3 5 Curl dan Divergensi Jika F Pi

3. 5 Curl dan Divergensi Jika F = Pi + Qj + Rk adalah medan vektor pada R 3, dan turunan parsial dari P, Q, dan R semuanya ada, maka curl F adalah medan vektor pada R 3 yang didefinisikan sebagai Jika diambil operator diferensial vektor (“del”) sebagai maka

CONTOH 1 Jika F(x, y, z) = xzi + xyzj – y 2 k, carilah curl F.

Teorema 1 Jika f adalah fungsi tiga variabel yang mempunyai turunan parsial kedua kontinu, maka Curl ( f) = 0. Jika F medan vektor konservatif, yaitu F = f , Teorema 1 memberikan hasil Jika F medan vektor konservatif, maka curl (F) = 0

CONTOH 2 Perlihatkan bahwa F(x, y, z) = xzi + xyzj – y 2 k tidak konservatif. Teorema 2 Jika F adalah medan vektor yang terdefinisi pada keseluruhan pada R 3 yang fungsi komponennya mempunyai turunan parsial kontinu dan curl F = 0, maka F adalah medan vektor konservatif.

CONTOH 3 Perlihatkan bahwa F(x, y, z) = y 2 z 3 i + 2 xyz 3 j + 3 xy 2 z 2 k konservatif. Tentukan fungsi potensialnya.

Divergensi Jika F = P i + Q j + R k adalah medan vektor pada R 3 dan P/ x, Q/ y, dan R/ z ada, maka divergensi F adalah fungsi tiga variabel yang didefinisikan sebagai Jelas bahwa curl F adalah medan vektor sedangkan div F adalah medan skalar. Dengan notasi del divergensi dapat dituliskan sebagai div F = . F

CONTOH 4 Jika F(x, y, z) = xzi + xyzj – y 2 k, carilah div F.

Teorema 3 Jika F adalah medan vektor pada R 3 yang fungsi komponennya mempunyai turunan parsial kedua kontinu, maka div curl F = 0. CONTOH 5 Perlihatkan bahwa medan vektor F(x, y, z) = xzi + xyzj – y 2 k tidak dapat dituliskan sebagai curl medan vektor lain, yaitu, F curl G.

Istilah divergensi diambil dari konteks fluida. Jika F(x, y, z) adalah kecepatan aliran fluida (atau gas), maka divergensi F(x, y, z) menyatakan total laju perubahan (terhadap waktu) dari massa fluida (atau gas) yang mengalir dari titik (x, y, z) tiap satuan volume. Dengan kata lain, div F(x, y, z) mengukur kecenderungan fluida untuk menyebar dari titik (x, y, z). Jika div F = 0, maka F dikatakan tak dapat dimampatkan (incompressible)

Bentuk Vektor Teorema Green Jika F = P i + Q j dipandang sebagai vektor pada R 3, maka Di pihak lain, integral garis dari F diberikan oleh Karena bentuk vektor , maka Teorema Green dalam