3 3 Calcul des filtres RII Mthodologies de

3 -3 Calcul des filtres RII • Méthodologies de calcul des filtres RII Ressemblance avec les filtres analogiques (Equation différentielle et fonction de transfert) Filtres analogiques Filtres numériques RII Traitement du Signal 4 GE 113

Filtres de Butterworth Traitement du Sigal - 3 TC Transparents C. Odet, Prof. GE 114

Filtres de Chebyshev Traitement du Sigal - 3 TC Transparents C. Odet, Prof. GE 115

Calcul des filtres RII • Différentes approches de la synthèse des filtres numériques RII Approximation dans le plan des z et synthèse du filtre discret 1) Méthodes d’optimisation par ordinateur (Decsky, Remez. . . ) Traitement du Signal 4 GE 116

Calcul des filtres RII 2) Approximation dans le plan de Laplace et synthèse du filtre discret G(p) G(z) ! Réponse en fréquence conforme au gabarit initial Problèmes de repliement de spectre dû à l’échantillonnage Filtre numérique stable Méthodes • transformation bilinéaire • invariant impulsionnel • équivalence de la dérivation ou de l'intégration Traitement du Signal 4 GE 117

Calcul des filtres RII 3) Approximation et synthèse dans le domaine analogique Transformation du circuit analogique en un filtre numérique par simulation des éléments (L, C) Filtre d’ondes 4) Autres méthodes Transposition passe-bas passe-haut passe-bande coupe-bande Exemple: Passe-bas passe-haut Traitement du Signal 4 GE 118

Synthése des filtres RII par transformation bilinéaire • Transformation du plan de Laplace (H(p)) vers le plan des Z (H(z)) Im(z) Im(s) 6 p. Fe 4 p. Fe f=0 f=1 2 p. Fe 0 Re(s) 1 -2 p. Fe Re(z) -4 p. Fe -6 p. Fe Plan des Z Plan de Laplace • Préserver la réponse en fréquence • Préserver la stabilité du filtre • Eviter les problèmes de repliement de spectre Pas de solution idéale Traitement du Signal 4 GE 119

Transformation bilinéaire • H(p) H(z) • p=0 z=1 • p = jw = j. K tan(f/2) z = exp(jf) Axe imaginaire du plan de Laplace cercle unité dans le plan des Z • p=±j¥ z = -1 Axe imaginaire complet 1 tour du cercle unité • p= - K z=0 • p=K z=¥ • Reel(p) < 0 |z|<1 Partie gauche du plan de Laplace Intérieur du cercle unité Stabilité du filtre préservée Traitement du Signal 4 GE 120

Transformation bilinéaire • p = jwa = j. K tan(f/2) f=Fe=1/2 T wd=p/T f=p z = exp(jf) f f=0 wd=0 f=Fe=1/T wd=2 p/T f=2 p Pulsation «discréte» Pulsation analogique Traitement du Signal 4 GE 121

Transformation bilinéaire • On choisit généralement K=2/T pour avoir wd » wa (artan(x) » x) si wd<< 2 p/T (pulsation d’échantillonnage) • Equations de la transformation bilinéaire Traitement du Signal 4 GE 122

Transformation bilinéaire • Passage de la pulsation analogique à la pulsation numérique p Twd Twa Déformation de l’axe des fréquences Correction avant calcul du filtre analogique Traitement du Signal 4 GE 123

Traitement du Sigal - 3 TC Transparents C. Odet, Prof. GE 124

Application • Calcul d’un filtre numérique passe-bas Atténuation en d. B 40 3 2 15 Fréquence (k. Hz) Choix de la fréquence d’échantillonnage Fe=50 k. Hz, T= 2 10 -5 s Objectif: trouver H(p) filtre analogique tel que après transformation bilinéaire, la réponse en fréquence de H(z) respecte le gabarit. Traitement du Signal 4 GE 125

Application • Comme la transformation bilinéaire déforme l’axe des fréquences il faut pré-déformer le gabarit pour fd = 2 k. Hz et 15 k. Hz, avec wd=2 p fd on trouve fa = 2, 0106 k. Hz et 21, 906 k. Hz Nouveau gabarit «analogique» Atténuation en d. B 40 3 2, 0106 21, 906 Fréquence (k. Hz) Traitement du Signal 4 GE 126

Application • • } Abaques Butterworth ordre 2 Matlab (par exemple) Calcul 1 décade 40 d. B : ordre 2 s : variable de Laplace normalisée p/w 0 • Réponse en fréquence pour s = j. W 0. 1 10 W 1 -3 d. B -40 d. B 20 log 10( |H(j. W)| ) Traitement du Signal 4 GE 127

Application • Sur le gabarit initial, à 3 d. B w 0= 2 p 2010, 6 = 12633 rd/s Dénormalisation H(s) avec s = p/w 0 Application de la transformation bilinéaire T = 1/Fe = 2 10 -5 s Traitement du Signal 4 GE 128

Application • Réponse en fréquence de H(z) z = exp(j 2 pf/Fe), tracé de H(j 2 pf/Fe) d. B Fe Traitement du Signal 4 GE 129

Application Tracé en échelle log Fe/2 Module -40 db/dec Phase Traitement du Signal 4 GE 130

Fonctions du 2 nd ordre et transformation bilinéaire • Fonction normalisée d’ordre 2 analogique – Q: facteur de surtension – Pulsation de résonance » 1 • transformation bilinéaire Pour éviter la déformation de la transformation bilinéaire: T<<1 ! Pôle z = 1 Instable Problème de la précision de codage des coefficients Traitement du Signal 4 GE 131

Fonctions du 2 nd ordre et transformation bilinéaire • Exemple Q=1 T=0. 01 Calcul exact Calcul approché : Filtre instable 0, 0025% d’erreur sur les coefficients = instable ! Codage des coefficients sur plus de 16 bits Traitement du Signal 4 GE 132