3 3 Processus PREMIER ORDRE type T p

3. 3 Processus PREMIER ORDRE type T ( p) = a , b > 0 (ou constante de temps): 1 + bp C. Q. F. S. : CE QU’IL FAUT SAVOIR OU SAVOIR RETROUVER Equation différentielle associée : b Le pôle simple vaut p 1 = - ds + s (t ) = ae(t ) dt 1 , b est la constante de temps b Calcul de la réponse indicielle : é ab ù ù -t a - é = L-1 ê = Res 0 + Res p = a(1 - e b ) r (t ) = L 1 ê ú ú ë p(bp + 1) û ë p ( p + 1 b) û 1 Calcul de la réponse harmonique : · · · T ( jw ) = a 1 + jbw ® 20 log a - 20 log(wb) (asymptote 1) ÐT ® -p / 2 w ® 0 T d. B ® 20 log a = a d. B (asymptote 2) ÐT ® 0 w = 1 b pulsation de coupure T d. B = 20 log(a / 2 ) = a d. B - 3 d. B et ÐT = -p / 4 w ® +¥ , T d. B La pulsation de coupure w c = 1 / b est à l’intersection des asymptotes de T 20 log a - 20 log(wb) = 20 log a en wb = 1 d. B , puisque: Reporter ces asymptotes sur la courbe de gain ci-après, et proposer une approximation linéaire satisfaisante pour la courbe de phase. Remarque : de cette réponse, on pourra déduire par additivité des courbes de gain et des courbes de phase les réponses de : 1 + bp , 1 + cp a (1 + dp ) a 1 , , etc. . . 2 1 + bp (1 + bp ) (1 + cp )(1 + bp ) p (1 + bp ) Déduire également des méthodes d’identification des paramètres a et b 1. sur la réponse indicielle 2. sur la réponse harmonique

REPONSES INDICIELLE ET HARMONIQUE DE T ( p ) = 1 ( p + 1) (TRACEES AVECMATLAB) Step Response 1 1 t r( ) a b Règle des 63% tr 5% = 3 b 0. 8 Amplitude Règle de la tangente 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 1 2 3 4 5 6 t /b Time (sec. ) Bode Diagrams T ( jw ) d. B - a d. B Phase (deg); Magnitude (d. B) 0 -10 -20 -30 -40 0 log(wb) wc = 1/ b ÐT ( jw ) -50 -100 -2 10 log(wb) -1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10 2 10