de 3. 39 → (3. 40) e sendo , pode finalmente ser escrita como: (3. 41). ► ► ISTO É, À medida em que n , os e- são forçados a ocupar estados de maior , pois os de menor estabelecido em (3. 41). estarão ocupados, segundo o limite